1、- 1 -2.1 随机变量及其概率分布学习目标 1.理解随机变量的含义，了解随机变量与函数的区别与联系.2.理解随机变量 x的概率分布，掌握两点分布.3.会求简单的分布知识点一 随机变量思考 1 抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果，这种试验结果能用数字表示吗？思考 2 在一块地里种 10 棵树苗，成活的树苗棵数为 X，则 X 可取哪些数字？梳理 (1)随机变量的定义一般地，如果_的结果可以用一个_来表示，那么这样的变量叫做_(2)随机变量的表示方法随机变量通常用大写拉丁字母_(或小写希腊字母 ， ， )等表示随机变量取的可能值常用小写拉丁字母_(加上适当下标)等表示知识
2、点二 随机变量的概率分布思考 掷一枚骰子，所得点数为 X，则 X 可取哪些数字？当 X 取不同的值时，其概率分别是多少？你能用表格表示 X 与 P 的对应关系吗？梳理 (1)随机变量 X 的概率分布列一般地，假定随机变量 X 有 n 个不同的取值，它们分别是 x1， x2， xn，且 P(X xi)_， i1,2,3， n，则称为随机变量 X 的概率分布列，简称为 X 的分布列，也可以用下表表示- 2 -X x1 x2 xnP p1 p2 pn通常将上表称为随机变量 X 的概率分布表，它和都叫做随机变量 X 的概率分布显然，这里的 pi(i1,2， n)满足条件 pi_0， p1 p2 pn_
3、.(2)01 分布(或两点分布)随机变量 X 只取两个可能值 0 和 1，这一类概率分布称为 01 分布或两点分布，并记为_分布或_，此处“”表示“_” 类型一 随机变量的概念例 1 下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由(1)某机场一年中每天运送乘客的数量；(2)某单位办公室一天中接到电话的次数；(3)明年 5 月 1 日到 10 月 1 日期间所查酒驾的人数；(4)明年某天济南青岛的某次列车到达青岛站的时间反思与感悟 随机变量的辨析方法(1)随机试验的结果的可变性，即每次试验对应的结果不尽相同(2)随机试验的结果的不确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次
4、试- 3 -验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量跟踪训练 1 判断下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由(1)某天广电局信息台接到咨询电话的个数；(2)某运动员在某场比赛中(48 分钟)，上场比赛的时间；(3)在一次绘画作品评比中设有一、二、三等奖，你的一件作品获得的奖次；(4)体积为 64 cm3的正方体的棱长类型二 随机变量的取值引申探究在本例(1)的条件下，若规定取出一个红球赢 2 元，而取出一个白球输 1 元，以 表示赢得的钱数，结果如何？例 2 写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表
5、示的随机试验的结果(1)一个袋中装有 8 个红球，3 个白球，从中任取 5 个球，其中所含白球的个数为 X；(2)一个袋中有 5 个同样大小的黑球，编号为 1,2,3,4,5，从中任取 3 个球，取出的球的最大号码记为 X.反思与感悟 解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值，以及其取每一个值- 4 -时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果跟踪训练 2 写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果(1)从学校回家要经过 3 个红绿灯口，可能遇到红灯的次数 ；(2)电台在每个整点都报时，报时所需时间为
6、 0.5 分钟，某人随机打开收音机对时间，他所等待的时间为 分钟类型三 随机变量的分布列命 题 角 度 1 分 布 列 性 质 的 应 用例 3 设随机变量 X 的分布列为 P(X ) ak(k1,2,3,4,5)k5(1)求常数 a 的值；(2)求 P(X )；35(3)求 P( X )110 710- 5 -反思与感悟 利用概率分布及其性质解题时要注意以下两个问题(1)X 的各个取值表示的事件是互斥的(2)不仅要注意 i1，而且要注意 pi0， i1,2， n.ni 1p跟踪训练 3 (1)下面是某同学求得的离散型随机变量 X 的概率分布表X 1 0 1P 12 14 16试说明该同学的计
7、算结果是否正确(2)设 是一个离散型随机变量，其概率分布如下表： 1 0 1P 12 12 q q2求 q 的值；求 P( 0)， P( 0)- 6 -命 题 角 度 2 求 概 率 分 布引申探究若将本例条件中 5 个球改为 6 个球，最小号码改为最大号码，其他条件不变，试写出随机变量 X 的概率分布例 4 一袋中装有 5 个球，编号分别为 1,2,3,4,5.在袋中同时取 3 个球，以 X 表示取出的 3 个球中的最小号码，写出随机变量 X 的概率分布反思与感悟 求随机变量的概率分布的步骤(1)明确随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义(2)利用概率的有关知识，求出随机变量取每个值
8、的概率(3)按规范形式写出概率分布，并用概率分布的性质验证跟踪训练 4 袋中有 1 个白球和 4 个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止，求取球次数 X 的概率分布- 7 -1给出下列四个命题：15 秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；在一段时间内，某候车室内候车的旅客人数是随机变量；一条河流每年的最大流量是随机变量；一个剧场有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量其中是真命题的有_(填序号)2设离散型随机变量 X 的概率分布如下：X 1 2 3 4P p12 13 16p则 p 的值为_3抛掷两枚骰子，所得点数之和记为 X，那么 X5 表示的随机试
