1、1习题课 变轨问题 双星问题学习目标 1.理解赤道物体、同步卫星和近地卫星的区别.2.会分析卫星(或飞船)的变轨问题.3.掌握双星的运动特点及其问题的分析方法一、 “赤道上物体” “同步卫星”和“近地卫星”的比较例 1 如图 1 所示， A 为地面上的待发射卫星， B 为近地圆轨道卫星， C 为地球同步卫星三颗卫星质量相同，三颗卫星的线速度大小分别为 vA、 vB、 vC，角速度大小分别为 A、 B、 C，周期分别为 TA、 TB、 TC，向心加速度分别为 aA、 aB、 aC，则( )图 1A A CaB答案 A解析 同步卫星与地球自转同步，故 TA TC， A C，由 v r 及 a 2r
2、 得vCvA， aCaA同步卫星和近地卫星，根据 m m 2r m r ma，知GMmr2 v2r 4 2T2vBvC， B C， TBaC.2故可知 vBvCvA， B C A， TBaCaA.选项 A 正确，B、C、D 错误同步卫星、近地卫星、赤道上物体的比较1同步卫星和近地卫星：相同点：都是万有引力提供向心力即都满足 m m 2r m r ma.GMmr2 v2r 4 2T2由上式比较各运动量的大小关系，即 r 越大， v、 、 a 越小， T 越大2同步卫星和赤道上物体相同点：周期和角速度相同不同点：向心力来源不同对于同步卫星有 ma m 2rGMmr2对于赤道上物体，有 mg m 2
3、r，GMmr2因此要通过 v r ， a 2r 比较两者的线速度和向心加速度的大小针对训练 1 (多选)关于近地卫星、同步卫星、赤道上的物体，以下说法正确的是( )A都是万有引力等于向心力B赤道上的物体和同步卫星的周期、线速度、角速度都相等C赤道上的物体和近地卫星的线速度、周期不同D同步卫星的周期大于近地卫星的周期答案 CD解析 赤道上的物体是由万有引力的一个分力提供向心力，A 项错误；赤道上的物体和同步卫星有相同周期和角速度，但线速度不同，B 项错误；同步卫星和近地卫星有相同的中心天体，根据 m m r 得 v ， T2 ，由于 r 同 r 近 ，故 v 同 T 近 ，GMmr2 v2r 4
4、 2T2 GMr r3GMD 项正确；赤道上物体、近地卫星、同步卫星三者间的周期关系为 T 赤 T 同 T 近 ，根据v r 可知 v 赤 T2，B 项正确；在 Q 点从轨道 1 到轨道 2 需要做离心运动，故需要加速所以在 Q 点 v2Qv1Q，C 项错误；4在同一点 P，由 ma 知，卫星在轨道 2 上经过 P 点的向心加速度等于它在轨道 3 上经过GMmr2P 点的向心加速度，D 项错误判断卫星变轨时速度、向心加速度变化情况的思路：(1)判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时，可根据“越远越慢”的规律判断(2)判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时，可根据开普勒第二定律判断，即离中心天
5、体越远，速度越小(3)判断卫星由圆轨道进入椭圆轨道或由椭圆轨道进入圆轨道时的速度大小如何变化时，可根据离心运动或近心运动的条件进行分析(4)判断卫星的向心加速度大小时，可根据 a G 判断Fm Mr2针对训练 2 (多选)如图 4 所示，发射同步卫星的一般程序是：先让卫星进入一个近地的圆轨道，然后在 P 点变轨，进入椭圆形转移轨道(该椭圆轨道的近地点为近地圆轨道上的 P 点，远地点为同步圆轨道上的 Q 点)，到达远地点 Q 时再次变轨，进入同步轨道设卫星在近地圆轨道上运行的速率为 v1，在椭圆形转移轨道的近地点 P 点的速率为 v2，沿转移轨道刚到达远地点 Q 时的速率为 v3，在同步轨道上的
6、速率为 v4，三个轨道上运动的周期分别为T1、 T2、 T3, 则下列说法正确的是( )图 4A在 P 点变轨时需要加速， Q 点变轨时要减速B在 P 点变轨时需要减速， Q 点变轨时要加速C T1 T2 T3D v2 v1 v4 v3答案 CD解析 卫星在椭圆形转移轨道的近地点 P 时做离心运动，所受的万有引力小于所需要的向心力，即 G m ，而在圆轨道时万有引力等于向心力，即 G m ，所以 v2 v1；同Mmr12 v22r1 Mmr12 v12r1理，由于卫星在转移轨道上 Q 点做离心运动，可知 v3 v4，故选项 A、B 错误；又由人造卫星的线速度 v 可知 v1 v4，由以上所述可
