1、- 1 -第 2 课时 分类计数原理与分步计数原理的应用学习目标 巩固分类计数原理和分步计数原理，并能灵活应用这两个计数原理解决实际问题知识点一 两个计数原理的区别与联系分类计数原理 分步计数原理相同点 用来计算完成一件事的方法种类分类完成，类类相加 分步完成，步步相乘不同点 每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事每步依次完成才算完成这件事(每步中的一种方法不能独立完成这件事)注意点 类类独立，不重不漏 步步相依，步骤完整知识点二 两个计数原理的综合应用解决较为复杂的计数问题，一般要将两个计数原理综合应用使用时要做到目的明确，层次分明，先后有序，还需特别注意以下两点：(1)合理分类，准确分步
2、：处理计数问题，应扣紧两个原理，根据具体问题首先弄清楚是“分类”还是“分步” ，要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准分类时需要满足两个条件：类与类之间要互斥(保证不重复)；总数要完备(保证不遗漏)，也就是要确定一个合理的分类标准分步时应按事件发生的连贯过程进行分析，必须做到步与步之间互相独立，互不干扰，并确保连续性(2)特殊优先，一般在后：解含有特殊元素、特殊位置的计数问题，一般应优先安排特殊元素，优先确定特殊位置，再考虑其他元素与其他位置，体现出解题过程中的主次思想类型一 排数问题例 1 用 0,1,2,3,4 五个数字，(1)可以排成多少个三位数字的电话号码？(2)可以排成多少个三位数？
3、- 2 -引申探究由本例中的五个数字可组成多少个无重复数字的四位奇数？(3)可以排成多少个能被 2 整除的无重复数字的三位数？反思与感悟 对于组数问题，应掌握以下原则：(1)明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键一般按特殊位置(末位或首位)分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解(2)要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位跟踪训练 1 用数字 2,3 组成四位数，且数字 2,3 至少都出现一次，这样的四位数共有_个(用数字作答)类型二 抽取(分配)问题例 2 如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F
4、处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为_反思与感悟 解决抽取(分配)问题的方法(1)当涉及对象数目不大时，一般选用列举法、树状图法、框图法或者图表法(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：直接使用分类计数原理或分步计数原- 3 -理一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若是按对象特征抽取的，则按分类进行；间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可跟踪训练 2 有四位同学参加三项不同的竞赛(1)每位学生必须参加且只能参加一项竞赛，有多少种不同结果？(2)每项竞赛只许一位学生参加，有多少种不同
5、的结果？类型三 涂色与种植问题命 题 角 度 1 涂 色 问 题引申探究若本例中的区域改为如图所示，其他条件均不变，则不同的涂法共有多少种？例 3 将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的 4 个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？1 2- 4 -3 4反思与感悟 涂色问题的四个解答策略涂色问题是考查计数方法的一种常见问题，由于这类问题常常涉及分类与分步，所以在高考题中经常出现，处理这类问题的关键是要找准分类标准，求解涂色问题一般是直接利用两个计数原理求解，常用的方法有：(1)按区域的不同以区域为主分步计数，并用分步计数原
6、理计算(2)以颜色为主分类讨论法，适用于“区域、点、线段”问题，用分类计数原理计算(3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题(4)对于不相邻的区域，常分为同色和不同色两类，这是常用的分类标准跟踪训练 3 如图所示，将四棱锥 S ABCD 的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有 5 种颜色可供使用，求不同的染色方法总数命 题 角 度 2 种 植 问 题例 4 将 3 种作物全部种植在如图所示的 5 块试验田中，每块种植一种作物，且相邻的试验- 5 -田不能种同一种作物，则不同的种植方法共有_种反思与感悟 按元素性质分类，按事件发生过程分步是计数问题的基本思想方法，区
7、分“分类”与“分步”的关键，是验证所提供的某一种方法是否完成了这件事情，分类中的每一种方法都能完成这件事情，而分步中的每一种方法不能完成这件事情，只是向事情的完成迈进了一步跟踪训练 4 从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出 3 种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，求有多少种不同的种植方法1用 0,1,2,3 组成没有重复数字的四位数，其中奇数有_个2在 2,3,5,7,11 这五个数字中，任取两个数字组成分数，其中假分数的个数为_3有 5 名同学被安排在周一至周五值日，每人值日一天已知同学甲只能在周三值日，那么这 5 名同学值日顺序的安排方案共有_种4如图所示，在 A
