1、1第一章 检测试题(时间:120 分钟 满分:150 分)【选题明细表】 知识点、方法 题号空间几何体的结构 1,2直观图 4空间几何体的侧面积与表面积 3,7,8空间几何体的体积 5,6,9,10,11,14,15综合应用 12,13,17,18,19,20,21一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1.下列说法正确的是( D )(A)有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱(B)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱(C)各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体(D)九棱柱有 9 条侧棱,9 个侧面,侧面均为平行四边形解析:选项 A,B 都不正确,反
2、例如图所示.选项 C 也不正确,上、下底面是全等的菱形,各侧面是全等的正方形的四棱柱不是正方体.根据棱柱的定义知选项 D 正确.2.如图所示是由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的轴对称平面图形,若将它绕轴 l 旋转 180后形成一个组合体,下面说法不正确的是( A )(A)该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体(B)该组合体仍然关于轴 l 对称(C)该组合体中的圆锥和球只有一个公共点(D)该组合体中的球和半球只有一个公共点解析:组合体中只有一个球体和一个半球.故选 A.3.长方体的高为 1,底面积为 2,垂直于底的对角面的面积是 ,则长方体的侧面积等于( C )(A)2 (B)
3、4 (C)6 (D)3解析:设长方体的长、宽、高分别为 a,b,c,则 c=1,ab=2, c= ,所以 a=2,b=1,故 S 侧 =2(ac+bc)=6.4.如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是如图所示的直角梯形,其中OA=2,BAO=45,BCOA.则原平面图形的面积为( A )2(A)3 (B)6(C) (D)解析:因为 OA=2,BOA=BAO=45,所以 OB=,又 BCOA,所以CBO=45,OCB=90,所以 BC=1,所以原图形为梯形,其上底为 1,下底为 2,高为 2 ,所以 S= =3 .5.底面是边长为 1 的正方形,侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为( A
4、 )(A) (B) (C) (D)解析:底面 ABCD 外接圆的半径是 ,即 AO= ,则 PO= = ,所以四棱锥的外接球的半径为 ,所以四棱锥的外接球的体积为 3= .故选 A.6.如图,正方体 ABCD ABCD的棱长为 4,动点 E,F 在棱 AB 上,且 EF=2,动点 Q 在棱DC上,则三棱锥 A EFQ 的体积( D )(A)与点 E,F 的位置有关(B)与点 Q 的位置有关3(C)与点 E,F,Q 的位置都有关(D)与点 E,F,Q 的位置均无关,是定值解析: = = EFAAAD= ,所以三棱锥 A EFQ 的体积为定值,与点 E,F,Q 的位置均无关.故选 D.7.已知圆台
5、的上下底面半径分别为 1 和 2,高为 1,则该圆台的表面积为( B )(A)3 (B)(5+3 )(C) (D) 解析:设圆台上底面的半径为 r,下底面的半径为 r,高为 h,母线长为 l.则 r=1,r=2,h=1.则l= = .由圆台表面积公式得 S 圆台 =(r 2+r2+rl+rl)=(1+4+ +2 )=(5+3 ).故选 B.8.已知圆锥的底面半径为 R,高为 3R,在它的所有内接圆柱中,表面积的最大值是( B )(A)22R 2 (B) R 2(C) R 2 (D) R 2解析:如图所示为组合体的轴截面,记 BO1的长度为 x,由相似三角形的比例关系,得 = ,则 PO1=3x
6、,圆柱的高为 3R-3x,所以圆柱的表面积为 S=2x 2+2x(3R-3x)=-4x 2+6Rx,则当 x= R 时,S 取最大值,S max= R 2.故选 B.9.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放的米约有( B )(A)14 斛 (B)22 斛 (C)36 斛 (D)66 斛解析:设圆锥底面半径
7、为 r,4因为米堆底部弧长为 8 尺,所以 r=8,r= (尺),所以米堆的体积为V= ( )25 (立方尺),又 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,所以该米堆有 1.6222(斛),选 B.10.若两球的体积之和是 12,经过两球球心的截面圆周长之和为6,则两球的半径之差为( A )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:设两球的半径分别为 R、r(Rr),则由题意得 解得故 R-r=1.11.如图所示,在三棱柱 ABC A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB=AC= ,BB1=BC=6,E,F 为侧棱 AA1上的两点,且 EF=3,则多面体 BB1C1CEF 的体积为( A )(A)
