1、12.3 幂函数【选题明细表】 知识点、方法 题号幂函数的定义 2,4,6,12幂函数的图象 3,7,10,14,15幂函数的性质 1,5,8,9,11,12,131.(2018郑州外国语学校期中)已知 -1,1,2,3,则使函数 y=x 的值域为 R,且为奇函数的所有 的值为( A )(A)1,3 (B)-1,1(C)-1,3 (D)-1,1,3解析:依据幂函数性质判断.2.下列结论中,正确的是( C )(A)幂函数的图象都通过点(0,0),(1,1)(B)幂函数的图象可以出现在第四象限(C)当幂指数 取 1,3, 时,幂函数 y=x 是增函数(D)当幂指数 =-1 时,幂函数 y=x 在定
2、义域上是减函数解析:当幂指数 =-1 时,幂函数 y=x-1的图象不通过原点,故选项 A 不正确;因为所有的幂函数在区间(0,+)上都有定义,且 y=x (R),y0,所以幂函数的图象不可能出现在第四象限,故选项 B 不正确;当 =-1 时,y=x -1在区间(-,0)和(0,+)上是减函数,但在它的定义域上不是减函数,故选项 D 不正确.3.在下列四个图形中,y= 的图象大致是( D )解析:函数 y= 的定义域为(0,+),是减函数.故选 D.4.若幂函数 f(x)=(m2-m-1)x1-m是偶函数,则实数 m 等于( A )(A)-1 (B)2 (C)3 (D)-1 或 2解析:因为幂函
3、数 f(x)=(m2-m-1)x1-m是偶函数,所以解得 m=-1.故选 A.25.设 a=( ) ,b=( ) ,c=( ) ,则 a,b,c 的大小关系是( C )(A)abc (B)cab(C)aca解析:因为函数 y=( )x在 R 上是减函数,又 ,所以( ) ,所以( ) ( ) ,即 cb.所以 a0)的图象恒过定点 . 解析:由 x=1,y=3 得图象过定点(1,3).答案:(1,3)8.已知幂函数 f(x)=(n2+2n-2) (nZ)的图象关于 y 轴对称,且在(0,+)上是减函数,则 n 的值为 . 解析:由于 f(x)为幂函数,所以 n2+2n-2=1,解得 n=1 或
4、 n=-3,经检验只有 n=1 适合题意.答案:19.已知函数 f(x)= +1.(1)判断函数 f(x)在区间(0,+)上的单调性并证明;(2)求 f(x)在区间1,3上的最大值和最小值.解:(1)函数 f(x)在区间(0,+)上是减函数.证明如下:设 x1,x2是区间(0,+)上任意两个实数,且 x1x10,所以 x1+x20,x2-x10,(x1x2)20,所以 f(x1)-f(x2)0,即 f(x1)f(x2),所以函数 f(x)在区间(0,+)上是减函数.(2)由(1)知函数 f(x)在区间1,3上是减函数,3所以当 x=1 时,取最大值,最大值为 f(1)=2,当 x=3 时,取最
5、小值,最小值为 f(3)= .10.已知幂函数 f(x)=kx 的图象经过点( , ),则 k- 等于( A )(A) (B)1 (C) (D)2解析:由题意,根据幂函数的定义,可得 k=1,函数 f(x)=kx 的图象经过点( , ),可得 =( ) ,解得 = ,那么 k-=1- = .故选 A.11.(2018六安市一中高一上期末)设幂函数 f(x)的图象过点( , ),设 0f(a)(C)f(a-1)=f(a) (D)不确定解析:设 f(x)=x ,则 =( ) ,即 =3- ,所以 =- .所以 f(x)= .因为 01.又 f(x)= 在(0,+)上是减函数,所以 f(a-1)f(
6、a-1)的实数 a 的取值范围.解:(1)m 2+m=m(m+1),mN *,而 m 与 m+1 中必有一个为偶数,所以 m(m+1)为偶数.令 m2+m=2k,kN *,则 f(x)= .所以函数 f(x)= (mN *)的定义域为0,+),并且在定义域上为增函数.(2)因为函数 f(x)经过点(2, ),所以 = ,即 = .所以 m2+m=2.解得 m=1 或 m=-2.又因为 mN *,所以 m=1.由 f(2-a)f(a-1)得解得 1a (x1x20)的函数的个数是( A )(A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个名师点拨:由于本题所给函数均为幂函数,且待满足条件为 f( )与 之间的关系,所以可借助幂函数图象求解.5解析:函数 f(x)=x 的图象是一条直线,故当 x1x20 时,f( )=;函数 f(x)=x2的图象是凹形曲线,故当 x1x20 时,f( )x20 时,f( )x20 时,f( ) ;在第一象限,函数 f(x)= 的图象是一条凹形曲线,故当 x1x20 时,f( )x20 时,f( ) .故选 A.
