1、1第 2课时 角度问题课后篇巩固探究1.在静水中划船的速度是 40 m/min,水流的速度是 20 m/min,如果船从岸边 A处出发,沿着与水流垂直的航线到达对岸,那么船的前进方向应指向河流的上游,且与河岸垂直方向所成的角为( )A.15 B.30 C.45 D.60解析 如图所示, sin CAB= , CAB=30.=2040=12答案 B2.(2017江西南昌二中月考)如图所示,在坡度一定的山坡 A处测得山顶上一建筑物 CD的顶端 C相对于山坡的斜度为 15,向山顶前进 100 m到达 B处,又测得 C相对于山坡的斜度为 45,若 CD=50 m,山坡的坡角为 ,则 cos = ( )
2、A. B. -1 C.2- D.32 3 3 22解析 在 ABC中,由正弦定理,得BC= =50( )(m).在 BCD中,由正弦定理,得= 10015(45-15) 62sin BDC= -1.由题图知 cos =50(6- 2)4550 =3= sin ADE=sin BDC= -1,故选 B.3答案 B3.一艘船上午 9:30在 A处,测得灯塔 S在它的北偏东 30的方向,且与它相距 8 n mile, 2之后它继续沿正北方向匀速航行,上午 10:00到达 B处,此时又测得灯塔 S在它的北偏东75的方向,则此船的航速是( )A.8( )n mile/h B.8( )n mile/h6+
3、2 62C.16( )n mile/h D.16( )n mile/h6+2 62解析 由题意,得在 SAB中, BAS=30, SBA=180-75=105, BSA=45.由正弦定理,得 ,105= 452即 ,解得 AB=8( ),故此船的航速为 =16( )82105= 45 62 8(6- 2)12 62(n mile/h).答案 D4. 导学号 04994013如图所示,位于 A处的信息中心获悉,在其正东方向相距40 n mile的 B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救 .信息中心立即把消息告知在其南偏西 30,相距 20 n mile的 C处的乙船,现乙船朝北偏东 的方向即沿直线
4、CB前往 B处救援,则 cos 等于( )A. B. C. D.217 2114 32114 2128解析 在 ABC中, AB=40,AC=20, BAC=120.由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2ABACcos 120=2 800,所以 BC=20 .7由正弦定理,得sin ACB= sin BAC= . 217由 BAC=120,得 ACB为锐角,故 cos ACB= .277故 cos = cos( ACB+30)=cos ACBcos 30-sin ACBsin 30= .2114答案 B5.某船在岸边 A处向正东方向航行 x海里后到达 B处,然后朝南偏西 60方向航行 3海
5、里到达 C处,若 A处与 C处的距离为 n mile,则 x的值为 . 3解析 在 ABC中,由余弦定理,得 AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B,即 x2+9-2x3cos 30=( )2,3即 x2-3 x+6=0,3解得 x=2 或 x= .3 3答案 或 23 36.已知甲船在岛 B的正南方 A处, AB=10 n mile,甲船以 4 n mile/h的速度向正北方向的岛B航行,同时乙船自岛 B出发以 6 n mile/h的速度向北偏东 60的方向航行,当甲、乙两船距离最近时,它们所航行的时间是 h. 3解析 如图,设甲、乙两船距离最近时航行时间为 t h,距离为 s n m
6、ile,此时甲船到达 C处,则甲船距离 B岛(10 -4t)n mile,乙船距离 B岛 6t n mile,所以由余弦定理,得 cos 120=-,化简,得 s2=28t2-20t+100,所以当 t= 时, s2取(6)2+(10-4)2-226(10-4) 20228=514最小值,即当甲、乙两船距离最近时,它们所航行的时间是 h.514答案5147.某人见一建筑物 A在正北方向,另一建筑物 B在北偏西 30方向 .此人沿北偏西 70方向行走了 3 km后到达 C,则见 A在其北偏东 56方向上, B在其北偏东 74方向上,试求这两个建筑物间的距离 .解 如图,在 BCO中, BOC=7
7、0-30=40, BCO=(180-70)-74=36, CBO=180-40-36=104.OC= 3,由正弦定理,得 ,104= 36则 BO= .在 ACO中, AOC=70, CAO=56,则 ACO=54.由正弦定理,得336104,则 AO= .在 ABO中,由余弦定理,得 AB=56= 54 354561 .630(km)=1 630(m).2+2-230故这两个建筑物间的距离约为 1 630 m.8.平面内三个力 F1,F2,F3作用于同一点,且处于平衡状态 .已知 F1,F2的大小分别为 1 N,N,F1与 F2的夹角为 45,求 F3的大小及 F3与 F1的夹角的大小 .6
8、+22解 如图,设 F1与 F2的合力为 F,则 F3=-F.4 BOC=45, ABO=135.在 OBA中,由余弦定理,得 |F|2=|F1|2+|F2|2-2|F1|F2|cos 135=12+ -21(6+22 )2cos 135=4+2 .6+22 3| F|=1+ ,3即 |F3|= +1.3又由正弦定理,得sin BOA= .|2| =6+22 221+3 =12 BOA=30. BOD=150.故 F3的大小为( +1)N,F1与 F3的夹角为 150.39. 导学号 04994014某海上养殖基地 A,接到气象部门预报,位于基地南偏东60方向相距 20( +1)n mile的
9、海面上有一台风中心,影响半径为 20 n mile,正以 10 3 2n mile/h的速度沿某一方向匀速直线前进,预计台风中心将从基地东北方向刮过且( +1)h3后开始影响基地持续 2 h.求台风移动的方向 .解 如图,设预报时台风中心为 B,开始影响基地时台风中心为 C,基地刚好不受影响时台风中心为 D,则 B,C,D在一条直线上,且 AD=20 n mile,AC=20 n mile.由题意,得 AB=20( +1)n mile,DC=20 n mile,BC=10 +1)n mile.3 2 2(3在 ADC中,DC 2=AD2+AC2, DAC=90, ADC=45.在 ABC中,5由余弦定理,得cos BAC= .2+2-22 =32 BAC=30.B 位于 A的南偏东 60方向,且 60+30+90=180,D 位于 A的正北方向 .又 ADC=45, 台风移动的方向为向量 的方向,即北偏西 45方向 .
