1、14.1.1 圆的标准方程【选题明细表】 知识点、方法 题号圆的标准方程 1,3,4,5,8,9点与圆的位置关系 2,7圆的标准方程的应用 6,10,11,121.圆(x-3) 2+(y+2)2=13 的周长是( B )(A) (B)2 (C)2 (D)2 解析:由圆的标准方程可知,其半径为 ,周长为 2 .故选 B.2.点 P(m,5)与圆 x2+y2=24 的位置关系是( A )(A)在圆外 (B)在圆内 (C)在圆上 (D)不确定解析:把 P(m,5)代入 x2+y2=24,得 m2+2524.所以点 P 在圆外,故选 A.3.(2018湖北宜昌期末)以两点 A(-3,-1)和 B(5,
2、5)为直径端点的圆的方程是( A )(A)(x-1)2+(y-2)2=25 (B)(x+1)2+(y+2)2=25(C)(x+1)2+(y+2)2=100 (D)(x-1)2+(y-2)2=100解析:由题意可得,圆心为线段 AB 的中点 C(1,2),半径为 r= AB= =5,故要求的圆的方程为(x-1) 2+(y-2)2=25,故选 A.4.已知圆心为 P(-2,3),并且与 y 轴相切,则该圆的方程是( B )(A)(x-2)2+(y+3)2=4 (B)(x+2)2+(y-3)2=4(C)(x-2)2+(y+3)2=9 (D)(x+2)2+(y-3)2=9解析:由题意知,该圆的圆心为(
3、-2,3),半径为 2,所以其标准方程为(x+2) 2+(y-3)2=4.5.(2018江西赣州期末)圆(x-1) 2+(y-2)2=1 关于直线 x-y-2=0 对称的圆的方程为( A )(A)(x-4)2+(y+1)2=1 (B)(x+4)2+(y+1)2=1(C)(x+2)2+(y+4)2=1 (D)(x-2)2+(y+1)2=1解析:由于圆心(1,2)关于直线 x-y-2=0 对称的点的坐标为(4,-1),半径为 1,故圆(x-1)2+(y-2)2=1 关于直线 x-y-2=0 对称的圆的方程为(x-4) 2+(y+1)2=1,故选 A.6.(2018河南濮阳一模)圆 x2+(y-1)
4、2=1 的圆心到直线 y=-x-2 的距离为 . 解析:圆 x2+(y-1)2=1 的圆心(0,1)到直线 y=-x-2 的距离为d= = .答案:7.(2018江西师大附中高一测试)自点 A(-1,4)作圆(x-2) 2+(y-3)2=1 的切线,切点为 B,则AB 的长为 . 解析:点 A 到圆心 C(2,3)的距离为 = ,所以切线长为 =3.2答案:38.求满足下列条件的圆的标准方程.(1)圆心在 x 轴上,半径为 5,且过点 A(2,-3).(2)经过点 A(-4,-5),B(6,-1)且以线段 AB 为直径;(3)圆心在直线 y=-2x 上,且与直线 y=1-x 相切于点(2,-1
5、);(4)圆心在直线 x-2y-3=0 上,且过点 A(2,-3),B(-2,-5).解:(1)设圆的标准方程为(x-a) 2+y2=25,因为点 A(2,-3)在圆上,所以(2-a) 2+(-3)2=25,解得a=-2 或 a=6.所以所求圆的标准方程为(x+2) 2+y2=25 或(x-6) 2+y2=25.(2)设圆的标准方程为(x-a) 2+(y-b)2=r2(r0),由题意得 a= =1,b= =-3,又因为点(6,-1)在圆上,所以 r2=(6-1)2+(-1+3)2=29.所以所求圆的标准方程为(x-1) 2+(y+3)2=29.(3)法一 设圆心为(a,-2a).因为圆与直线
6、y=1-x 相切于点(2,-1),所以 = ,解得 a=1.所以所求圆的圆心为(1,-2).半径 r= = .所以所求圆的方程为(x-1) 2+(y+2)2=2.法二 设过(2,-1)且与 y=1-x 垂直的直线为 y=x+b,把(2,-1)代入,得 b=-3.所以圆心(a,b)在 y=x-3 上,即 b=a-3,又因为圆心在直线 y=-2x 上,所以 b=-2a,解之得 a=1,b=-2,则圆心为(1,-2),所以 r= = ,所以所求圆的方程为(x-1) 2+(y+2)2=2.(4)法一 设点 C 为圆心,因为点 C 在直线:x-2y-3=0 上,所以可设点 C 的坐标为(2a+3,a).