9、验的结果是_4从标有 110 的 10 支竹签中任取 2 支，设所得 2 支竹签上的数字之和为 X，那么随机变量 X 的可能取值有_个5甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制” 用 表示需要比赛的局数，写出“ 6”时表示的试验结果- 8 -1随机变量的三个特征(1)可用数来表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值；(3)在试验之前不能确定取值2求随机变量的分布列应注意的几个问题(1)随机变量 X 的分布列实质上就是随机变量 X 与这一变量所对应的概率 P 的分布表，它从整体上反映了随机变量取各个值的可能性的大小，反映了随机变量取值的规律(2)在处理随机变量的概率分布时，先根
10、据随机变量的实际意义，利用试验结果找出随机变量的取值，再求相应的概率是常用的方法(3)求出概率分布后注意运用概率分布的两条性质检验所求的概率分布是否正确- 9 -答案精析问题导学知识点一思考 1 可以，可用数字 1 和 0 分别表示正面向上和反面向上思考 2 X0,1,2,3，10.梳理 (1)随机试验 变量 随机变量 (2) X， Y， Z x， y， z知识点二思考 (1) X1,2,3,4,5,6，概率均为 .16(2)X 与 P 的对应关系如下.X 1 2 3 4 5 6P 16 16 16 16 16 16梳理 (1) pi 1 (2) X01X两点分布 服从题型探究例 1 解 (1
11、)某机场一年中每天运送乘客的数量可能为 0,1,2,3，是随机变化的，因此是随机变量(2)某单位办公室一天中接到电话的次数可能为 0,1,2,3，是随机变化的，因此是随机变量(3)明年 5 月 1 日到 10 月 1 日期间，所查酒驾的人数可能为 0,1,2,3，是随机变化的，因此是随机变量(4)济南青岛的某次列车到达青岛站的时间每次都是随机的，可能提前，可能准时，也可能晚点，因此是随机变量跟踪训练 1 解 (1)接到咨询电话的个数可能是 0,1,2，出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量(2)该运动员在某场比赛的上场时间在0,48内，出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量(3)获得的奖次
12、可能是 1,2,3，出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量(4)体积为 64 cm3的正方体的棱长为 4 cm，为定值，因此不是随机变量例 2 解 (1) X0 表示取 5 个球全是红球；X1 表示取 1 个白球，4 个红球；X2 表示取 2 个白球，3 个红球；- 10 -X3 表示取 3 个白球，2 个红球(2)X3 表示取出的球编号为 1,2,3；X4 表示取出的球编号为 1,2,4；1,3,4 或 2,3,4；X5 表示取出的球编号为 1,2,5；1,3,5；1,4,5；2,3,5；2,4,5 或 3,4,5.引申探究解 10 表示取 5 个球全是红球； 7 表示取 1 个白球，4
13、个红球； 4 表示取 2 个白球，3 个红球； 1 表示取 3 个白球，2 个红球跟踪训练 2 解 (1) 可取 0,1,2,3， 0 表示遇到红灯的次数为 0； 1 表示遇到红灯的次数为 1； 2 表示遇到红灯的次数为 2； 3 表示遇到红灯的次数为 3.(2) 的可能取值为区间0,59.5内的任何一个值，每一个可能取值表示他所等待的时间例 3 解 (1)由 a2 a3 a4 a5 a1，得 a .115(2) P(X ) k(k1,2,3,4,5)，k5 115 P(X ) P(X ) P(X ) P(X1) .35 35 45 315 415 515 45(3)当 X ，只有 X ， 时
14、满足，110 710 1525 35故 P( X ) P(X ) P(X ) P(X ) .110 710 15 25 35 115 215 315 25跟踪训练 3 解 (1)因为 P(X1) P(X0) P(X1) ，不满足概率之和12 14 16 1112为 1 的性质，因而该同学的计算结果不正确(2)由概率分布的性质，得 12 q0，q20，(12 q) q21，12所以 q1 .22 P( 0) P( 1) ，12P( 0) P( 1) P( 0)- 11 - 12 .12 (1 22) 2 12例 4 解 随机变量 X 的可能取值为 1,2,3.当 X1 时，即取出的 3 个球中最
15、小号码为 1，则其他 2 个球只能在编号为 2,3,4,5 的 4 个球中取，故有 P(X1) ；C24C35 610 35当 X2 时，即取出的 3 个球中最小号码为 2，则其他 2 个球只能在编号为 3,4,5 的 3 个球中取，故有 P(X2) ；C23C35 310当 X3 时，即取出的 3 个球中最小号码为 3，则其他 2 个球只能是编号为 4,5 的 2 个球，故有 P(X3) .C2C35 110因此， X 的概率分布如下表：X 1 2 3P 35 310 110引申探究解 随机变量 X 的可能取值为 3,4,5,6.从袋中随机地取出 3 个球，包含的基本事件总数为 C：事件“
16、X3”包含的基本事件总数为 C C ，事件“ X4”包含的基本事件总数为 C C ，36 12 123事件“ X5”包含的基本事件总数为 C C ，事件“ X6”包含的基本事件总数为 C C ，124 125从而有 P(X3) ， P(X4) ，C1C2C36 120 C1C23C36 320P(X5) ， P(X6) .C1C24C36 310 C1C25C36 12所以随机变量 X 的概率分布如下表：X 3 4 5 6P 120 320 310 12跟踪训练 4 解 X 的可能取值为 1,2,3,4,5，则第 1 次取到白球的概率为 P(X1) ，15第 2 次取到白球的概率为 P(X2) ，4154 15第 3 次取到白球的概率为 P(X3) ，431543 15第 4 次取到白球的概率为 P(X4) ，43215432 15- 12 -第 5 次取到白球的概率为 P(X5) ，4321154321 15所以 X 的概率分布如下表：X 1 2 3 4 5P 15 15 15 15 15当堂训练1 2.133一枚 3 点，一枚 2 点或一枚 1 点，一枚 4 点4175解 根据题意可知， 6 表示甲在前 5 局中胜 3 局且在第 6 局中胜出或乙在前 5 局中胜3 局且在第 6 局中胜出
