1、1第 2课时 数列的递推公式课后篇巩固探究A组1.数列 ,的递推公式可以是( )12,14,18,116A.an= (n N*) B.an= (nN *)12+1 12C.an+1=an(nN *) D.an+1=2an(nN *)解析 数列从第 2项起,后一项是前一项的,故递推公式为 an+1= an(nN *).12答案 C2.符合递推关系式 an= an-1的数列是( )2A.1,2,3,4, B.1, ,2,2 ,2 2C. ,2, ,2, D.0, ,2,2 ,2 2 2 2解析 B中从第 2项起,后一项是前一项的 倍,符合递推公式 an= an-1.2 2答案 B3.在数列 an中
2、, an+1=an+2-an,a1=2,a2=5,则 a5=( )A.-3 B.-11 C.-5 D.19解析 由 an+1=an+2-an,得 an+2=an+an+1,则 a3=a1+a2=7,a4=a2+a3=12,a5=a3+a4=19.答案 D4.(2017浙江绍兴一中月考)已知数列 an的通项公式为 an=n-7 +2,则此数列中数值最小的项是( )A.第 10项 B.第 11项 C.第 12项 D.第 13项解析 因为 an=n-7 +2= ,所以易知当 n=12时, an取得最小值,即此数列中数值 (-72)2414最小的项是第 12项 .故选 C.答案 C5.已知 a1=1,
3、an=n(an+1-an)(nN *),则数列 an的通项公式是( )A.2n-1 B. C.n2 D.n(+1 )-1解析 法一:构造法 .由已知整理,得( n+1)an=nan+1, , 数列 是常数列 ,+1+1= 且 =1,a n=n.=11法二:累乘法 .当 n2 时, ,-1= -1,-1-2=-1-22,32=32,21=21两边分别相乘,得 =n.a 1=1,a n=n.1答案 D6.在数列 an中,若 a1=2,an+1=an+n-1,则 a4= . 解析 a2=a1+1-1=2,a3=a2+2-1=3,a4=a3+3-1=5.答案 57.已知数列 an的通项公式 an=n-
4、 ,则该数列是 .(填“递增数列”“递减1+2数列”“摆动数列”或“常数列”) 解析 an=n- =- ,当 n增大时, n+ 增大, - 增大,所以该1+21+1+21+21+1+2数列是递增数列 .答案 递增数列8.若数列 an满足 an+1=2an-1,且 a8=16,则 a6= . 解析 a n+1=2an-1,a 8=2a7-1=16,解得 a7= ,又 a7=2a6-1= ,解得 a6= .172 172 194答案1949. 导学号 04994025在数列 an中, a1=2,an+1=an+ln ,求 an.(1+1)解 由题意,得 an+1-an=ln ,+1a n-an-1
5、=ln (n2),-1an-1-an-2=ln ,-1-2a2-a1=ln, 当 n2 时, an-a1=ln =ln n,(-1-1-221)a n=2+ln n(n2) .当 n=1时, a1=2+ln 1=2,符合上式,a n=2+ln n(nN *).10.求三角形数数列 1,3,6,10,的通项公式 .解 用 an表示该数列,则 a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,an-an-1=n(n2) .以上各式两边分别相加,得 an-a1=2+3+4+n.3a 1=1,a n=1+2+3+4+n= ,即所求通项公式 an= .(+1)2 (+1)2B组1.已知数列 an,a1=2
6、,a2=1,an+2=3an+1-an,则 a6+a4-3a5的值为( )A.3 B.-2 C.-1 D.0解析 a n+2=3an+1-an,a n+2+an=3an+1.令 n=4,得 a6+a4=3a5,a 6+a4-3a5=0.答案 D2.已知数列 an对任意的 p,qN *满足 ap+q=ap+aq,且 a2=-6,则 a10=( )A.-12 B.-24 C.-30 D.-42解析 令 p=q=2,则 a4=2a2=-12,令 p=4=q,则 a8=2a4=-24.令 p=8,q=2,则 a10=a8+a2=-30.答案 C3.在数列 an中,已知 a1=1,a2=2,an+2=a
7、n+1-an(nN *),则 a2 018=( )A.1 B.-1 C.-2 D.2解析 因为 a1=1,a2=2,an+2=an+1-an,所以 a3=1,a4=-1,a5=-2,a6=-1,a7=1,a8=2,所以数列的项以 6为周期重复出现, a2 018=a2=2,故选 D.答案 D4.已知数列 an,a1=1,ln an+1-ln an=1,则数列 an的通项公式是( )A.an=n B.an=C.an=en-1 D.an=1-1解析 ln an+1-ln an=1, ln =1.+1 =e.+1由累乘法可得 an=en-1.答案 C5.在数列 an中, a1=1,an+1= -1,
8、则此数列的前 4项和为 . 2解析 a 1=1,an+1= -1,a 2=12-1=0,a3=02-1=-1,a4=(-1)2-1=0,故前 4项和 a1+a2+a3+a4=0.2答案 06.已知数列 an满足: an an+1,an=n2+n ,nN *,则实数 的最小值是 . 解析 a n an+1,n 2+n ( n+1)2+ (n+1),即 -(2n+1)对任意 nN *成立, -3.故 的最小值为 -3.答案 -37.已知数列 an满足 an= + .1+1+ 1+2+ 1+3 12(1)数列 an是递增数列还是递减数列?为什么?4(2)证明: an对一切正整数恒成立 .(1)解 数
9、列 an是递增数列 .理由如下: a n= + ,1+1+ 1+2+ 1+3 12a n+1-an=12+1+ 12+2 1+1= .12+1 12+2= 1(2+1)(2+2)又 nN *,a n+1-an0. 数列 an是递增数列 .(2)证明 由(1)知数列 an为递增数列, 数列 an的最小项为 a1=.a n a1=,即 an对一切正整数恒成立 .8. 导学号 04994026(2017陕西西安八十三中月考)已知数列 an的通项公式为 an=1+ ,其中 aR .12+(1)若 a=-9,求数列 an的最小项和最大项;(2)若不等式 an a8对任意的 nN *恒成立,求实数 a的取值范围 .解 (1)若 a=-9,则 an=1+ .12-9于是,结合函数 f(x)=1+ 的单调性,12-9可知 1a1a2a3a4,且 a5a6a71.故数列 an的最小项为 a4=1+ =0,最大项为 a5=1+ =2.124-9 125-9(2)对 an=1+ 进行变形,可得 an=1+ .12+12+2因为不等式 an a8对任意的 nN *恒成立,所以结合函数 f(x)=1+ 的单调性,可知应满12+2足 7-8,解得 -16a-14.故实数 a的取值范围是( -16,-14).