7、知选项 D 正确；由于轨道半径(半长轴)GMrr1 r2 r3，由开普勒第三定律 k(k 为常量)得 T1 T2 T3，故选项 C 正确r3T25三、双星问题例 3 两个靠得很近的天体，离其他天体非常遥远，它们以其连线上某一点 O 为圆心各自做匀速圆周运动，两者的距离保持不变，科学家把这样的两个天体称为“双星” ，如图 5 所示已知双星的质量分别为 m1和 m2，它们之间的距离为 L，求双星的运行轨道半径 r1和 r2及运行周期 T.图 5答案 r1 r2 TLm2m1 m2 Lm1m1 m2 4 2L3Gm1 m2解析 双星间的引力提供了各自做圆周运动的向心力对 m1： m1r1 2，Gm1
8、m2L2对 m2： m2r2 2，Gm1m2L2且 r1 r2 L，解得 r1 ，Lm2m1 m2r2 .Lm1m1 m2由 G m1r1 及 r1 得m1m2L2 4 2T2 Lm2m1 m2周期 T .4 2L3Gm1 m21双星问题的特点(1)两星的运动轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点(2)两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供(3)两星的运动周期、角速度相同(4)两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即 r1 r2 L.2双星问题的处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即 m1 2r1 m2 2r2.Gm1m2L2针对训练 3 如图 6 所示，两个星球
9、 A、 B 组成双星系统，它们在相互之间的万有引力作用6下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动已知 A、 B 星球质量分别为 mA、 mB，万有引力常量为 G，求 (其中 L 为两星中心距离， T 为两星的运动周期)L3T2图 6答案 GmA mB4 2解析 设 A、 B 两个星球做圆周运动的半径分别为 rA、 rB.则 rA rB L，对星球A： G mArA ，对星球 B： G mBrB ，联立以上三式求得 .mAmBL2 4 2T2 mAmBL2 4 2T2 L3T2 GmA mB4 21(“同步卫星”与“赤道物体”及近地卫星的比较)(多选)如图 7 所示，同步卫星与地心的距离为 r，
10、运行速率为 v1，向心加速度为 a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为 a2，第一宇宙速度为 v2，地球半径为 R，则下列比值正确的是( )图 7A. B. ( )2 C. D. a1a2 rR a1a2 Rr v1v2 rR v1v2 Rr答案 AD解析 地球同步卫星：轨道半径为 r，运行速率为 v1，向心加速度为 a1；地球赤道上的物体：轨道半径为 R，随地球自转的向心加速度为 a2；以第一宇宙速度运行的卫星为近地卫星，其轨道半径为 R.对于卫星，其共同特点是万有引力提供向心力，则 G m ，故 .Mmr2 v2r v1v2 Rr对于同步卫星和地球赤道上的物体，其共同特点是角速度相
11、等，则 a 2r，故 .a1a2 rR2 (卫 星 的 变 轨 问 题 )(多 选 )肩 负 着 “落 月 ”和 “勘 察 ”重 任 的 “嫦 娥 三 号 ”沿 地 月 转 移 轨 道直 奔 月 球 ， 如 图 8 所 示 ， 在 距 月 球 表 面 100 km 的 P 点 进 行 第 一 次 制 动 后 被 月 球 捕 获 ， 进 入 椭 圆7轨 道 绕 月 飞 行 ， 之 后 ， 卫 星 在 P 点 又 经 过 第 二 次 “刹 车 制 动 ”， 进 入 距 月 球 表 面 100 km 的 圆形 工 作 轨 道 ， 绕 月 球 做 匀 速 圆 周 运 动 ， 在 经 过 P 点 时 会
