1、11.1.2 余弦定理课后篇巩固探究A 组1.在 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a= ,b=3,A=60,则 c=( )13A.1 B.2 C.4 D.6解析 由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccos A,即 13=9+c2-3c,即 c2-3c-4=0,解得 c=4(负值舍去) .答案 C2.(2017江西临川二中期中考试)在 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a2-c2+b2=ab,则 sin C 的值为( )A. B. C. D.22 3233来源:学 &科 &网Z &X&X&K解析 由余弦定理,得 cos C= .因为 C(0
2、,),所以 C= ,sin C= .故选 C.2+2-22 =12 3 32答案 C3.在 ABC 中, a,b,c 分别是内角 A,B,C 的对边,则下列等式正确的是( )A.a=bcos C+ccos B B.a=bcos C-ccos BC. a=bsin C+csin B D.a=bsin C-csin B解析 bcos C+ccos B=b +c =a.2+2-22 2+2-22 =222答案 A4.如果将直角三角形的三边增加同样的长度,那么新三角形的形状是( )A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.由增加的长度确定解析 设直角三角形的三条边长分别为 a,b,c,且 a2
3、+b2=c2,三条边均增加同样的长度 m,三边长度变为 a+m,b+m,c+m,此时最长边为 c+m,设该边所对角为 ,则由余弦定理,得 cos =.因为 m20,a+b-c0,所以(+)2+(+)2-(+)22(+)(+) =2+2(+-)2(+)(+)cos 0,所以 为锐角,其他各角必为锐角,故新三角形是锐角三角形 .答案 A5.在 ABC 中, AB=3,BC= ,AC=4,则边 AC 上的高为( )13A. B. C. D.3322 332 32 32解析 在 ABC 中, AB=3,BC= ,AC=4,由余弦定理,得 cos A=13,A= 60. 边 AC 上的高 h=ABsin
4、 A=3sin 2+2-22 =32+42-13234 =1260= .故选 B.332答案 B6.在 ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 B=C,2b= a,则 cos A= . 3解析 由 B=C,得 b=c= a.由余弦定理,得 cos A=32.2+2-22 =(32)2+(32)2-223232 =13答案7.在 ABC 中, a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,若 a2-c2=2b,且 sin B=6cos Asin C,则 b 的值为 . 解析 由正弦定理及余弦定理,得 sin B=6cos Asin C 可化为 b=6 c,化简2+2-22得 b
5、2=3(b2+c2-a2).a 2-c2=2b,且 b0, b= 3.答案 38.如图,在 ABC 中,已知点 D 在边 BC 上, AD AC 于点 A,sin BAC= ,AB=3 ,AD=3,则 BD223 2的长为 . 解析 因为 sin BAC= ,且 AD AC,所以 sin ,所以 cos BAD= .223 (2+)=223 223在 BAD 中,由余弦定理,得BD= 2+2-2= .(32)2+32-2323223=3答案 339. 导学号 04994004 在 ABC 中, a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边长,若( a+b+c)(sin A+sin B-sin C
6、)=3asin B, 求角 C 的大小 .解 由题意,得( a+b+c)(a+b-c)=3ab,整理,得 a2+2ab+b2-c2=3ab,即 ,所以2+2-22 =12cos C=,所以 C=60.10.在 ABC 中, C=2A,a+c=10,cos A=,求 b.解 由正弦定理,得 =2cos A=2 ,a+c= 10,a= 4,c=6.=2 34=32由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,得 ,解得 b=4 或 b=5.当 b=4 时, a= 4,A=B.2+2012 =34又 C=2A,且 A+B+C=, A= ,与已知 cos A=矛盾,不合题意,舍去 .当 b=5 时,
7、满足题意,故4b=5.B 组1.在 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 sin2B+sin2C-sin2A+sin Bsin C=0,则 tan A 的值是 ( )A. B.- C. D.-33 33 3 3解析 由题意及正弦定理,得 b2+c2-a2=-bc.由余弦定理,得 cos A= =-.2+2-22 =-2因为 0ba,则角 C 最大 . cos C= =-,2+2-22 =32+52-722354且 0b,ac,即 a 是最长边,所以角 A 最大 .由余弦定理,得 cos 120= ,解得 a=14(a=4 舍去),所以 b=10,c=6,(-4)2+(-8
8、)2-22(-4)(-8)故 ABC 的周长为 30.答案 305.在 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若( a2+c2-b2)tan B= ac,则角 B 的度数为 .3解析 由余弦定理,得 2accos Btan B= ac,整理,得 sin B= ,所以 B=60或 120.332答案 60或 1206.(2017河北冀州中学)在 ABC 中, BD 为 ABC 的平分线, AB=3,BC=2,AC= ,则7sin ABD= . 解析 因为 BD 为 ABC 的平分线,所以 ABD= ABC.由余弦定理,得 cos ABC=,2+2-22 =32+22-(7)2232 =12所以 cos ABC=1-2sin2 ABD=,所以 sin ABD=.答案7. 导学号 04994005 若 2a+1,a,2a-1 为钝角三角形的三边长,求实数 a 的取值范围 .解 因为 2a+1,a,2a-1 是三角形的三边长,所以 解得 a,此时 2a+1 最大 .要使 2a+1,a,2a-1 是三角形的三边长,还需2+10,0,2-10,a+2a-12a+1,解得 a2.设最长边 2a+1 所对的角为 ,则 90,所以 cos =0,解得 a8.综上可知实数 a 的取值范围2+(2-1)2-(2+1)22(2-1) =(-8)2(2-1)是(2,8) .