8、， B 间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通今发现A， B 之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有_种- 6 -5如图，用 4 种不同的颜色涂入图中的矩形 A， B， C， D 中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有_种A BCD1分类计数原理与分步计数原理是两个最基本、也是最重要的原理，是解答后面将要学习的排列、组合问题，尤其是较复杂的排列、组合问题的基础2应用分类计数原理要求分类的每一种方法都能把事件独立完成；应用分步计数原理要求各步均是完成事件必须经过的若干彼此独立的步骤3 一般是先分类再分步，分类时要设计好标准，设计好分类方案，防止重复和遗漏4若正面分类的种类比较多，而
9、问题的反面种类比较少时，则使用间接法会简单一些- 7 -答案精析题型探究例 1 解 (1)三位数字的电话号码，首位可以是 0，数字也可以重复，每个位置都有 5 种排法，共有 5555 3125(种)(2)三位数的首位不能为 0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除 0 外共有 4 种方法，第二、三位可以排 0，因此，共有 455100(种)(3)被 2 整除的数即偶数，末位数字可取 0,2,4，因此，可以分两类，一类是末位数字是 0，则有 4312(种)排法；一类是末位数字不是 0，则末位有 2 种排法，即 2 或 4，再排首位，因 0 不能在首位，所以有 3 种排法，十位有 3 种排法，
10、因此有 23318(种)排法因而有 121830(种)排法即可以排成 30 个能被 2 整除的无重复数字的三位数引申探究解 完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从 1,3中任取一个，有 2 种方法；第二步定首位，把 1,2,3,4 中除去用过的一个还有三个，可任取一个，有 3 种方法；第三步，第四步把剩下的包括 0 在内的还有 3 个数字先排百位有 3 种方法，再排十位有 2 种方法由分步计数原理知共有 233236(个)跟踪训练 1 14解析 因为四位数的每个数位上都有两种可能性，其中四个数字全是 2 或 3 的情况不合题意，所以符合题意的四位数有 2421
11、4(个)例 2 18解析 从 E 点到 F 点的最短路径有 6 条，从 F 点到 G 点的最短路径有 3 条，所以从 E 点到 G点的最短路径条数为 6318.跟踪训练 2 解 (1)学生可以选择竞赛项目，而竞赛项目对于学生无条件限制，所以每位学生均有 3 个不同的机会，要完成这件事必须是每位学生参加的竞赛全部确定下来才行，因此需分四步而每位学生均有 3 个不同选择，所以用分步计数原理可得33333 481(种)不同结果(2)竞赛项目可挑选学生，而学生无选择项目的机会，每一个项目可挑选 4 位不同学生中的一位要完成这件事必须是每项竞赛所参加的学生全部确定下来才行，因此需分三步，用分步计算原理可
12、得 4444 364(种)不同结果例 3 解 第 1 个小方格可以从 5 种颜色中任取一种颜色涂上，有 5 种不同的涂法(1)当第 2 个、第 3 个小方格涂不同颜色时，有 4312(种)不同的涂法，第 4 个小方格有3 种不同的涂法，由分步计数原理可知有 5123180(种)不同的涂法- 8 -(2)当第 2 个、第 3 个小方格涂相同颜色时，有 4 种涂法，由于相邻两格不同色，因此，第4 个小方格也有 4 种不同的涂法，由分步计数原理可知有 54480(种)不同的涂法由分类计数原理可得共有 18080260(种)不同的涂法引申探究解 依题意，可分两类情况：不同色；同色第一类：不同色，则所涂
13、的颜色各不相同，我们可将这件事情分成 4 步来完成第一步涂，从 5 种颜色中任选一种，有 5 种涂法；第二步涂，从余下的 4 种颜色中任选一种，有 4 种涂法；第三步涂与第四步涂时，分别有 3 种涂法和 2 种涂法于是由分步计数原理可得，不同的涂法为 5432120(种)第二类：同色，则不同色，我们可将涂色工作分成三步来完成第一步涂，有 5 种涂法；第二步涂，有 4 种涂法；第三步涂，有 3 种涂法于是由分步计数原理得，不同的涂法有 54360(种)综上可知，所求的涂色方法共有 12060180(种)跟踪训练 3 解 由题意，四棱锥 S ABCD 的顶点 S， A， B 所染的颜色互不相同，它
14、们共有54360(种)染色方法当 S， A， B 染色确定时，不妨设其颜色分别为 1,2,3.若 C 染 2，则 D 可染 3 或 4 或 5，有 3 种染法；若 C 染 4，则 D 可染 3 或 5，有 2 种染法；若C 染 5，则 D 可染 3 或 4，有 2 种染法由分类计数原理知，当 S， A， B 染法确定时， C， D 有 7 种染法由分步计数原理得，不同的染色方法有 607420(种)例 4 42解析 分别用 a、 b、 c 代表 3 种作物，先安排第一块田，有 3 种方法，不妨设放入 a，再安排第二块田，有 2 种方法 b 或 c，不妨设放入 b，第三块也有 2 种方法 a 或
15、 c.(1)若第三块田放 c：a b c第四、五块田分别有 2 种方法，共有 224(种)方法(2)若第三块田放 a：a b a第四块有 b 或 c2 种方法，若第四块放 c：a b a c第五块有 2 种方法；- 9 -若第四块放 b：a b a b第五块只能种作物 c，共 1 种方法综上，共有 32(2221)42(种)方法跟踪训练 4 解 方法一 (直接法)若黄瓜种在第一块土地上，则有 326(种)不同的种植方法同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有 326(种)不同的种植方法故不同的种植方法共有 6318(种)方法二 (间接法)从 4 种蔬菜中选出 3 种，种在三块地上，有 43224(种)，其中不种黄瓜有 3216(种)，故不同的种植方法共有 24618(种)当堂训练18 2.10 3.24 4.13 5.108