12、 再 一 次 “刹 车 制 动 ”进 入 近 月 点 距 月球 表 面 15 公 里 的 椭 圆 轨 道 ， 然 后 择 机 在 近 月 点 下 降 进 行 软 着 陆 ， 则 下 列 说 法 正 确 的 是 ( )图 8A “嫦娥三号”在轨道上运动的周期最长B “嫦娥三号”在轨道上运动的周期最长C “嫦娥三号”经过 P 点时在轨道上运动的线速度最大D “嫦娥三号”经过 P 点时，在三个轨道上的加速度相等答案 AD解析 由于“嫦娥三号”在轨道上运动的半长轴大于在轨道上运动的半径，也大于轨道的半长轴，根据开普勒第三定律可知， “嫦娥三号”在各轨道上稳定运行时的周期关系为T T T ，故 A 正确
13、，B 错误；“嫦娥三号”在由高轨道降到低轨道时，都要在 P 点进行“刹车制动” ，所以经过 P 点时，在三个轨道上的线速度关系为 v v v ，所以 C 错误；由于“嫦娥三号”在 P 点时的加速度只与所受到的月球引力有关，故 D 正确3(双星问题)如图 9 所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的 O 点做周期相同的匀速圆周运动现测得两颗星之间的距离为 L，质量之比为m1 m232，下列说法中正确的是( )图 9A m1、 m2做圆周运动的线速度之比为 32B m1、 m2做圆周运动的角速度之比为 32C m1做圆周运动的半径为 L25D m2做圆周运动的半径为 L25
14、答案 C解析 设双星 m1、 m2距转动中心 O 的距离分别为 r1、 r2，双星绕 O 点转动的角速度为 ，据万有引力定律和牛顿第二定律得8G m1r1 2 m2r2 2，又 r1 r2 L， m1 m232m1m2L2所以可解得 r1 L， r2 L25 35m1、 m2运动的线速度分别为 v1 r1 ， v2 r2 ，故 v1 v2 r1 r223.综上所述，选项 C 正确一、选择题考点一 “同步卫星”和“赤道物体”及近地卫星的比较1.如图 1 所示，地球赤道上的山丘 e、近地卫星 p 和同步卫星 q 均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动设 e、 p、 q 的线速度大小分别为 v1、 v2
15、、 v3，向心加速度分别为 a1、 a2、 a3，则( )图 1A v1 v2 v3 B v1 v2 v3C a1 a2 a3 D a1 a3 a2答案 D解析 卫星的速度 v ，可见卫星距离地心越远，即 r 越大，则线速度越小，所以GMrv3 v2.q 是同步卫星，其角速度 与地球自转角速度相同，所以其线速度v3 r 3 v1 r 1，选项 A、B 均错误由 G ma，得 a ，同步卫星 q 的轨道半径大Mmr2 GMr2于近地卫星 p 的轨道半径，可知向心加速度 a3 a2.由于同步卫星 q 的角速度 与地球自转的角速度相同，即与地球赤道上的山丘 e 的角速度相同，但 q 的轨道半径大于
16、e 的轨道半径，根据 a 2r 可知 a1 a3.根据以上分析可知，选项 D 正确，选项 C 错误2设地球半径为 R， a 为静止在地球赤道上的一个物体， b 为一颗近地绕地球做匀速圆周运动的人造卫星， c 为地球的一颗同步卫星，其轨道半径为 r.下列说法中正确的是( )A a 与 c 的线速度大小之比为rRB a 与 c 的线速度大小之比为Rr9C b 与 c 的周期之比为rRD b 与 c 的周期之比为RrRr答案 D解析 物体 a 与同步卫星 c 角速度相等，由 v r 可得，二者线速度大小之比为 ，选项RrA、B 均错误；而 b、 c 均为卫星，由 T2 可得，二者周期之比为 ，选项
17、C 错误，r3GM RrRrD 正确3(多选)我国发射的“北斗系列”卫星中同步卫星到地心距离为 r，运行速率为 v1，向心加速度为 a1；在地球赤道上的观测站的向心加速度为 a2，近地卫星做圆周运动的速率为v2，向心加速度为 a3，地球的半径为 R，则下列比值正确的是( )A. B. C. D. a1a2 rR a2a3 R3r3 a1a3 rR a1a2 R2r2答案 AB解析 由于在地球赤道上的观测站的运动和同步卫星的运动具有相同的角速度，根据a r 2可知 ，A 项正确，D 项错误；再根据近地卫星做圆周运动的向心加速度为 a3，a1a2 rR由万有引力定律和牛顿第二定律 F ma 可知