8、30 (B)18(C)15 (D)12解析: = - - =SABC 6- SABC A1F- SABC AE=SABC 6- (A1F+AE)=5SABC .因为 AC=AB= ,BC=6,所以 SABC = 6 =6.所以 =56=30.故选 A.12.如图,在等腰梯形 ABCD 中,AB=2DC=2,DAB=60,E 为 AB 的中点,将ADE 和BEC 分别沿 ED,EC 向上折起,使 A,B 重合于点 P,则三棱锥 P DCE 的外接球的体积为( C )(A) (B)5(C) (D)解析:因为 ABCD 为等腰梯形,AB=2DC,E 为 AB 的中点,所以 AD=DE=CE=BC,又
9、DAB=60,所以ADE,DCE,CEB 均为边长为 1 的正三角形,故翻折后的三棱锥 P DCE 为正四面体,其高PO1= ,设球的半径为 R,所以 R2=( -R)2+( )2,得 R= ,所以 V=.故选 C.二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13.若圆锥的表面积是 15,侧面展开图的圆心角是 60,则圆锥的体积为 .解析:设圆锥的底面半径是 r,母线长是 l,高为 h,则有所以 l=6r,r2= ,l2= .h2=l2-r2=75,所以 h=5 .所以 V= r 2h= 5 = .答案: 14.如图所示,扇形的中心角为 90,弦 AB 将扇形分成两个部分,这
10、两部分各以 AO 为轴旋转一周,所得的旋转体体积 V1和 V2之比为 . 解析:RtAOB 绕 OA 旋转一周形成圆锥,其体积 V1= R3,扇形绕 OA 旋转一周形成半球面,其围成的半球的体积 V= R3,所以 V2=V-V1= R3- R3= R3,所以 V1V 2=11.6答案:1115.现有橡皮泥制作的底面半径为 5,高为 4 的圆锥和底面半径为 2,高为 8 的圆柱各一个,若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为 . 解析:原两个几何体的总体积 V= 5 24+2 28= .由题意知新圆锥的高为 4,新圆柱的高为 8,且它们的底面
11、半径相同,可设两几何体的底面半径均为 r(r0),则r 24+r 28= ,解得 r2=7,从而 r= .答案:16.在棱长为 a 的正方体 ABCD A1B1C1D1中,EF 是棱 AB 上的一条线段,且 EF=b(bV1,S2S1,所以方案二比方案一更加经济.20.(本小题满分 14 分)如图,某种水箱用的“浮球”,是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知半球的直径是 6 cm,圆柱筒高为 2 cm.(1)这种“浮球”的体积是多少 cm 3(结果精确到 0.1)?(2)要在 2 500 个这样的“浮球”表面涂一层胶,如果每平方米需要涂胶 100 克,那么共需胶多少克?解:(1)因为半球的直径是
12、6 cm,可得半径 R=3 cm,所以两个半球的体积之和为V 球 = R 3= 27=36(cm 3).又圆柱筒的体积为 V 圆柱 =R 2h=92=18(cm 3).所以这种“浮球”的体积是V=V 球 +V 圆柱 =36+18=54169.6(cm 3).(2)根据题意,上下两个半球的表面积是S 球表 =4R 2=49=36(cm 2),又“浮球”的圆柱筒的侧面积为S 圆柱侧 =2Rh=232=12(cm 2),所以 1 个“浮球”的表面积为 S= = (m 2).9因此,2 500 个这样的“浮球”表面积的和为 2 500S=2 500 =12(m 2).因为每平方米需要涂胶 100 克,
13、所以共需要胶的质量为 10012=1 200(克).21.(本小题满分 14 分)已知圆柱 OO1的底面半径为 2,高为 4.(1)求从下底面圆周上一点出发环绕圆柱侧面一周到达上底面的最短路径长;(2)若平行于轴 OO1的截面 ABCD 将底面圆周截去四分之一,求截面面积;(3)在(2)的条件下,设截面将圆柱分成的两部分中较小部分为,较大部分为,求V V (体积之比).解:(1)将侧面沿过该点的母线剪开铺平得到一个矩形,邻边长分别是 4 和 4,则从下底面圆周上一点出发环绕侧面一周到达上底面的最短路径长即为此矩形的对角线长4 .(2)连接 OA,OB,因为截面 ABCD 将底面圆周截去 ,所以AOB=90,因为 OA=OB=2,所以 AB=2 ,而截面 ABCD 是矩形且 AD=4,所以 S 矩形 ABCD=8 .(3)依题知 V 圆柱 =Sh=16,三棱柱 AOB DO1C 的体积是 8,则 V +8= V 圆柱 =4,所以 V =4-8,而 V =V 圆柱 -V =12+8,于是 V V = .
