1、12.2.2 反证法学习目标 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题知识点 反证法王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的 ”思考 1 本故事中王戎运用了什么论证思想？答案 运用了反证法思想思考 2 反证法解题的实质是什么？答案 否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确梳理 (1)反证法的概念一般地，由证明 pq
2、转向证明：綈 qrt， t 与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定綈 q 为假，推出 q 为真的方法，叫做反证法(2)反证法常见的几种矛盾与假设矛盾与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾与公认的简单事实矛盾(例如，导出 01,00 之类的矛盾)(3)反证法证明数学命题的一般步骤分清命题的条件和结论做出与命题结论相矛盾的假设由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真1反证法属于间接证明问题的方法( )2反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理( )23反证法的实质是否定结论导出矛盾
3、( )类型一 用反证法证明否定性命题例 1 已知三个正数 a， b， c 成等比数列但不成等差数列求证： ， ， 不成等差数a b c列证明 假设 ， ， 成等差数列，则 2 ，a b c b a c4 b a c2 .ac a， b， c 成等比数列， b2 ac，由得 b ，代入式，ac得 a c2 ( )2 0，ac a c a c，从而 a b c.这与已知 a， b， c 不成等差数列相矛盾，假设不成立故 ， ， 不成等差数列a b c反思与感悟 对某些结论为肯定形式或者否定命题的证明，从正面突破较困难时，可用反证法通过反设将肯定命题转化为否定命题或否定命题转化为肯定命题，然后用转化
4、后的命题作为条件进行推理，推出矛盾，从而达到证题的目的跟踪训练 1 已知正整数， a， b， c 满足 a2 b2 c2.求证 a， b， c 不可能都是奇数证明 假设 a， b， c 都是奇数，则 a2， b2， c2都是奇数左边奇数奇数偶数，右边奇数，得偶数奇数，矛盾假设不成立， a， b， c 不可能都是奇数类型二 用反证法证明“至多、至少”类问题例 2 a， b， c(0,2)，求证：(2 a)b，(2 b)c，(2 c)a 不能都大于 1.证明 假设(2 a)b，(2 b)c，(2 c)a 都大于 1.因为 a， b， c(0,2)，所以 2 a0,2 b0,2 c0.所以 1.2
5、a b2 2 ab同理， 1，2 b c2 2 bc 1.2 c a2 2 ca3三式相加，得 3，2 a b2 2 b c2 2 c a2即 33，矛盾所以(2 a)b，(2 b)c，(2 c)a 不能都大于 1.反思与感悟 (1)用反证法证明“至少” “至多”类命题，可减少讨论情况，目标明确否定结论时需弄清楚结论的否定是什么，避免出现错误需仔细体会“至少有一个” “至多有一个”等表达的意思(2)常用的“原结论词”与“反设词”归纳如下表：原结论词 至少有一个 至多有一个 至少有 n 个 至多有 n 个反设词 一个也没有(不存在) 至少有两个 至多有 n1 个 至少有 n1 个跟踪训练 2 已
6、知 a， b， c 是互不相等的实数，求证：由y1 ax22 bx c， y2 bx22 cx a 和 y3 cx22 ax b 确定的三条抛物线至少有一条与 x轴有两个不同的交点证明 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与 x 轴有两个不同的交点，由 y1 ax22 bx c， y2 bx22 cx a， y3 cx22 ax b，得 1(2 b)24 ac0， 2(2 c)24 ab0，且 3(2 a)24 bc0.同向不等式求和，得 4b24 c24 a24 ac4 ab4 bc0，所以 2a22 b22 c22 ab2 bc2 ac0，所以( a b)2( b c)2( a c)20，
7、所以 a b c.这与题设 a， b， c 互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证类型三 用反证法证明唯一性命题例 3 求证：方程 2x3 有且只有一个根证明 2 x3， xlog 23.这说明方程 2x3 有根下面用反证法证明方程 2x3 的根是唯一的假设方程 2x3 至少有两个根 b1， b2(b1 b2)，则 1b3, 3，两式相除得 1， b1 b20，则 b1 b2，这与 b1 b2矛盾假设不成立，从而原命题得证反思与感悟 用反证法证明唯一性命题的一般思路：证明“有且只有一个”的问题，需要证4明两个命题，即存在性和唯一性当证明结论以“有且只有” “只有一个” “唯一存在”等形式出
