1、13.3.2 函数的极值与导数【选题明细表】知识点、方法 题号函数极值的定义 1函数极值(点)的判断与求解 2,3,7由函数极值求参数(或范围) 4,5函数极值的应用 10综合问题 6,8,9,11【基础巩固】1.下列关于函数的极值的说法正确的是( D )(A)导数值为 0 的点一定是函数的极值点(B)函数的极小值一定小于它的极大值(C)函数在定义域内有一个极大值和一个极小值(D)若 f(x)在(a,b)内有极值,那么 f(x)在(a,b)内不是单调函数解析:由极值的概念可知只有 D 正确.2.函数 f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数 f(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数 f(
2、x)在开区间(a,b)内有极小值点( A )(A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个解析:极小值点应有先减后增的特点,即 f(x)0.由图象可知只有1 个极小值点.故选 A.3.函数 y=1+3x-x3有( D )(A)极小值-1,极大值 1(B)极小值-2,极大值 3(C)极小值-2,极大值 2(D)极小值-1,极大值 3解析:f(x)=-3x 2+3,由 f(x)=0 可得 x1=1,x2=-1.由极值的判定方法知 f(x)的极大值为 f(1)=3,极小值为 f(-1)=1-3+1=-1.故选 D.4.(2018太原高二检测)若函数 f(x)=ax-ln x 在 x= 处取得
3、极值,则实数 a 的值为( A )(A) (B) (C)2 (D)2解析:f(x)=a- ,令 f( )=0,即 a- =0,解得 a= .故选 A.5.(2017河南高二月考)已知函数 f(x)=ex-ax 有两个零点 x1e(B)x1+x22(C)x1x21(D)有极小值点 x0,且 x1+x20,当 a0 时,f(x)=e x-a0 在 xR 上恒成立,所以 f(x)在 R 上单调递增.当 a0 时,因为 f(x)=e x-a0,所以 ex-a0,解得 xln a,所以 f(x)在(-,ln a)单调递减,在(ln a,+)单调递增.因为函数 f(x)=ex-ax 有两个零点 x10,所
4、以 eln a-aln ae,A 正确;x1+x2=ln(a2x1x2)=2ln a+ln(x1x2)2+ln(x1x2),取 a= ,f(2)=e2-2a=0,所以 x2=2,f(0)=10,所以 02,B 正确;f(0)=10,所以 01 不一定,C 不正确;f(x)在(-,ln a)单调递减 ,在(ln a,+)单调递增 ,所以有极小值点 x0=ln a,且x1+x20;当 x(1,2)时,f(x)0,所以 f(x)有两个极值点 1 和 2,且当 x=2 时函数取得极小值,当 x=1 时函数取得极大值.只有不正确.答案:8.(2017咸阳高二期末)已知函数 f(x)=x3+3x2-9x+
5、3.求:(1)f(x)的单调递增区间;(2)f(x)的极值.解:(1)f(x)=3x 2+6x-9,解 f(x)0,得 x1 或 x-3;所以 f(x)的单调递增区间为(-,-3,1,+).(2)x0,-31 时,f(x)0;所以 x=-3 时 f(x)取极大值 30,x=1 时,f(x)取极小值-2.【能力提升】9.(2018沈阳高二质检)若 a0,b0,且函数 f(x)=4x3-ax2-2bx+2 在 x=1 处有极值,若 t=ab,则t 的最大值为( D )(A)2 (B)3 (C)6 (D)9解析:f(x)=12x 2-2ax-2b,则 f(1)=12-2a-2b=0,则 a+b=6,
6、又 a0,b0,则 t=ab( )2=9,当且仅当 a=b=3 时取等号.故选 D.10.(2018成都高二诊断)函数 f(x)=x3-3ax+b(a0)的极大值为 6,极小值为 2,则 f(x)的单调递减区间是 . 解析:令 f(x)=3x 2-3a=0,得 x= ,则 f(x),f(x)随 x 的变化情况如表:x (-,- ) - (- , ) ( ,+)f(x) + 0 - 0 +f(x) 极大值 极小值 从而解得所以 f(x)的单调递减区间是(-1,1).4答案:(-1,1)11.(2018呼伦贝尔高二检测)设函数 y=x3+ax2+bx+c 的图象如图所示,且与 y=0 在原点相切,
7、若函数的极小值为-4.(1)求 a,b,c 的值;(2)求函数的递减区间.解:(1)因为函数的图象经过点(0,0),易得 c=0.又图象与 x 轴相切于点(0,0),且y=3x 2+2ax+b,故 0=302+2a0+b,解得 b=0.所以 y=x3+ax2,则 y=3x 2+2ax.令 y=0,解得 x=0 或 x=- a,即 x=0 和 x=- a 是极值点.由图象知函数在 x=0 处取极大值,故在 x=- a 时取极小值.当 x=- a 时,函数有极小值-4,所以(- a)3+a(- )2=-4,整理得 a3=-27,解得 a=-3.故 a=-3,b=0,c=0.(2)由(1)得 y=x
8、3-3x2,则 y=3x 2-6x,令 y0,即 y=3x 2-6x0,解得 0x2,所以函数的递减区间是(0,2).【探究创新】12.(2017南阳高二期末)已知函数 f(x)= x3+ ax2+2bx+c,函数 f(x)在区间(0,1)内取极大值,在区间(1,2)内取极小值,则 u= 的取值范围是 . 名师点拨:由函数在(0,1)内取极大值,在(1,2)内取极小值,列出 a,b 所满足的约束条件,利用线性规划求解.解析:f(x)=x 2+ax+2b,因为函数 f(x)在(0,1)内取极大值,在(1,2)内取极小值.所以 即作出点(a,b)所满足的可行域如图:5而 u= 可看作是平面区域内的点与点 C(1,2)连线的斜率,由 可得 A(-3,1),又 B(-1,0)所以 kAC= = ,kBC= =1,所以 u1.答案:( ,1)
