1、12.4.1 函数的零点【选题明细表】知识点、方法 题号求函数零点及零点个数 1,2,6,10零点的分布 8,11零点的应用 3,4,5,7,9,121.下列函数不存在零点的是( D )(A)y=x-(B)y=(C)y=(D)y=解析:令 y=0,得选项 A 和 C 中的函数零点都为 1 和-1;选项 B 中函数的零点为- ,1;只有选项 D 中函数不存在零点.故选 D.2.函数 f(x)= 的零点个数是( C )(A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个解析:法一 x0 时,令 x2-1=0,得 x=1.所以函数有两个零点,故选 C.法二 画函数的大致图象如图,从图象易得函数有两
2、个零点.故选 C.3.若函数 f(x)的零点与 g(x)=2x-2 的零点相同,则 f(x)可以是( B )(A)f(x)=4x-1 (B)f(x)=(x-1)2(C)f(x)=x2+4x-5 (D)f(x)=x2-1解析:令 g(x)=2x-2=0,得 x=1,所以 g(x)的零点为 1.由题意知方程 f(x)=0 的根只有 x=1.2只有选项 B 中函数 f(x)=(x-1)2满足.故选 B.4.函数 f(x)=2x2-ax+3 有一零点为 ,则 f(1)= . 解析:因为 是 f(x)=2x2-ax+3 的零点,所以 2 -a +3=0,所以 a=5,所以 f(x)=2x2-5x+3,所
3、以 f(1)=0.答案:05.已知函数 y=f(x)是 R 上的奇函数,其零点为 x1,x2,x3,x4,x5,则 x1+x2+x3+x4+x5= .解析:由奇函数的对称性知,若 f(x1)=0,则 f(-x1)=0,即零点关于原点对称,且 f(0)=0,故 x1+x2+x3+x4+x5=0.答案:06.函数 f(x)=2|x|-ax-1 仅有一个负零点,则 a 的取值范围是( B )(A)(2,+) (B)2,+)(C)(0,2) (D)(-,2解析:问题可以转化为 y=2|x|与 y=ax+1 的图象仅有一个公共点,如图,y=2|x|是一条关于 y轴对称的折线,y=ax+1 是恒过(0,1
4、)的一条直线,由图可知 a 的范围是不小于 2 的实数,故选B.7.若方程 x2- x-k=0 在(-1,1)上有实数根,则 k 的取值范围是( C )(A)- ,- )(B)- , )(C)- , ) (D)- ,+)解析:方程 x2- x-k=0 在(-1,1)上有实数根,即方程 x2- x=k 在(-1,1)上有实数根.设 f(x)=x2- x.因为 f(x)=x2- x=(x- )2- ,3所以 f(x)min=f( )=- ,f(x)max=f(-1)= .所以 k- , ), 故选 C.8.若一元二次方程 ax2+2x+1=0(a0)有一个正根和一个负根,则有( A )(A)a0 (C)a1解析:法一 令 f(x)=ax2+2x+1(a0),因为其图象经过(0,1)点,所以欲使方程有一正根和一负根(即 f(x)图象与 x 轴交点一个在 y 轴左边,一个在 y 轴右边),需满足 a0,函数 f(x)有两个零点.(2)已知 a0,则 =m 2-4a(m-1)0 对于 mR 恒成立,即 m2-4am+4a0 恒成立,所以 =16a 2-16a0 恒成立,即对于任意 bR,b 2-4ab+4a0 恒成立,所以(-4a) 2-44a0 得 a2-a0.所以 0a1.
