1、- 1 -15.1 二项式定理学习目标 1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理的特征及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题知识点 二项式定理思考 1 我们在初中学习了( a b)2 a22 ab b2，试用多项式的乘法推导( a b)3，( a b)4的展开式思考 2 上述两个等式的右侧有何特点？思考 3 能用类比方法写出( a b)n(nN *)的展开式吗？梳理 二项式定理及其概念(1)二项式定理(a b)nC anC an1 bC an rbrC bn(nN *)叫做二项式定理，0n 1n rn n_叫做( a b)n的二项展开式，它一共有_项(
2、2)二项展开式的通项_叫做二项展开式的第 r1 项(也称通项)，用 Tr1 表示，即- 2 -Tr1 _.(3)二项式系数_叫做第r1 项的二项式系数类型一 二项式定理的正用、逆用引申探究将本例(1)改为求(2 x )5的展开式例 1 (1)求(3 )4的展开式1x2 x 1x(2)化简：C (x1) nC (x1) n1 C (x1) n2 (1) kC (x1) n k(1) nC .0n 1n 2n kn n反思与感悟 (1)( a b)n的二项展开式有 n1 项，是和的形式，各项的幂指数规律是：各项的次数和等于 n.字母 a 按降幂排列，从第一项起，次数由 n 逐项减 1 直到 0；字
3、母 b按升幂排列，从第一项起，次数由 0 逐项加 1 直到 n.(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢跟踪训练 1 化简(2 x1) 55(2 x1) 410(2 x1) 310(2 x1) 25(2 x1)1.- 3 -类型二 二项展开式的通项命 题 角 度 1 二 项 式 系 数 与 项 的 系 数例 2 已知二项式(3 )10.x23x(1)求展开式第 4 项的二项式系数；(2)求展开式第 4 项的系数；(3)求第 4 项反思与感悟 (1)二项式系数都是组合数 C (r0,1,2， n)，它与二项展开式中某一项rn的系数不一定
4、相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念(2)第 r1 项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为 C .例如，在rn(12 x)7的展开式中，第四项是 T4C 173 (2x)3，其二项式系数是 C 35，而第四项的系37 37数是 C 23280.37跟踪训练 2 已知 n展开式中第三项的系数比第二项的系数大 162.(x2x)(1)求 n 的值；(2)求展开式中含 x3的项，并指出该项的二项式系数- 4 -命 题 角 度 2 展 开 式 中 的 特 定 项例 3 已知在 n的展开式中，第 6 项为常数项(3x 33x)(1)求 n；(2)求含 x2
5、的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项反思与感悟 (1)求二项展开式的特定项的常见题型求第 r 项， TrC an r1 br1 ；求含 xr的项(或 xpyq的项)；求常数项；求有理r 1n项(2)求二项展开式的特定项的常用方法对于常数项，隐含条件是字母的指数为 0(即 0 次项)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致跟踪训练 3 (1)若 9的展开式中 x3的系数是84，则 a_
6、.(xax)(2)已知 n 为等差数列4，2,0，的第六项，则( x )n的二项展开式的常数项是2x_- 5 -1( x2) 8的展开式中 x6的系数是_2二项式( x )12的展开式中的常数项是第_项2x3已知 5的展开式中含32x的项的系数为 30，则 a_.(x ax)4化简：( x1) 55( x1) 410( x1) 310( x1) 25( x1)1_.5求( )4的展开式x1x1求二项展开式的特定项应注意的问题通项公式的主要作用是求展开式中的特殊项，常见的题型有：求第 r 项；求含 xr(或xpyq)的项；求常数项；求有理项其中求有理项时一般根据通项公式所得到的项，其所有的未知数