7、又该圆经过 A,B 两点,所以|CA|=|CB|.所以 = ,解得 a=-2,所以圆心坐标为 C(-1,-2),半径 r= .故所求圆的标准方程为(x+1) 2+(y+2)2=10.法二 设所求圆的标准方程为(x-a) 2+(y-b)2=r2.3由条件知所以故所求圆的标准方程为(x+1) 2+(y+2)2=10.法三 线段 AB 的中点为(0,-4),kAB= = ,所以弦 AB 的垂直平分线的斜率为-2,所以线段 AB 的垂直平分线的方程为 y+4=-2x,即 y=-2x-4,圆心是直线 y=-2x-4 与直线 x-2y-3=0 的交点,由得 即圆心为(-1,-2),圆的半径 r= = .故
8、所求圆的标准方程为(x+1) 2+(y+2)2=10.9.(2018内蒙古包头市一模)圆 E 经过三点 A(0,1),B(2,0),C(0,-1),且圆心在 x 轴的正半轴上,则圆 E 的标准方程为( C )(A)(x- )2+y2= (B)(x+ )2+y2=(C)(x- )2+y2= (D)(x- )2+y2=解析:根据题意,设圆 E 的圆心坐标为(a,0)(a0),半径为 r,则圆 E 的标准方程为(x-a) 2+y2=r2.则有 解得 a= ,r2= ,所以圆 E 的方程为(x- )2+y2= .故 选 C.10.(2018河南鹤壁高一期末)如果实数 x,y 满足 x2+(y-3)2=
9、1,那么 的取值范围是( D )(A)2 ,+)(B)(-,-2 (C)-2 ,2 (D)(-,-2 2 ,+)解析:因为实数 x,y 满足 x2+(y-3)2=1,所以 表示以(0,3)为圆心,1 为半径的圆上的点和原点连线的斜率 k,设直线方程为 y=kx,联立 x2+(y-3)2=1 和 y=kx 消去 y 并整理可得(1+k 2)x2-6kx+8=0,由 =36k 2-32(1+k2)=0 可解得 k=2 ,4结合图形可知 的取值范围是(-,-2 2 ,+).11.如图所示,一座圆拱桥,当水面在如图位置时,拱顶离水面 2 m,水面宽 12 m,当水面下降1 m 后,水面宽多少 m?解:
10、如图,拱顶 O 为坐标原点,设圆的半径为 r m,则圆心 C(0,-r),即圆的方程为 x2+(y+r)2=r2. 将 A 点的坐标(6,-2)代入方程解得r=10.所以圆的方程为 x2+(y+10)2=100.当水面下降 1 m 后,可设点 A的坐标为(x 0,-3)(x00),将 A的坐标(x 0,-3)代入方程,解得 x0= .所以水面下降 1 m 后,水面宽为 2x0=2 14.28 m.12.已知圆 C 的圆心坐标为 C(x0,x0),且过定点 P(4,2).(1)求圆 C 的方程(用含 x0的方程表示);(2)当 x0为何值时,圆 C 的面积最小?并求出此时圆 C 的标准方程.解:(1)由题意,设圆 C 的标准方程为(x-x 0)2+(y-x0)2=r2(r0).因为圆 C 过定点 P(4,2),所以(4-x 0)2+(2-x0)2=r2(r0),所以 r2=2 -12x0+20.所以圆 C 的标准方程为(x-x0)2+(y-x0)2=2 -12x0+20.(2)因为(x-x 0)2+(y-x0)2=2 -12x0+20=2(x0-3)2+2,所以当 x0=3 时,圆 C 的半径长最小,即面积最小,此时圆 C 的标准方程为(x-3) 2+(y-3)2=2.
