1、1第 1课时 等差数列的前 n项和课后篇巩固探究A组1.若等差数列 an的前 5项和 S5=25,且 a2=3,则 a7=( )A.12 B.13 C.14 D.15解析 S 5= =25,5(1+5)2 =5(2+4)2a 2+a4=10.又 a2=3,a 4=7, 公差 d=2.a 7=a4+3d=7+32=13.答案 B2.在等差数列 an中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11项的和 S11=( )A.58 B.88 C.143 D.176解析 S 11= ,a1+a11=a4+a8=16,11(1+11)2S 11= =88,故选 B.11162答案 B3.设 Sn为等差数列 a
2、n的前 n项和,若 a1=1,公差 d=2,Sk+2-Sk=24,则 k=( )A.8 B.7 C.6 D.5解析 由 a1=1,公差 d=2,得 an=2n-1.又 Sk+2-Sk=ak+1+ak+2,所以 2k+1+2k+3=24,得 k=5,故选 D.答案 D4.若公差不为 0的等差数列 an的前 21项的和等于前 8项的和,且 a8+ak=0,则正整数 k的值为( )A.20 B.21 C.22 D.23解析 设等差数列 an的前 n项和为 Sn,由题意,得 S21=S8,即 a9+a10+a21=0.根据等差数列的性质,得 13a15=0,即 a15=0.故 a8+a22=2a15=
3、0,即 k=22.故选 C.答案 C5.已知数列 an的通项公式为 an=2n+1,令 bn= (a1+a2+an),则数列 bn的前 10项和 T10=( )A.70 B.75 C.80 D.85解析 a n=2n+1, 数列 an是等差数列,首项 a1=3,其前 n项和Sn= =n2+2n,b n=Sn=n+2, 数列 bn也是等差数列,首项 b1=3,公(1+)2 =(3+2+1)2差为 1, 其前 10项和 T10=103+ 1=75,故选 B.1092答案 B6.设数列 an是等差数列,且 a2+a3+a4=15,则该数列的前 5项和 S5= . 2解析 由 a2+a3+a4=15,
4、得 3a3=15,解得 a3=5,故 S5= =5a3=25.5(1+5)2答案 257.在等差数列 an中,其前 n项和为 Sn,若 S12=8S4,则 = .1解析 S 12=12a1+ d,S4=4a1+ d,12112 432 12a1+66d=32a1+48d. 20a1=18d. .1=1820=910答案9108.已知数列 an的前 n项和为 Sn=n2n-1,则 a3+a4+a5= . 解析 a3+a4+a5=S5-S2=(525-1)-(222-1)=152.答案 1529. 导学号 04994034设数列 an的前 n项和为 Sn,点 (nN *)均在函数(,)y=3x-2
5、的图象上,求数列 an的通项公式 .解 依题意,得 =3n-2,即 Sn=3n2-2n.当 n2 时, an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-3(n-1)2-2(n-1)=6n-5.因为 a1=S1=1,满足 an=6n-5,所以 an=6n-5(nN *).10.(2017江西上高二中期末)已知数列 an满足 a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.(1)设 bn=an+1-an,证明 bn是等差数列;(2)求 an的通项公式 .解 (1)a n+2=2an+1-an+2,a n+2-an+1=an+1-an+2,即 bn+1=bn+2.又 b1=a2-a1=2-1=1, 数列
6、 bn是以 1为首项,2 为公差的等差数列 .(2)由(1)可知, an+1-an=1+2(n-1)=2n-1,a n-an-1=2(n-1)-1,an-1-an-2=2(n-2)-1,a2-a1=21-1,累加,得 an-a1=2 -(n-1)=n2-2n+1,(-1)23a n=a1+n2-2n+1=n2-2n+2, 数列 an的通项公式为 an=n2-2n+2.B组1.在等差数列 an中,2 a4+a7=3,则数列 an的前 9项和 S9等于( )A.3 B.6 C.9 D.12解析 设等差数列 an的公差为 d,因为 2a4+a7=3,所以 2(a1+3d)+a1+6d=3,整理,得
7、a1+4d=1,即 a5=1,所以 S9= =9a5=9.9(1+9)2答案 C2.已知数列 an的前 n项和 Sn=n2,则 an等于( )A.n B.n2 C.2n+1 D.2n-1解析 当 n=1时, a1=S1=1;当 n2 时, an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,且 a1=1适合上式,故 an=2n-1(nN *).答案 D3.已知等差数列 an,a2=6,a5=15,若 bn=a2n,则数列 bn的前 5项和等于( )A.30 B.45 C.90 D.186解析 由等差数列 an易得公差 d1=3.又 bn=a2n,所以 bn也是等差数列,公差 d2=6.故S5=
8、b1+b2+b3+b4+b5=a2+a4+a6+a8+a10=56+ 6=90.542答案 C4.设 Sn为等差数列 an的前 n项和, Sn=336,a2+a5+a8=6,an-4=30(n5, nN *),则 n等于( )A.8 B.16 C.21 D.32解析 由 a2+a5+a8=6,得 3a5=6,所以 a5=2.因为 a5+an-4=a1+an=2+30=32,所以 Sn=336,解得 n=21.(1+)2 =322答案 C5.已知数列 an的前 n项和为 Sn,且 Sn=2an-1(nN *),则 a5= . 解析 当 n2 时,由 Sn=2an-1,得 Sn-1=2an-1-1
9、.两式相减,得 an=2an-2an-1,所以 an=2an-1.因为a1=2a1-1,所以 a1=1,故 a5=2a4=22a3=23a2=24a1=16.答案 166.在数列 an中, an=4n-,a1+a2+an=an2+bn+c,nN *,其中 a,b为常数,则 ab+c= .解析 因为 an=4n-,即 an是关于 n的一次函数,所以数列 an是等差数列,所以 a1+a2+an=2n2-n,因此 a=2,b=-,c=0,故 ab+c=2 +0=-1.(32+4-52)2 (-12)答案 -17.已知数列 an的前 n项和为 Sn(Sn0),且满足 an+2SnSn-1=0(n2),
10、 a1=.(1)求证: 是等差数列;14(2)求数列 an的通项公式 .(1)证明 -a n=2SnSn-1(n2), -S n+Sn-1=2SnSn-1(n2) .又 Sn0( n=1,2,3,),=2.1 1-1又 =2, 是以 2为首项,2 为公差的等差数列 .11=11 1(2)解 由(1)可知 =2+(n-1)2=2n,S n= .1 12当 n2 时, an=Sn-Sn-1= =-12 12(-1);12(-1)(或当 2时, =-2-1=- 12(-1)当 n=1时, S1=a1=.故 an=12,=1,- 12(-1),2.8. 导学号 04994035设 Sn为数列 an的前
11、 n项和, Sn=a n-1( 为常数,n=1,2,3,).(1)若 a3= ,求 的值;22(2)是否存在实数 ,使得数列 an是等差数列?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由 .解 (1)因为 Sn=a n-1,所以 a1=a 1-1,a2+a1=a 2-1,a3+a2+a1=a 3-1.由 a1=a 1-1,可知 1,所以 a1= ,a2= ,a3= .1-1 (-1)2 2(-1)3因为 a3= ,所以 ,解得 = 0或 = 2.22 2(-1)3= 2(-1)4(2)假设存在实数 ,使得数列 an是等差数列,则 2a2=a1+a3,由(1)可得 ,2(-1)2= 1-1+ 2(-1)3所以 ,即 =0,显然不成立,2(-1)2=22-2+1(-1)3 = 2(-1)2+ 1(-1)3 1(-1)3所以不存在实数 ,使得数列 an是等差数列 .