7、的指数恰好都是整数的项解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据整数的整除性来求解另外，若通项中含有根式，一般把根式化为分数指数幂，以减少计算中的错误2二项式系数与项的系数的区别二项式系数 C 与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有rn时可以为负- 6 -答案精析问题导学知识点思考 1 ( a b)3 a33 a2b3 ab2 b3，( a b)4 a44 a3b6 a2b24 ab3 b4.思考 2 ( a b)3的展开式有 4 项，每项的次数是 3；( a b)4的展开式有 5 项，每一项的次数为 4.思考 3 能，( a b
8、)nC anC an1 bC an kbkC bn (nN *)0n 1n kn n梳理 (1)右边的多项式 n1(2)C an rbr C an rbr (3)C (r0,1,2， n)rn rn rn题型探究例 1 (1)解 方法一 (3 )4x1x(3 )4C (3 )3( )C (3 )2( )2C (3 )( )3C ( )4x 14 x1x 24 x 1x 34 x 1x 4 1x81 x2108 x54 .12x 1x2方法二 (3 )4( )4 (13 x)4 1C 3xC (3x)2C (3x)3C (3x)x1x 3x 1x 1x2 1x2 14 24 34 44 (112
9、 x54 x2108 x381 x4) 54108 x81 x2.1x2 1x2 12x(2)解 原式C (x1) nC (x1) n1 (1)C (x1) n2 (1) 2C (x1) n k(1)0n 1n 2n knkC (1) n( x1)(1) n xn.n引申探究解 方法一 (2 x )5C (2x)51x2 05C (2x)4 C (2x)3( )2151x2 25 1x2C (2x)2( )3C (2x)( )4351x2 45 1x2C ( )532 x580 x2 .51x2 80x 40x4 10x7 1x10方法二 (2 x )5 (2x31) 5 (12 x3)5 1
10、C (2x3)C (2x3)1x2 1x2 1x10 1x10 15 252C (2x3)3C (2x3)435 45C (2x3)5 80 x232 x5.51x10 10x7 40x4 80x- 7 -跟踪训练 1 解 原式C (2x1) 5C (2x1) 4C (2x1) 3C (2x1) 2C (2x1)C05 15 25 35 45(2x1) 0(2 x1)1 5(2 x)532 x5.5例 2 解 (3 )10的展开式的通项是x23xTr1 C (3 )10 r( )rr10 x23xC 310 r( )r102(r0,1,2，10)r1023(1)展开式的第 4 项( r3)的二
11、项式系数为 C 120.310(2)展开式的第 4 项的系数为C 37( )377 760.31023(3)展开式的第 4 项为 T4 T3177 760 .x跟踪训练 2 解 (1)因为 T3C ( )n2 24C62nx，2n x (2x) 2nT2C ( )n1 2C，1n x (2x) 1n依题意，得 4C 2C 162，所以 2C C 81，2n 1n 2n 1n所以 n281， n9.(2)设第 r1 项含 x3项，则 Tr1 C ( )9 r r(2) rC932rx，所以r9 x (2x) r93， r1，9 3r2所以第二项为含 x3的项， T22C x318 x3.19二项
12、式系数为 C 9.19例 3 解 通项公式为Tr1 C 3nrx(3) r 3x C (3) r23nx.rn rn(1)第 6 项为常数项，当 r5 时，有 0，即 n10.n 2r3(2)令 2，得 r (n6)2，n 2r3 12所求的系数为 C (3) 2405.210(3)由题意，得Error!令10 2r3 t(tZ)，- 8 -则 102 r3 t，即 r5 t.32 rZ， t 应为偶数令 t2,0，2，即 r2,5,8.第 3 项，第 6 项与第 9 项为有理项，它们分别为 405x2，61 236,295 245 x2 .跟踪训练 3 (1)1解析 展开式的通项为 Tr1 C x9 r( a)r rC ( a)rx92 r(0 r9， rN)当r9 (1x) r992 r3 时，解得 r3，代入得 x3的系数，根据题意得 C ( a)384，解得 a1.39(2)160解析 由题意得 n6， Tr1 2 rC x62 r，令 62 r0 得 r3，常数项为 C 23160.r6 36当堂训练1112 2.9 3.6 4. x55解 ( )4C ( )4C ( )3 C ( )2( )2C ( )3x1x 04 x 14 x 1x 24 x 1x 34x 1xC ( )4 x24 x6 .41x 4x 1x2
