1、- 1 -1.5.2 二项式系数的性质及应用(一)学习目标 1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数.2.理解二项式系数的性质并灵活运用知识点 二项式系数的性质(a b)n的展开式的二项式系数，当 n 取正整数时可以表示成如下形式：思考 1 从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？思考 2 计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？思考 3 二项式系数的最大值有何规律？梳理 (1)二项式系数表的特点在同一行中，每行两端都是_，与这两个 1 等距离的项的系数_每行两端都是 1，而且除 1 以外的每一个数都等于它肩上两个数的和(2)二项式系数的性质一般地，( a b)n
2、展开式的二项式系数 C ，C ，C 有如下性质：0n 1n n- 2 -C _；mnC C _；mn m 1n当 r 时，C _；n 12 rn当 r 时，_C ；n 12 rnC C C C _.0n 1n 2n n类型一 与二项式系数表有关的问题例 1 如图所示，在“杨辉三角”中，从 1 开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，记其前 n 项和为 Sn，求 S16的值反思与感悟 对杨辉三角形的规律注意观察，找出规律并用数学式正确表达出来，对数学式进行运算，得出正确结论跟踪训练 1 请观察下图，并根据数表中前五行的数字所反映的规律，推算出第九行正中间的数应是_类
3、型二 求展开式的系数和- 3 -例 2 设(2 x)100 a0 a1x a2x2 a100x100，求下列各式的值3(1)a0；(2)a1 a2 a3 a4 a100；(3)a1 a3 a5 a99；(4)(a0 a2 a100)2( a1 a3 a99)2；(5)|a0| a1| a100|.反思与感悟 二项展开式中系数和的求法(1)对形如( ax b)n，( ax2 bx c)m(a， b， cR， m， nN *)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x1 即可；对( ax by)n(a， bR， nN *)的式子求其展开式各项系数之和，只需令 x y1 即可(2)一般地
4、，若 f(x) a0 a1x a2x2 anxn，则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1)，奇数项系数之和为 a0 a2 a4 ，f1 f 12偶数项系数之和为 a1 a3 a5 .f1 f 12跟踪训练 2 在二项式(2 x3 y)9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；- 4 -(3)所有奇数项系数之和1在(2 x )4的展开式中，各项的二项式系数的和为_1x2若( x3 y)n的展开式中所有项的系数之和等于(7 a b)10的展开式的二项式系数之和，则n 的值为_3观察图中的数所成的规律，则 a 所表示的数是_4设(2 x3) 4 a0 a1x a2x2 a3x3
5、 a4x4，则 a0 a1 a2 a3的值为_5若 x4(x3) 8 a0 a1(x2) a2(x2) 2 a12(x2) 12，则 log2(a1 a3 a11)_.用赋值法求多项式系数和求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定- 5 -答案精析问题导学知识点思考 1 在同一行中，每行两端都是 1，与这两个 1 等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它肩上两个数的和思考 2 2,4,8,16,32,64，其系数和为 2n.思考 3 当 n2,4,6 时，中间一项最大，当 n3,5 时中间两项最大梳理
6、 (1)1 相等 (2)C n mnC C C 2 nmn 1 r 1n r 1n题型探究例 1 解 由题意及杨辉三角的特点可得S16(12)(33)(64)(105)(369)(C C )(C C )(C C )(C C )02 12 23 13 24 14 29 19(C C C C )(239)2 23 24 29C 164.31082 92跟踪训练 1 70例 2 解 (1)令 x0，则展开式为 a02 100.(2)令 x1，可得 a0 a1 a2 a100(2 )100，3 a1 a2 a100(2 )1002 100.3(3)令 x1，可得a0 a1 a2 a3 a100(2 )
7、100.3与联立相减，得a1 a3 a99 .2 3100 2 31002(4)原式( a0 a2 a100)( a1 a3 a99)(a0 a2 a100)( a1 a3 a99)( a0 a1 a2 a100)(a0 a1 a2 a3 a98 a99 a100)(2 )(2 )1001 1001.3 3(5) Tr1 (1) rC 2100 r( )rxr，r100 3 a2k1 0(kN *)| a0| a1| a2| a100| a0 a1 a2 a3 a100(2 )100.3跟踪训练 2 解 设(2 x3 y)9 a0x9 a1x8y a2x7y2 a9y9.- 6 -(1)二项式系数之和为 C C C C 2 9.09 19 29 9(2)各项系数之和为 a0 a1 a2 a9，令 x1， y1，所以 a0 a1 a2 a9(23) 91.(3)令 x1， y1，可得a0 a1 a2 a95 9，又 a0 a1 a2 a91，将两式相加可得 a0 a2 a4 a6 a8 ，59 12即所有奇数项系数之和为 .59 12当堂训练116 2.5 3.6 4.15 5.7
