1、13.3.2 简单的线性规划问题课后篇巩固探究A 组1.已知某线性规划问题中的目标函数为 z=3x-y,若将其看成直线方程,则 z 的几何意义是( )A.该直线的截距B.该直线的纵截距C.该直线的纵截距的相反数D.该直线的横截距解析 由 z=3x-y,得 y=3x-z,在该方程中 -z 表示直线的纵截距,因此 z 表示该直线的纵截距的相反数 .答案 C2. 目标函数 z=x-y 在 的线性约束条件下,取得最大值的可行解为( )2-+10,-2-10,+1 A.(0,1) B.(-1,-1) C.(1,0) D.(12,12)解析 可以验证这四个点均是可行解,当 x=0,y=1 时, z=-1;
2、当 x=-1,y=-1 时, z=0;当 x=1,y=0时, z=1;当 x=,y=时, z=0.排除选项 A,B,D,故选 C.答案 C3.若变量 x,y 满足约束条件 目标函数为 z=4x+2y,则有( )+3,-1,1, A.z 有最大值无最小值 B.z 有最小值无最大值C.z 的最小值是 8 D.z 的最大值是 10解析 由 z=4x+2y,得 y=-2x+.作出不等式组对应的平面区域,如图阴影部分所示 .平移直线 y=-2x,当直线 y=-2x+经过点 B(0,1)时,直线 y=-2x+在 y 轴上的截距最小,此时 z 最小,且 zmin=2.当直线 y=-2x+经过点 C(2,1)
3、时,直线 y=-2x+在 y 轴上的截距最大,此时 z 最大,且zmax=42+21=10.故选 D.答案 D4.若直线 y=2x 上存在点( x,y)满足约束条件 则实数 m 的最大值为( )+-30,-2-30, 2A.-1 B.1C. D.2解析 满足约束条件的平面区域如图中的阴影部分所示,由 得交点 P(1,2).当=2,+-3=0直线 x=m 经过点 P 时, m 取到最大值 1.答案 B5.已知实数 x,y 满足约束条件 则 z=2x+y 的最小值为 . -+40,+0,3, 解析 因为 z=2x+y,所以 y=-2x+z.不等式组满足的平面区域如图阴影部分所示 .平移直线2x+y
4、=0,由图形可求得 z=2x+y 的最小值是 -2.答案 -26.已知变量 x,y 满足 则 z=x+y-2 的最大值为 . 2-0,-3+50,解析作出可行域,如图阴影部分所示 .由图知,目标函数 z=x+y-2 在点 A 处取得最大值 .易知 A(1,2),故 zmax=1+2-2=1.答案 17.铁矿石 A 和 B 的含铁率 a、冶炼每万吨铁矿石的 CO2的排放量 b 及每万吨铁矿石的价格 c如下表:ab/万吨c/百万元A50%1 3B70%0.5 63某冶炼厂至少要生产 1.9 万吨的铁,若要求 CO2的排放量不超过 2 万吨,则购买铁矿石的最少费用为 百万元 . 解析 设需购买铁矿石
5、 A x 万吨,铁矿石 B y 万吨,购买费用为 z,则根据题意得到的约束条件为 目标函数为 z=3x+6y.画出约束条件表示的可行域 ,如图阴影部分所示 .当0,0,0.5+0.71.9,+0.52, 直线 3x+6y=z 经过点(1,2)时, z 取最小值,且 z 最小值 =31+62=15.答案 158. 导学号 04994076 已知 S 为平面上以 A(3,-1),B(-1,1),C(1,3)为顶点的三角形区域(含三角形内部及边界) .若点( x,y)在区域 S 上移动 .(1)求 z=3x-2y 的最值;(2)求 z=y-x 的最大值,并指出其最优解 .解 (1)z=3x-2y 可
6、化为 y=x- x+b,故求 z 的最大值、最小值,相当于求直线 y=x+b 在 y 轴2=32上的截距 b 的最小值、最大值,即 b 取最大值, z 取最小值;反之亦然 .如图 ,平移直线 y=x,当 y=x+b 经过点 B 时, bmax=,此时 zmin=-2b=-5;当 y=x+b 经过点 A 时,bmin=- ,此时 zmax=-2b=11.故 z=3x-2y 的最大值为 11,最小值为 -5.112(2)z=y-x 可化为 y=x+z,故求 z 的最大值,相当于求直线 y=x+z 在 y 轴上的截距 z 的最大值 .如图 ,平行移动直线 y=x,当直线 y=x+z 与直线 BC 重
7、合时, zmax=2,此时线段 BC 上任一点的坐标都是最优解 .49.甜柚和脐橙是赣州地区的两大水果特产,一农民有山地 20 亩,根据往年经验,若种脐橙,则每年每亩平均产量为 1 000 千克;若种甜柚,则每年每亩平均产量为 1 500 千克 .已知脐橙成本每年每亩 4 000 元,甜柚成本较高,每年每亩 12 000 元,且脐橙每千克卖 6 元,甜柚每千克卖 10 元 .现该农民有 120 000 元,那么两种水果的种植面积分别为多少,才能获得最大收益?解 设该农民种 x 亩脐橙, y 亩甜柚时,能获得利润 z 元 .则 z=(1 0006-4 000)x+(1 50010-12 000)
