1、11.4 计数应用题例 1 3 个女生和 5 个男生排成一排(1)如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？(3)如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？(4)如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？(5)如果甲必须排在乙的右面(可以不相邻)，有多少种不同的排法？思路点拨 本题涉及限制条件，要优先考虑有条件限制的元素或位置，相邻问题可采用捆绑法，不相邻问题可采用插空法精解详析 (1)(捆绑法)因为 3 个女生必须排在一起，所以可先把她们看成一个整体，这样同 5 个男生合在一起共有 6 个元素，排成一排有 A 种不同排法对于其中的每一种排6法，
2、3 个女生之间又有 A 种不同的排法，因此共有 A A 4 320 种不同的排法3 6 3(2)(插空法)要保证女生全分开，可先把 5 个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空，这样共有 4 个空，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有 6 个位置，再把 3 个女生插入这 6 个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻由于 5 个男生排成一排有 A 种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述 6 个位置5中选出 3 个来让 3 个女生插入有 A 种方法，因此共有 A A 14 400 种不同的排法36 5 36(3)法一：(特殊位置优先法)因为两端不能排女生，所以两
3、端只能挑选 5 个男生中的 2个，有 A 种不同排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有 A 种排法，所以共有25 6A A 14 400 种不同的排法25 6法二：(间接法)3 个女生和 5 个男生排成一排共有 A 种不同的排法，从中扣除女生排82在首位的 A A 种排法和女生排在末位的 A A 种排法，但这样两端都是女生的排法在13 7 13 7扣除女生排在首位时被扣去一次，在扣除女生排在末位时又被扣去一次，所以还需加一次，由于两端都是女生有 A A 种不同的排法，所以共有 A 2A A A A 14 400 种不23 6 8 13 7 23 6同的排法法三：(特殊元素优先法)从中间 6
4、 个位置中挑选出 3 个让 3 个女生排入，有 A 种不同36的排法，对于其中的任意一种排法，其余 5 个位置又都有 A 种不同的排法，所以共有5A A 14 400 种不同的排法36 5(4)法一：因为只要求两端不能都排女生，所以如果首位排了男生，则末位就不再受条件限制了，这样可有 A A 种不同的排法；如果首位排女生，有 A 种排法，这时末位就15 7 13只能排男生，这样可有 A A A 种不同的排法13 15 6因此共有 A A A A A 36 000 种不同的排法15 7 13 15 6法二：3 个女生和 5 个男生排成一排有 A 种排法，从中扣去两端都是女生的排法有8A A 种，
5、就能得到两端不都是女生的排法种数因此共有 A A A 36 000 种不同23 6 8 23 6的排法(5)(顺序固定问题)因为 8 人排队，其中两人顺序固定，共有 20 160 种不同的排法一点通 (1)排列问题的限制条件一般表现为：某些元素不能在某个位置，某个位置只能放某些元素等要先处理特殊元素或先处理特殊位置，再去排其他元素当用直接法比较麻烦时，可以用间接法，先不考虑限制条件，把所有的排列数算出，再从中减去全部不符合条件的排列数，这种方法也称为“去杂法” ，但必须注意要不重复，不遗漏(去尽)(2)对于某些特殊问题，可采取相对固定的特殊方法，如相邻问题，可用“捆绑法” ，即将相邻元素看成一
6、个整体与其他元素排列，再进行内部排列；不相邻问题，则用“插空法” ，即先排其他元素，再将不相邻元素排入形成的空位中1(四川高考改编)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有_种解析：当最左端排甲时，不同的排法共有 A 种；当最左端排乙时，甲只能排在中间四5个位置之一，则不同的排法共有 C A 种故不同的排法共有 A C A 924216 种144 5 1443答案：2162用 5，6，7，8，9 组成没有重复数字的五位数，其中有且仅有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数的个数为_种解析：符合题意的五位数有 A C A 233236.2133答案：363某天某班的
7、课程表要排入数学、语文、英语、物理、化学、体育六门课程，如果第一节不排体育，第六节不排数学，一共有多少种不同的排法？解：法一：(位置分析法)依第一节课和第六节课的情况进行分类；第一节课排数学，第六节课排体育，共有 A 种排法；4第一节课排数学，第六节课不排体育，共有 A A 种排法；144第一节课不排数学，第六节课排体育，共有 A A 种排法；144第一节课不排数学，第六节课不排体育，共有 A A 种排法244由分类加法计数原理，所求的不同排法共有 A 2A A A A 504(种)4 144 244法二：(排除法)不考虑受限条件下的排法有 A 种，其中包括数学课在第六节的排法有6A 种，体育