18、，由 ， 知 ，因此GMmr2 a1a3 R2r2 a1a3 R2r2 a1a2 rR a2a3 R3r3B 项正确，C 项错误4(多选)如图 2 所示， a、 b、 c 是在地球大气层外圆形轨道上运行的 3 颗人造卫星，下列说法正确的是( )图 2A b、 c 的线速度大小相等，且大于 a 的线速度B a 加速可能会追上 bC c 加速可追上同一轨道上的 b， b 减速可等到同一轨道上的 cD a 卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，仍做匀速圆周运动，则其线速度将变大答案 BD解析 因为 b、 c 在同一轨道上运行，故其线速度大小、加速度大小均相等又由 b、 c 轨道10半径大于 a 轨道半
19、径，由 v 可知， vb vc va，故选项 A 错误；当 a 加速后，会做离心GMr运动，轨道会变成椭圆，若椭圆与 b 所在轨道相切(或相交)，且 a、 b 同时来到切(或交)点时， a 就追上了 b，故选项 B 正确；当 c 加速时， c 受的万有引力 F m ，故它将偏离原轨vc2rc道，做离心运动，当 b 减速时， b 受的万有引力 F m ，它将偏离原轨道，做向心运动，vb2rb所以无论如何 c 也追不上 b， b 也等不到 c，故选项 C 错误；对 a 卫星，当它的轨道半径缓慢减小时，由 v 可知， r 减小时， v 逐渐增大，故选项 D 正确GMr考点二 卫星的变轨问题5(多选)
20、如图 3，航天飞机在完成太空任务后，在 A 点从圆形轨道进入椭圆轨道， B 为轨道上的近地点，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有( )图 3A在轨道上经过 A 的速度小于经过 B 的速度B在轨道上经过 A 的速度小于在轨道上经过 A 的速度C在轨道上运动的周期小于在轨道上运动的周期D在轨道上经过 A 的加速度小于在轨道上经过 A 的加速度答案 ABC6如图 4 所示，我国发射“神舟十号”飞船时，先将飞船发送到一个椭圆轨道上，其近地点 M 距地面 200 km，远地点 N 距地面 340 km.进入该轨道正常运行时，通过 M、 N 点时的速率分别是 v1和 v2.当某次飞船通过 N 点时，地
21、面指挥部发出指令，点燃飞船上的发动机，使飞船在短时间内加速后进入离地面 340 km 的圆形轨道，开始绕地球做匀速圆周运动，这时飞船的速率为 v3，比较飞船在 M、 N、 P 三点正常运行时(不包括点火加速阶段)的速率大小和加速度大小，下列结论正确的是( )图 4A v1 v3 v2， a1 a3 a211B v1 v2 v3， a1 a2 a3C v1 v2 v3， a1 a2 a3D v1 v3 v2， a1 a2 a3答案 D考点三 双星问题7某双星由质量不等的星体 S1和 S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点 C 做匀速圆周运动由天文观察测得其运动周期为 T，
22、S1到 C 点的距离为 r1， S1和 S2之间的距离为 r，已知引力常量为 G，由此可求出 S2的质量为( )A. B.4 2r2r r1GT2 4 2r31GT2C. D.4 2r3GT2 4 2r2r1GT2答案 D解析 设 S1和 S2的质量分别为 m1、 m2，对于 S1有G m1 2r1，得 m2 .m1m2r2 (2T) 4 2r2r1GT2【考点】双星问题【题点】双星问题8两个质量不同的天体构成双星系统，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )A质量大的天体线速度较大B质量小的天体角速度较大C两个天体的向心力大小一定相等D两个天体的向心加速度大小一定