8、现的命题时，可先证“存在性” ，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性跟踪训练 3 求证：两条相交直线有且只有一个交点证明 设两直线为 a， b，假设结论不成立，即有两种可能：无交点；至少有两个交点(1)若直线 a， b 无交点，那么 a b 或 a， b 是异面直线，与已知矛盾；(2)若直线 a， b 至少有两个交点，设为 A 和 B，这样同时经过点 A， B 就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾所以假设不成立，两条相交直线有且只有一个交点1证明“在 ABC 中至多有一个直角或钝角” ，第一步应假设( )A三角形中至少有一个直角或钝角B三角形中至少有
9、两个直角或钝角C三角形中没有直角或钝角D三角形中三个角都是直角或钝角答案 B2用反证法证明“在三角形中至少有一个内角不小于 60”，应先假设这个三角形中( )A有一个内角小于 60B每一个内角都小于 60C有一个内角大于 60D每一个内角都大于 60答案 B3 “abC a b D a b 或 ab答案 D4用反证法证明“在同一平面内，若 a c， b c，则 a b”时，应假设( )A a 不垂直于 c B a， b 都不垂直于 cC a b D a 与 b 相交答案 D5已知 f(x) x2 px q.(1)求证： f(1) f(3)2 f(2)2；5(2)求证：| f(1)|，| f(2
10、)|，| f(3)|中至少有一个不小于 .12证明 (1) f(1) f(3)2 f(2)(1 p q)(93 p q)2(42 p q)2.(2)假设| f(1)|，| f(2)|，| f(3)|中至少有一个不小于 不成立，12则| f(1)|，| f(2)|，| f(3)|都小于 ，12则| f(1)|2| f(2)| f(3)|2，(2)的假设正确4有下列叙述：“ x y”的反面是“ xy 或 x180，这与三角形内角和为 180矛盾，故假设错误所以一个三角形不能有两个直角假设 ABC 中有两个直角，不妨设 A B90.上述步骤的正确顺序为_答案 9某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只
11、有一人说真话，只有一人偷了珠宝甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是_答案 甲解析 假如甲：我没有偷是真的，则乙：丙是小偷；丙：丁是小偷是假的；丁：我没有偷就是真的，与他们四人中有一人说真话矛盾假如甲：我没有偷是假的，则丁：我没有偷就是真的，乙：丙是小偷，丙：丁是小偷是假的，成立可以判断偷珠宝的人是甲10完成反证法证题的全过程题目：设 a1， a2， a7是由数字 1,2，7 任意排成的一个数列，求证：乘积 p( a11)(a22)( a77)为偶数证明：假设 p 为奇数，则_均为奇数因为 7 个奇数之和为奇数，故有(a11)( a22)( a
12、77)为_而( a11)( a22)( a77)( a1 a2 a7)(127)_.8与矛盾，故 p 为偶数答案 a11， a22， a77 奇数 0解析 由假设 p 为奇数可知，( a11)，( a22)，( a77)均为奇数，故( a11)( a22)( a77)( a1 a2 a7)(127)0 为奇数，这与 0 为偶数相矛盾11若下列两个方程 x2( a1) x a20， x22 ax2 a0 中至少有一个方程有实根，则实数 a 的取值范围是_答案 (，21，)解析 若两方程均无实根，则 1( a1) 24 a2(3 a1)( a1) .13 2(2 a)28 a4 a(a2)0.这与
13、 a b c0 矛盾，假设不成立，故 a， b， c 中至少有一个是大于 0 的13已知 f(x) ax (a1)，求证：方程 f(x)0 没有负数根x 2x 1证明 假设 x0是 f(x)0 的负数根，则 x00 且 x01，且 ax0 ，x0 2x0 10 ax01，0 1，x0 2x0 1解得 x02，这与 x00 矛盾，129故方程 f(x)0 没有负数根四、探究与拓展14若 a， b， c， d 都是有理数， ， 都是无理数，且 a b ，则 a 与 b， c 与 d 之c d c d间的数量关系为_考点 反证法及应用题点 反证法的应用答案 a b， c d解析 假设 a b，令 a
14、 b m(m 是不等于零的有理数)，于是 b m b ，c d所以 m ，两边平方整理得 .c d cd c m22m左边是无理数，右边是有理数，矛盾，因此 a b，从而 c d.15已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn， a11 ， S393 .2 2(1)求数列 an的通项 an与前 n 项和 Sn；(2)设 bn (nN )，求证：数列 bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列Snn(1)解 设公差为 d，由已知得Error! d2，故 an2 n1 ， Sn n(n )2 2(2)证明 由(1)得 bn n .Snn 2假设数列 bn中存在三项 bp， bq， br(p， q， r 互不相等)成等比数列，则 b bpbr，2q即( q )2( p )(r )，2 2 2( q2 pr) (2q p r)0.2 p， q， rN ，Error! 2 pr，( p r)20，(p r2 ) p r，这与 p r 矛盾数列 bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列
