1、1考点 53 关于点、直线对称的圆的方程要点阐述1设 P 0(,)xy，对称中心为（ a， b） ，则 P关于 A的对称点为 00(2,)Paxby2设点 P 0(,)xy关于直线 y=kx+b的对称点为 (,)xy则0 012ykxb典型例题【例】已知两圆相交于两点 A(1,3)，B( m，1)，两圆圆心都在直线 x y c0 上，则 m c的值是( )A1 B2C3 D0【答案】C【秒杀技】抓住相交弦与连心线垂直即可小试牛刀1若直线 x y30 始终平分圆( x a)2( y b)22 的周长，则 a b( )A3 B2C5 D1【答案】A 【解析】由题可知，圆心( a， b)在直线 x
2、y30 上， a b30，即 a b322曲线 x2+y2+2 x2 y=0关于（ ）A直线 x= 成轴对称 B直线 y=x成轴对称C点（2， 2）成中心对称 D点（ 2，0）成中心对称【答案】B【解析】方程可化为（ x+ ） 2+（ y ） 2=4 表示圆，可以看出圆关于直线 y=x对称3圆（ x+2） 2+y2=5关于原点 O（0，0）对称的圆的方程为（ ）A （ x+2） 2+（ y+2） 2=5 B x2+（ y2） 2=5C （ x2） 2+y2=5 D x2+（ y+2） 2=5【答案】C【解析】已知圆的圆心（2，0）关于原点的对称点为（2，0） ，故所求对称圆的方程为（ x2）
3、2+y2 =5【解题技巧】关于点、直线对称的圆，半径没有发生变化，只要用对称找到圆心即可4方程 x2+ y2+ Dx+Ey+F=0（ D2+E24F0）表示的曲线关于 x+y=0成轴对称图形，则（ ）A D+E=0 B D+F=0C E+ F=0 D D+E +F=0【答案】A【解析】 Q()2， 是圆心， 2=0， D+E=05若圆( x a)2( y b)2 b21 始终平分圆( x1) 2( y1) 24 的周长，则 a、 b应满足的关系式是( )A a22 a2 b30 B a22 a2 b50C a22 b22 a2 b10 D3 a22 b22 a2 b10【答案】B 【 解 题
4、技 巧 】 两 圆 的 方 程 相 减 即 得 公 共 弦 所 在 直 线 方 程 6 设圆上的点 A(2,3)关于直线 x2 y0 的对称点仍在圆上，且直线 x y10 被圆截得的弦长为2 ，求圆的方程2【解析】设圆的方程为( x a)2( y b)2 r2，由题意，知直线 x2 y0 过圆心，3 a2 b0又点 A在圆上，(2 a)2(3 b)2 r2直线 x y10 被圆截得的弦长为 2 ，2( )2 2 r22 (|a b 1|12 1 2)由可得Error!或Error!故所求方程为( x6) 2( y3) 252 或( x14) 2( y7) 2244考题速递1 若圆 O： x2
5、y24 和圆 C： x2 y24 x4 y40 关于直线 l对称，则直线 l的方程是( )A x y0 B x y20C x y20 D x y20【答案】D【解析】由题意，知两圆的圆心分别为 O(0,0)，C(2,2)由于直线 l为线段 OC的垂直平分线，故直线 l过线段 OC的中点(1，1)，斜率为 1，所以直线 l的方程是 x y202 圆 x2+y22x1=0关于直线 2x y+3 =0对称的圆的方程是（ ）A （ x+3） 2+（ y2） 2= B （ x3） 2+（ y+2） 2= 1C （ x+3） 2+（ y2） 2=2 D （ x3） 2+（ y+2） 2=2【答案】C3 已
6、知圆 C: x2+y2+2x+ay3= 0（ a为实数）上任意一点关于直线 l:xy+2=0的对称点都在圆 C上，则a=_【答案】2【解析】由题意可得圆 C的圆心（ 1,2a） 在直线 xy+2=0上，将（ 1,2a）代入，得1（ 2a）+2=0，解得 a=24已知一个圆 C：( x2) 2( y6) 21 和一条直线 l：3 x4 y50，求圆关于直线 l对称的圆的方程4【解析】圆 C：( x2) 2( y6) 21 的圆心为 C(2,6)，数学文化一个圆的故事有一个圆缺了一角，很不快乐，于是它动身去寻找所缺的一角它一路向前滚一路唱“我要去寻找失去的一角”，它忍受着日晒，经受着寒冷，被冰雪冰冻，又被太阳温暖由于缺了一角，它没法滚得太快，它有时候停下来和小虫说话，或是闻闻花的芳香，最快乐的是它和蝴蝶一起嬉戏的时光它渡过海洋，穿越沼泽和湖泊，翻越丘陵和高山终于有一天，它遇上了最合适的一角，总算找到了，它感觉真好它把一角装上，成了一个完美的圆它一路高兴地唱“我找到了我失去的一角”因为不再缺少什么，它越滚越快，快得停不下来和小虫说话，停不下来闻闻花香，停不下来和蝴蝶嬉戏，最后它再也不能唱歌了它开始明白了什么，停了下来，卸下那一角轻轻放下，从容的走开，又开始一路的歌唱“我要去寻找失去的一角”