23、相等答案 C解析 双星系统的结构是稳定的，故它们的角速度相等，故 B 项错误；两个星球间的万有引力提供向心力，根据牛顿第三定律可知，两个天体的向心力大小相等，而天体质量不一定相等，故两个天体的向心加速度大小不一定相等，故 C 项正确，D 错误；根据牛顿第二定律，有：G m1 2r1 m2 2r2m1m2L2其中： r1 r2 L故 r1 Lm2m1 m2r2 Lm1m1 m212故 v1v2 r1r2 m2m1故质量大的天体线速度较小，故 A 错误【考点】双星问题【题点】双星问题9冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为 71，同时绕它们连线上某点 O 做匀速圆周运动，由此可知，
24、冥王星绕 O 点运动的( )A轨道半径约为卡戎的17B角速度大小约为卡戎的17C线速度大小约为卡戎的 7 倍D向心力大小约为卡戎的 7 倍答案 A解析 双星系统内的两颗星运动的角速度相同，B 错误双星的向心力为二者间的万有引力，所以向心力大小相同，D 错误根据 m1 2r1 m2 2r2，得 ，A 正确根据r1r2 m2m1 17v r ，得 ，C 错误v1v2 r1r2 17【考点】双星问题【题点】双星问题10(多选)宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星” ，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不会因为万有引力的作用而吸引到一起如图 5 所示，某双星系统中A、 B 两颗天体绕 O
25、点做匀速圆周运动，它们的轨道半径之比 rA rB12，则两颗天体的( )图 5A质量之比 mA mB21B角速度之比 A B12C线速度大小之比 vA vB12D向心力大小之比 FA FB21答案 AC解析 双星都绕 O 点做匀速圆周运动，由两者之间的万有引力提供向心力，角速度相等，设13为 .根据牛顿第二定律，对 A 星： G mA 2rAmAmBL2对 B 星： G mB 2rBmAmBL2联立得 mA mB rB rA21.根据双星运行的条件有：角速度之比 A B11，由 v r 得线速度大小之比vA vB rA rB12，向心力大小之比 FA FB11，选项 A、C 正确，B、D 错误
26、【考点】双星问题【题点】双星问题二、非选择题11(变轨问题)中国自行研制、具有完全自主知识产权的“神舟号”飞船，目前已经达到或优于国际第三代载人飞船技术，其发射过程简化如下：飞船在酒泉卫星发射中心发射，由长征运载火箭送入近地点为 A、远地点为 B 的椭圆轨道上， A 点距地面的高度为 h1，飞船飞行5 圈后进行变轨，进入预定圆轨道，如图 6 所示设飞船在预定圆轨道上飞行 n 圈所用时间为 t，若已知地球表面重力加速度为 g，地球半径为 R，求：图 6(1)飞船在 B 点经椭圆轨道进入预定圆轨道时是加速还是减速？(2)飞船经过椭圆轨道近地点 A 时的加速度大小(3)椭圆轨道远地点 B 距地面的高
27、度 h2.答案 (1)加速 (2) (3) RgR2R h12 3gR2t24n2 2解析 (2)在地球表面有 mg GMmR2根据牛顿第二定律有： G maAMmR h12由式联立解得，飞船经过椭圆轨道近地点 A 时的加速度大小为 aA .gR2R h12(3)飞船在预定圆轨道上飞行时由万有引力提供向心力，有 G m (R h2)MmR h22 4 2T2由题意可知，飞船在预定圆轨道上运行的周期为 T tn由式联立解得 h2 R.3gR2t24n2 21412(双星问题)太阳系以外存在着许多恒星与行星组成的双星系统，它们运行的原理可以理解为：质量为 M 的恒星和质量为 m 的行星( M m)在它们之间的万有引力作用下有规律地运动着如图 7 所示，我们可认为行星在以某一定点 C 为中心、半径为 a 的圆周上做匀速圆周运动(图中没有表示出恒星)已知引力常量为 G，恒星和行星的大小可忽略不计图 7(1)试在图中粗略画出恒星运动的轨道和位置；(2)试计算恒星与点 C 间的距离和恒星的运行速率答案 见解析解析 (1)恒星运动的轨道和位置大致如图(2)对行星 m： F m 2a对恒星 M： F M 2RM根据牛顿第三定律， F 与 F大小相等由得： RM amM对恒星 M： GMv2RM Mma RM2代入数据得： v .mM mGMa
