1、1第 2课时 等差数列前 n项和的性质与应用课后篇巩固探究A组1.在等差数列 an中, Sn是其前 n项和, a1=-11, =2,则 S11=( )101088A.-11 B.11 C.10 D.-10解析 an为等差数列, 为等差数列,首项 =a1=-11,设 的公差为 d,则 11 =2d=2,d= 1, =-11+10d=-1,S 11=-11.101088 1111答案 A2.若 Sn是等差数列 an的前 n项和,且 S8-S3=20,则 S11的值为( )A.44 B.22 C. D.882003解析 由 S8-S3=20,得 a4+a5+a6+a7+a8=20,所以 5a6=20
2、,所以 a6=4,故S11= =11a6=44.11(1+11)2答案 A3.若 Sn表示等差数列 an的前 n项和, ,则 =( )510=131020A. B. C. D.310解析 由题意,得 S5,S10-S5,S15-S10,S20-S15成等差数列 . ,S 10=3S5,S 15=6S5,S20=10S5, .510=131020=310答案 C4.已知数列 an为等差数列, a2=0,a4=-2,则其前 n项和 Sn的最大值为( )A. B. C.1 D.0解析 因为 a2=0,a4=-2,所以公差 d= =-1,所以 a1=1.又 a2=0,所以数列 an的前 n-2-04-
3、2项和 Sn的最大值为 1.答案 C5.在各项均不为零的等差数列 an中,若 an+1- +an-1=0(n2),则 S2n-1-4n=( )2A.-2 B.0 C.1 D.2解析 由 an+1- +an-1=0,得 =an-1+an+1=2an.因为 an的各项均不为零,所以 an=2,所以 S2n-2 221=(2n-1)an=4n-2,故 S2n-1-4n=-2.答案 A6.设等差数列 an的前 n项和为 Sn,若 a5=5a3,则 = . 95解析 =9.95=92(1+9)52(1+5)=92255223答案 97.已知等差数列 an,|a5|=|a9|,公差 d0,则使得其前 n项
4、和 Sn取得最小值的正整数 n的值是 . 解析 由 |a5|=|a9|,且 d0,得 a50,且 a5+a9=0,即 2a1+12d=0,即 a1+6d=0,即 a7=0,故S6=S7,且为最小值 .答案 6或 78.若一个等差数列的前 3项之和为 34,最后 3项之和等于 146,所有项的和为 390,则这个数列一共有 项 . 解析 设该数列为 an,Sn是其前 n项和,则 a1+a2+a3=34,an+an-1+an-2=146,两式相加,得(a1+a2+a3)+(an+an-1+an-2)=180,即 3(a1+an)=180,于是 a1+an=60.而 Sn= =390,即 =390,
5、解得 n=13.(1+)2 602答案 139.已知等差数列 an的前 3项和为 6,前 8项和为 -4.(1)求数列 an的前 n项和 Sn;(2)求数列 的前 n项和 Tn.解 (1)设 an的公差为 d,由题意,得31+322 =6,81+872 =-4,即 31+3=6,81+28=-4,解得 1=3,=-1.所以 Sn=3n+ (-1)=- n2+n.(-1)2(2)由(1),得 =-n+,所以 =- (n+1)+ =-, +1+1n 72(-12+72)3即数列 是首项为 =3,公差为 -的等差数列, 11故 Tn=3n+ =-n2+ n.(-1)2 (-12) 13410. 导学
6、号 04994037在等差数列 an中, a1=-60,a17=-12,求数列 |an|的前n项和 .解 等差数列 an的公差 d= =3,17-117-1=-12-(-60)16故 an=a1+(n-1)d=-60+(n-1)3=3n-63.由 an0,a21=0,a220, 数列前 30项的绝对值之和为 S30-2S21=30(-60)+ 3-230292=765.21(-60)+21202 3答案 B2.已知两个等差数列 an和 bn的前 n项和分别为 An和 Bn,且 ,则使得 为整=7+45+3数的正整数 n有( )A.2个 B.3个 C.4个 D.5个解析4=22=1+2-11+2
7、-1=2-12 (1+2-1)2-12 (1+2-1)=2-12-1=7(2-1)+45(2-1)+3=7+19+1=7+ .12+1当 n=1,2,3,5,11时, 为整数 ,即当 n=1,2,3,5,11时, 为整数 .12+1 答案 D3.在等差数列 an中,其前 n项和为 Sn,nSn+1(n+1)Sn(nN *),且 (n+1)Sn,得 ,即 0.而 ,所以 d0.因为+1+1 +1+1 +1+1=20,因此数列 an是递增数列,所以877+87a70,所以 a70,所以在 Sn中最小值是 S7.答案 A4.已知等差数列 an,Sn为其前 n项和, S3=9,a4+a5+a6=7,则
8、 S9-S6= . 解析 S 3,S6-S3,S9-S6成等差数列,而 S3=9,S6-S3=a4+a5+a6=7,S 9-S6=5.答案 55.在等差数列 an中, Sn是其前 n项和,且 S2 011=S2 014,Sk=S2 009,则正整数 k为 . 解析 因为等差数列 an的前 n项和 Sn可看成是关于 n的二次函数,所以由二次函数图象的对称性及 S2 011=S2 014,Sk=S2 009,可得 ,解得 k=2 016.2 011+2 0142 =2 009+2答案 2 0166.已知数列 an是以 3为公差的等差数列, Sn是其前 n项和,若 S10是数列 Sn中的唯一最小项,
9、则数列 an的首项 a1的取值范围是 . 解析 依题意,得 解得 -300,即 1+930,答案 (-30,-27)7.设数列 an的各项都为正数,其前 n项和为 Sn,已知对任意 nN *,Sn是 和 an的等差中项 .2(1)证明:数列 an为等差数列,并求 an;(2)若 bn=-n+5,求 anbn的最大值,并求出取最大值时 n的值 .5(1)证明 由已知,得 2Sn= +an,且 an0.2当 n=1时,2 a1= +a1,解得 a1=1.21当 n2 时,2 Sn-1= +an-1.2-1所以 2Sn-2Sn-1= +an-an-1,即 2an= +an-an-1,2 2-1 2
10、2-1即( an+an-1)(an-an-1)=an+an-1.因为 an+an-10,所以 an-an-1=1(n2) .故数列 an是首项为 1,公差为 1的等差数列,且 an=n.(2)解 由(1)可知 an=n.设 cn=anbn,则 cn=n(-n+5)=-n2+5n=- .(-52)2+254n N *, 当 n=2或 n=3时, cn的最大项为 6.故 anbn的最大值为 6,此时 n=2或 n=3.8. 导学号 04994038在等差数列 an中, a10=23,a25=-22.(1)数列 an的前多少项和最大?(2)求数列 |an|的前 n项和 Sn.解 (1)设 an的公差为 d,由 a10=23,a25=-22,得 解得1+9=23,1+24=-22, 1=50,=-3,所以 an=a1+(n-1)d=-3n+53.令 an0,得 n0;当 n18, nN *时, an0,故数列 an的前 17项和最大 .(2)当 n17, nN *时, |a1|+|a2|+|an|=a1+a2+an=-n2+ n;1032当 n18, nN *时, |a1|+|a2|+|an|=a1+a2+a17-a18-a19-an=2(a1+a2+a17)-(a2+a2+an)= n2- n+884.1032故 Sn=-322+1032,17,322-1032+884,18.