8、课在第一节的排法有 A 种，但上面两种排法中同时含有数学课在第六节，体5 5育课在第一节的情形有 A 种故所求的不同排法有 A 2A A 504(种).4 6 5 4例 2 某龙舟队有 9 名队员，其中 3 人只会划左舷，4 人只会划右舷，2 人既会划左舷又会划右舷，现要选派划左舷的 3 人，划右舷的 3 人，共 6 人参加比赛，则不同的选派方法有多少种？思路点拨 既会划左舷又会划右舷是特殊元素，可以从他们的参与情况入手分类讨论精解详析 选派的 3 名会划左舷的选手中，没有既会划左舷又会划右舷的选手时，选派方法有 C C 种选派方法；336选派的 3 名会划左舷的选手中，有一人是既会划左舷又会
9、划右舷的选手时，选派方法有 C C C 种选派方法；122335选派的 3 名会划左舷的选手中，有两人是既会划左舷又会划右舷的选手时，选派方法有 C C 种选派方法1334故共有 C C C C C C C 20601292 种选派方法336 122335 13344一点通 (1)解决简单的分配问题的一般思路是先选取，后分配(2)如果涉及的元素有限制条件，则一般以特殊元素，特殊位置为分类标准4将 4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有_种(用数字作答)解析：分两步完成：第一步，将 4 名大学生按 2，1，1 分成三组，其分法有 种；第二步，将分好的三组分配
10、到 3 个乡镇，其分法有 A 种，所以满足条件的分配方案3有 A 36 种3答案：365将 2 名教师，4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有_种解析：先安排 1 名教师和 2 名学生到甲地，再将剩下的 1 名教师和 2 名学生安排到乙地，共有 C C 12 种安排方案1224答案：126有 9 本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法？(1)甲得 4 本，乙得 3 本，丙得 2 本(2)一人得 4 本，一人得 3 本，一人得 2 本解：(1)分 3 步完成：第 1 步，从 9
11、 本不同的书中，任取 4 本分给甲，有 C 种方法；49第 2 步，从余下的 5 本书中，任取 3 本给乙，有 C 种方法；35第 3 步，把剩下的书给丙有 C 种方法2所以，共有不同的分法为 C C C 1 260 种49 35 2(2)分 2 步完成：第 1 步，按 4 本、3 本、2 本分成三组有 C C C 种方法；49 35 2第 2 步，将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有 A 种方法3所以，共有 C C C A 7 560 种.49 35 2 35例 3 从 1 到 9 的 9 个数中取 3 个偶数和 4 个奇数，试问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中
12、 3 个偶数排在一起的有几个？(3)在(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？(4)在(1)中任意两个偶数都不相邻的七位数有几个？思路点拨 排数问题和站队问题是排列、组合中的两类典型问题，其解决的思路相似，需考虑特殊元素、特殊位置、相邻问题、不相邻问题等的处理方法精解详析 (1)分步完成：第一步，在 4 个偶数中取 3 个，可有 C 种情况；第二步，34在 5 个奇数中取 4 个，可有 C 种情况；第三步，3 个偶数，4 个奇数进行排列，可有 A 种45 7情况，所以符合题意的七位数有 C C A 100 800(个)34457(2)上述七位数中，3 个偶数排在一起的有C C
13、 A A 14 400(个)344553(3)上述七位数中，3 个偶数排在一起，4 个奇数也排在一起的有 C C A A A 5 3445342760(个)(4)上述七位数中，偶数都不相邻，可先把 4 个奇数排好，再将 3 个偶数分别插入 5 个空，共有 C C A A 28 800(个)3445435一点通 解决排列、组合综合问题要遵循两个原则：(1)按事情发生的过程进行分步；(2)按元素的性质进行分类解决时通常从三个途径考虑：以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的
14、排列或组合数7将标号为 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中若每个信封放 2张，其中标号为 1，2 的卡片放入同一信封，则不同的方法共有_种解析：标号 1，2 的卡片放入同一封信有 C 种方法；其他四封信放入两个信封，每个13信封两个有 A 种方法，共有 C A 18 种2 13 26答案：188某班班会准备从甲、乙等 7 名学生中选派 4 名学生发言，要求甲乙两人至少有一人参加当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻那么不同的发言顺序的种数为_解析：若甲乙同时参加，则可以先从剩余的 5 人中选出 2 人，先排此两人，再将甲乙两人插入其中即可，则共有 C A A 种不
15、同的发言顺序；若甲乙两人只有一人参加，则共有25223C C A 种不同的发言顺序，综合可得不同的发言顺序有 C A A C C A 600 种12354 25223 12354答案：6009某种产品有 5 件不同的正品，4 件不同的次品，现在一件件地进行检测，直到 4 件次品全部测出为止若次品恰好在第 6 次检测时被全部选出，则这样的检测方案有多少种？解：问题相当于从 9 件产品中取出 6 件的一个排列，第 6 位为次品，前五位有其余 3件次品. 可分三步，先从 4 件产品中留出 1 件次品排第 6 位，有 4 种方法，再从 5 件正品中取 2 件，有 C 种方法，再把另 3 件次品和取出的
