1、- 1 -1.5.2 二项式系数的性质及应用(二)学习目标 1.进一步理解并掌握二项式系数的性质.2.能解决二项式系数的最大、最小问题.3.会解决整除问题知识点 二项式系数的性质一般地，( a b)n展开式的二项式系数 C ，C ，C 有如下性质：0n 1n n(1)C _.mn(2)C C _.mn m 1n(3)当 r 时，C _；n 12 rn当 r 时，_C .n 12 rn(4)C C C C _.0n 1n 2n n特别提醒：(1)当 n 为偶数时，二项式系数中，以 2Cn最大；当 n 为奇数时，二项式系数中以12n和+(两者相等)最大(2)二项展开式中，偶数项的二项式系数的和与奇
2、数项的二项式系数的和相等，即 C C C0n 2nC C 2 n1 .4n 1n 3n类型一 二项式系数或系数最大项问题例 1 (12 x)n的展开式中第 6 项与第 7 项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项- 2 -反思与感悟 (1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当 n 为奇数时，中间两项的二项系数最大；当 n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式组的方法求得跟踪训练 1 在( )8的展开式中：x2x2(1)系数的绝对值最大的项是第几项？(2)求
3、二项式系数最大的项；(3)求系数最大的项类型二 利用二项式定理解决整除问题例 2 求证：2 n2 3n5 n4( nN *)能被 25 整除- 3 -反思与感悟 利用二项式定理证明或判断整除问题，一般要进行合理变形，常用的变形方法就是拆数，往往是将幂底数写成两数的和，并且其中一个数是除数的因数，这样能保证被除式展开后的大部分项含有除式的倍数，进而可判断或证明被除数能否被除数整除，若不能整除则可求出余数跟踪训练 2 求证：51 511 能被 7 整除1若( x3 )n(nN *)的展开式中只有第 6 项系数最大，则该展开式中的常数项为1x2_2今天是星期一，今天是第 1 天，那么第 810天是星
4、期_- 4 -3设 aZ，且 0 a13，若 512 012 a 能被 13 整除，则 a_.4已知 n展开式中的第 5 项是常数，则展开式中系数最大的项是第_项(3x 1x)5已知( a b)n的二项展开式中只有第 5 项的二项式系数最大，则 n_.1二项式系数的性质求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质， n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大2求展开式中系数最大的项的问题，可设第 r1 项的系数 Tr1 最大，则满足不等式Error!由不等式组解出 r 的值3余数及整除问题(1)求余数问题求余数的关键是将原数进行合理、科学的拆分，然后借助二项展
5、开式进行分析若最后一项是一个小于除数的正数，则该数就是所求的余数；若是负数，则还要进行简单的加、减运算产生(2)整除问题整除问题实际上就是判断余数是否为零，因此求解整除问题可以借助于求余数问题展开思路- 5 -答案精析知识梳理知识点(1)C (2)C (3)C C (4)2 nn mn mm 1 r 1n r 1n题型探究例 1 解 T6C (2x)5， T7C (2x)6，依题意有 C 25C 26n8.5n 6n 5n 6n(12 x)8的展开式中，二项式系数最大的项为 T5C (2x)41 120 x4.48设第 r1 项系数最大，则有Error!解得 5 r6. r5 或 r6.系数最
6、大的项为 T61 792 x5，T71 792 x6.跟踪训练 1 解 Tr1 C ( )8 r( )rr8 x 2x2(1) rC 2r542(r0,1,2，8)r8(1)设第 r1 项系数的绝对值最大，则Error!Error!解得 5 r6.又0 r8， rN， r5 或 r6.故系数的绝对值最大的项是第 6 项和第 7 项(2)二项式系数最大的项为中间项，即第 5 项， T5C 24x6 1 120 x6 .48(3)由(1)知，展开式中第 6 项和第 7 项的系数的绝对值最大，而第 6 项的系数为负，第 7 项的系数为正，系数最大的项为 T7C 26x11681 792 x11 .例
7、 2 证明 原式46 n5 n44(51) n5 n44(C 5nC 5n1 C 5n2 C )5 n40n 1n 2n n4(C 5nC 5n1 C 52C 51)4C 5 n40n 1n n 2n n 1n n4(C 5nC 5n1 C 52)20 n45 n40n 1n n 2n- 6 -4(C 5nC 5n1 C 52)25 n.0n 1n n 2n以上各项均为 25 的整数倍，故 2n2 3n5 n4 能被 25 整除跟踪训练 2 证明 51 511(492) 511C 4951C 49502C 49250C 2511.051 15 501 51易知除 C 2511 以外各项都能被 7 整除51又 C 25112 511(2 3)17151(71) 171C 717C 716C 7C 1017 17 167 177(C 716C 715C )，017 17 167显然能被 7 整除，所以 51511 能被 7 整除当堂训练1210 2.一 3.12 4.9 5.8
