1、1考点 49 轨迹方程要点阐述在高考数学试题中，求动点轨迹是一个难点，也是一个重点求动点轨迹方程常用的方法有：直接法、定义法、参数法，相关点法等典型例题【例】已知动点 P(x， y)与两定点 M(1,0)， N(1,0)连线的斜率之积等于1则动点 P 的轨迹 C 的方程为_【答案】 x2+y21( x1)【规律方法】求轨迹方程的一般步骤（1）建立适当坐标系，设出动点 M 的坐标( x， y)（2）列出点 M 满足条件的集合（3）用坐标表示上述条件，列出方程 f(x， y)0（4）将上述方程化简（5）证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点小试牛刀1方程 y 表示的曲线是( )9 x2A一
2、条射线 B一个圆C两条射线 D半个圆【答案】D【解析】方程 y 可化为 x2 y29( y0)，9 x22所以方程 y 表示圆 x2 y29 位于 x 轴上方的部分，是半个圆9 x2【易错易混】要注意到 y0,应是个半圆2方程 x2 +y2+2axb2 =0 表示的图形是（ ）A一个圆 B只有当 a=0 时，才能表示一个圆C一个点 D a， b 不同时为 0 时，才能表示一个圆【答案】 D【解析】当 a=b=0 时，原方程变为 x2+y2=0，表示一个点当 a2+b20 时，方程 x2+y2+2axb2=0 表示一个圆 3在 ABC 中 ， 若 顶 点 B、 C 的 坐 标 分 别 是 （ 2
3、， 0） 和 （ 2， 0） ， 中 线 AD 的 长 度 是 3， 则 点 A 的 轨 迹 方 程 是（ ）A x2 y23 B x2 y24C x2 y29（ y0） D x2 y29（ x0）【答案】C【解析】中点 D（0，0），由于| AD|为定长 3，所以 A 点在以 D 为圆心，3 为半径的圆上，选 C【规律总结】求轨迹方程时经常遇到“去”或“补”的问题，当所求方程包括不合题意的点时，必须去掉；当所求方程不含其他合乎条件的点时，必须补出来（如本例） 以上例题所用方法均是由题意所给出的等量关系直接列出方程所得，故称“直接法” 4已知两定点 A（2，0） ， B（1，0） ， 若动 P
4、 满足| PA|=2|PB|，则点 P 的轨迹所包围的图形的面积等于（ ）A B4 C8 D9【答案】B5 已知动点 M 到点（8，0）的距离等于点 M 到点（2，0）的距离的 2 倍，那么点 M 的轨迹方程是（ ） A x2+y2 =32 B x2+y2 =16C （ x1） 2+y2=16 D x2+（ y1） 2=16 3【答案】B【解析】设 M（ x， y） ，则 M 满足 22(8)()xyxy整理得 x2+y2= 166已知圆 C： x2( y1) 25，直线 l： mx y1 m0（1）求证：对任意 mR，直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点；（2）求弦 AB 的中点 M 的轨
5、迹方程考题速递1 方程| x|1 所表示的曲线是( )1 y 1 2A一个圆 B两个圆C一个半圆 D两个半圆【答案】D【解析】方程可化为(| x|1) 2( y1) 21，又| x|10，所以 x1 或 x1若 x1，方程为(x1) 2( y1) 21；若 x1，方程为( x1) 2( y1) 21方程表示两个半圆2 动点 A 在圆 x2+y2=1 上移动时,它与定点 B(3,0)连线的中点的轨迹方程是 【答案】(2 x3)2+4y2=1【解析】设中点 M(x,y),则动点 A(2x3,2y),A 在圆 x2+y2=1 上,(2 x3)2+(2y)2=1,即所求轨迹方程为(2 x3)2+4y2
6、=13 设方程 2 4(3)(1)690mm，若该方程表示一个圆， m 的取值范围 4，这时圆心的轨迹方程 【答案】 24(3)1yx， 0,47x【解析】配方得： 22 2(1)67mym 4设定点 M（3，4） ，动点 N 在圆 x2+y2=4 上运动，以 OM， ON 为两边作 YMONP，求点 P 的轨迹方程【解析】如图所示，设 P（ x， y） ， N（ x0， y0） ，则线段 OP 的中点坐标为 (,)，线段 MN 的中点坐标为 034(,)2xy因为平行四边形的对角线互相平分，故 0034,22xy，则有 0y即 N（ x+3， y4） 又点 N 在圆 x2+ y2=4 上，故（ x+3） 2+（ y4） 2=4因此点 P 的轨迹为圆（除去两点） ，其轨迹方程为（ x+3） 2+（ y4） 2=4 （除去 1892(,)(,)55，两点） 5数学文化天津之眼天津之眼，全称天津永乐桥摩天轮，坐落在天津海河畔，是一座跨河建设、桥轮合一的摩天轮，兼具观光和交通功能是世界上唯一建在桥上的摩天轮，是天津的地标之一摩天轮直径为 110 米，轮外装挂 64 个 360 度透明座舱，每个座舱可乘坐 8 个人，可同时供 512 个人观光摩天轮旋转一周所需时间为 30 分钟，到达最高处时，周边景色一览无余，甚至能看到方圆 40 公里以内的景致，被誉为“天津之眼”图为天津之眼夜景