16、 2 件正品排在前 5 位有 A 种方法，所25 5以检测方案种数为 4C A 4 800.25 5解决排列组合问题的常用方法(1)位置分析法：以位置为主，特殊(受限)的位置优先考虑有两个以上的约束条件时，往往是考虑一个条件的同时，也要兼顾其他条件考虑两个条件之间是否有影响(2)元素分析法：以元素为主，先满足特殊(受限)元素的要求，再处理其他元素有两个以上的约束条件时，往往是考虑一个元素的同时，也要兼顾其他元素(3)间接法：也叫排异法直接考虑时情况较多，但其对立面情况较少，相对来讲比直接解答简捷，可先考虑逆向思考问题，在此方法中，对立面要“不重不漏” (4)插空法：先把无限制的元素排好，然后将
17、不能相邻的元素插入排好的元素的空中，要注意无限制元素的排列数及所形成空的个数此方法适用于含有“不相邻”的问题(5)捆绑法：把要求在一起的“小集团”看作一个整体，与其他元素进行排列，同时不要忘记“小集团”内也要排列此法比较适合“必须在一起”的问题7课下能力提升(七)一、填空题1甲组有男同学 5 名，女同学 3 名，乙组有 6 名男同学，2 名女同学，从甲、乙两组中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法有_种解析：第一类，选出的 1 名女生出自甲组，选法为 C C C 225(种)；第二类，1 名女151326生出自乙组，选法为 C C C 120(种)共有 22512
18、0345(种)251612答案：3452某公司招聘了 8 名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有_种解析：据题意可先将两名英语翻译人员分到两个部门，共有 2 种方法，第二步将 3 名电脑编程人员分成两组，一组 1 人另一组 2 人，共有 C 种分法，然后再分到两部门去共有13C A 种方法，第三步只需将其他 3 人分成两组，一组 1 人另一组 2 人即可，由于是每个部132门各 4 人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有 C 种方法，由分步计数原理13得共有 2C A C 36(
19、种)分配方案13213答案：363从 10 种不同的作物种子中选出 6 种放入 6 个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入 1 号瓶内，那么不同的放法共有_种解析：分步完成：第一步，从甲、乙以外的 8 种种子中选 1 种放入 1 号瓶内；第二步，从剩下的 9 种种子中选 5 种放入余下的 5 个瓶子内；故不同的放法种数为 C A 120 1859960(种)答案：120 9604如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有8_种解析：先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有
20、 6 种：(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6)，(6，7)，任选一种为 C ，然后在剩下的 5 天中任选 2 天有序地16安排其余两所学校参观，安排方法有 A 种，按照分步计数原理可知共有不同的安排方法 C25A 120 种1625答案：1205甲、乙、丙 3 人站到共有 7 级的台阶上，若每级台阶最多站 2 人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是_种解析：根据题意，每级台阶最多站 2 人，所以，分两类：第一类，有 2 人站在同一级台阶，共有 C A 种不同的站法；第二类，一级台阶站 1 人，共有 A 种不同的站法根据2327 37分类计数原理，得共有 C
21、 A A 336 种不同的站法2327 37答案：336二、解答题6有一排 8 个发光二极管，每个二极管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有 3 个二极管点亮，但相邻的两个二极管不能同时点亮，根据这三个点亮的二极管的不同位置和不同颜色来表示不同的信息，求这排二极管能表示的信息种数共有多少种？解：因为相邻的两个二极管不能同时点亮，所以需要把 3 个点亮的二极管插放在未点亮的 5 个二极管之间及两端的 6 个空上，共有 C 种亮灯办法然后分步确定每个二极管发36光颜色有 2228(种)方法，所以这排二极管能表示的信息种数共有C 222160(种)367现有 4 个不同的球，4 个不同的盒子，把球全部
22、放入盒内，(1)共有几种放法？(2)若恰有 1 个空盒，有几种放法？(3)若恰有 2 个盒子不放球，有几种放法？解：(1)4 4256(种)(2)先从 4 个小球中取 2 个放在一起，有 C 种不同的取法，再把取出的两个小球与另24外 2 个小球看作三堆，并分别放入 4 个盒子中的 3 个盒子里，有 A 种不同的放法根据分34步计数原理，共有 C A 144 种不同的放法2434(3)恰有 2 个盒子不放球，也就是把 4 个不同的小球只放入 2 个盒子中，有两类放法：第一类，1 个盒子放 3 个小球，1 个盒子放 1 个小球，先把小球分组，有 C 种，再放到 2349个小盒中有 A 种放法，共
23、有 C A 种放法；24 3424第二类，2 个盒子中各放 2 个小球有 C C 种放法故恰有 2 个盒子不放球的放法共有2424C A C C 84 种3424 24248已知抛物线 y ax2 bx c 的系数 a、 b、 c 是在集合3，2，1，0，1，2，3，4中选取的 3 个不同的元素，求坐标原点在抛物线内部的抛物线有多少条？解：由图形特征分析得知，若 a0，开口向上，坐标原点在抛物线内部 f(0) c0；所以对于抛物线 y ax2 bx c来讲，坐标原在其内部 af(0) ac0.确定抛物线时，可先定一正一负的 a 和 c，再确定 b.故满足题设的抛物线共有 C C A C 144 条1314216