8、y=2 000x+3 000y,其中 x,y 满足条件 作出可行域,如图中阴+20,4 000+12 000120 000,0,0, 即 +20,+330,0,0,影部分所示 .当直线 y=-x+ 经过点 A(15,5),即种 15 亩脐橙,5 亩甜柚时,每年收益最大,为 45 0003 000元 .B 组1.若变量 x,y 满足约束条件 且 z=5y-x 的最大值为 a,最小值为 b,则 a-b 的值+8,2-4,0,0, 是( )A.48 B.30C.24 D.16解析 画出可行域,如图阴影部分所示 .由图可知,当直线 y= 经过点 A 时, z 有最大值;经过点 B 时, z 有最小值
9、.联立方程组5+5解得 即 A(4,4).+=8,2-=4, =4,=4,对 x+y=8,令 y=0,则 x=8,即 B(8,0),所以 a=54-4=16,b=50-8=-8,则 a-b=16-(-8)=24,故选 C.答案 C52.已知正数 x,y 满足 则 z=22x+y的最大值为( )2-0,-3+50,A.8 B.16C.32 D.64解析 设 t=2x+y,可求得当直线 t=2x+y 经过 2x-y=0 与 x-3y+5=0 的交点(1,2)时, t 取最大值4,故 z=22x+y的最大值为 16.答案 B3.已知 x,y 满足约束条件 若 z=x-3y+m 的最小值为 4,则 m
10、=( )+0,-+10,+2-20,A.6 B.8 C.10 D.12解析 作出满足约束条件的可行域,如图中的阴影部分所示 .由 z=x-3y+m,得 y=x- ,则由3+3图可知 z=x-3y+m 在点 A(-2,2)处取得最小值,则有 z=-2-32+m=4,所以 m=12,故选 D.答案 D4.已知变量 x,y 满足约束条件 则 z=3|x|+y 的取值范围为 ( )2,+1,-1,A.-1,5 B.1,11 C.5,11 D.-7,11解析 画出可行域,由可行域可知,当 x0 时, z=3x+y 的取值范围是1,11;当 x0 时, z=-3x+y 的取值范围是(1,5 .综上, z=
11、3|x|+y 的取值范围为1,11 .答案 B5.若变量 x,y 满足约束条件 则 z=x+的取值范围为 . 2-0,+20,3+-50,解析 由题意知不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影部分( OAB 及其内部),其中O(0,0),A(1,2),B(2,-1),因此当直线 z=x+经过点 A 时, z 取得最大值,即 zmax=1+=2;当直线z=x+经过点 O 时, z 取得最小值,即 zmin=0. 所以 z=x+的取值范围为0,2 .6答案 0,26. 某公司生产甲、乙两种桶装产品,已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、B 原料 2 千克;生产乙产品 1 桶需耗 A 原料
12、 2 千克、B 原料 1 千克 .每桶甲产品的利润是 300 元,每桶乙产品的利润是 400 元 .公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗 A,B 原料都不超过 12千克 .通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是 元 . 解析 设生产甲产品 x 桶,乙产品 y 桶,每天利润为 z 元,则 z=300x+400y.+212,2+12,0,0, 作出可行域,如图中的阴影部分所示 .作直线 300x+400y=0,向右上平移,当直线经过点 A 时,z=300x+400y 取最大值 .由 所以 A(4,4),故 zmax=3004+4004=2 +2=12,2
13、+=12得 =4,=4,800.答案 2 8007.已知 z=2y-2x+4,其中 x,y 满足条件 求 z 的最大值和最小值 .01,02,2-1,解 作出不等式组 表示的平面区域,01,02,2-1如图中的阴影部分所示 .令 2y-2x=t,则当直线 2y-2x=t 经过点 A(0,2)时, zmax=22-20+4=8;当直线 2y-2x=t 经过点 B(1,1)时, zmin=21-21+4=4.7故 z 的最大值为 8,最小值为 4.8. 导学号 04994077 某公司有 60 万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对甲项目的投资不小于对乙项目投资的,且对每个项目的投资不能低于
14、5 万元 .对甲项目每投资 1 万元可获得 0.4 万元的利润,对乙项目每投资 1 万元可获得 0.6 万元的利润,该公司正确规划投资后,在这两个项目上一共可获得的最大利润是多少?解 设投资甲项目 x 万元,投资乙项目 y 万元,可获得利润为 z 万元,则 目标函数为 z=0.4x+0.6y.+60,23,5,5, 作出满足题意的可行域如图阴影部分所示 .由 z=0.4x+0.6y,得 y=-x+z.由 得 A(24,36).3-2=0,+=60,由图知,当直线 y=-x+z 经过点 A 时, z 取得最大值,即 z 取得最大值 .故 zmax=0.424+0.636=31.2(万元),即一共可获得的最大利润为 31.2 万元 .
