1、- 1 -2.2 超几何分布学习目标 1.了解超几何分布的实际背景.2.理解超几何分布的特征.3.能用超几何分布这一概率模型解决相关问题知识点 超几何分布思考 从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛，设随机变量 X 表示所选 3 人中女生的人数(1)X 的所有可能值是什么？(2)X 的概率分布是什么？梳理 超几何分布(1)概念：一般地，若一个随机变量 X 的分布列为 P(X r) ，其中CrMCn rN MCnNr0,1,2,3， l， lmin( n， M)，则称 X 服从超几何分布(2)记法： X 服从超几何分布，记为_，并将 P(X r)_记为H(r； n， M， N)(
2、3)含义：在 H(r； n， M， N)中， r， n， M， N 的含义：特别提醒：(1)超几何分布的模型特点超几何分布中的正品、次品也可以理解为黑、白，男、女等有明显差异的两部分超几何分布中“ X k”的含义是“取出的 n 件产品中恰好有 k 件次品” (2)超几何分布的特征超几何分布的抽取是不放回的超几何分布本质上还是这一事件在该随机试验中发生的次数与总次数的比类型一 超几何分布求概率例 1 从放有 10 个红球与 15 个白球的暗箱中，随意摸出 5 个球，规定取到一个白球得 1 分，- 2 -一个红球得 2 分，求某人摸出 5 个球，恰好得 7 分的概率反思与感悟 解答此类问题的关键是
3、先分析随机变量是否满足超几何分布若满足，则直接利用公式解决；若不满足，则应借助相应概率公式求解跟踪训练 1 在元旦晚会上，数学老师设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有 10 个红球和20 个白球，这些球除颜色外完全相同，从中任意摸出 5 个球，至少摸到 3 个红球中奖，求中奖的概率(结果保留两位小数)类型二 超几何分布求概率分布引申探究在本例条件下，若记取到白球的个数为随机变量 ，求随机变量 的概率分布例 2 一- 3 -个袋中装有 6 个形状大小完全相同的小球，其中红球有 3 个，编号为 1,2,3；黑球有 2 个，编号为 1,2；白球有 1 个，编号为 1.现从袋中一次随机抽取 3 个球(
4、1)求取出的 3 个球的颜色都不相同的概率；(2)记取得 1 号球的个数为随机变量 X，求随机变量 X 的概率分布反思与感悟 超几何分布的求解步骤(1)辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否具有明显的两部分组成，如“男生、女生” ， “正品、次品” “优劣”等，或可转化为明显的两部分具有该特征的概率模型为超几何分布模型(2)算概率：可以直接借助公式 P(X r) 求解，也可以利用排列组合及概率的知识CrMCn rN MCnN求解，需注意借助公式求解时应理解参数 M， N， n， r 的含义(3)列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来跟踪训练 2 从 5 名男生和 3 名女生中任选 3
5、人参加奥运会火炬接力活动若随机变量 X 表示所选 3 人中女生的人数，求 X 的概率分布及 P(X2)- 4 -类型三 超几何分布的综合应用例 3 在 10 件产品中，有 3 件一等品，4 件二等品，3 件三等品从这 10 件产品中任取 3件求：(1)取出的 3 件产品中一等品件数 X 的概率分布；(2)取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率反思与感悟 识别超几何分布的三大标准(1)总数为 N 件的物品只分为两类： M(M N)件甲类(或次品)， N M 件乙类(或正品)(2)从 N 件物品中行取 n(n N)件物品必须采用不放回抽样(3)随机变量 X 表示从 N 件物品中任取 n
6、(n N)件物品，其中所含甲类物品(或次品)的件数跟踪训练 3 袋中装着标有数字 1,2,3,4,5 的小球各 2 个，从袋中任取 3 个小球，按 3 个小球上最大数字的 9 倍计分，每个小球被取出的可能性相等，用 X 表示取出的 3 个小球上的最大数字，求：(1)取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量 X 的概率分布；(3)计算介于 20 分到 40 分之间的概率- 5 -1盒中有 4 个白球，5 个红球，从中任取 3 个球，则取出 1 个白球和 2 个红球的概率是_2有 10 位同学，其中男生 6 位，女生 4 位，从中任选 3 人参加数学竞赛用 X 表示女生人数，则概率
7、 P(X2)_.3从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加数学竞赛，则所选 3 人中，女生的人数不超过 1人的概率为_- 6 -4从 1,2,3,4,5 中任取 3 个数，记最大的数为 ，则 P( 4)_.5一个盒子里装有 4 张大小形状完全相同的卡片，分别标有数字 2,3,4,5；另一个盒子里也装有 4 张大小形状完全相同的卡片，分别标有数字 3,4,5,6.现从一个盒子里任取一张卡片，其上面的数记为 x，再从另一个盒子里任取一张卡片，其上面的数记为 y，记随机变量 x y，求 的概率分布1超几何分布的判断判断随机变量是否服从超几何分布，可以从以下两个方面判断：一是超几何分布描述的是不
8、放回抽样问题；二是随机变量为抽到的某类个体的个数2超几何分布的分布列的求法(1)在超几何分布中，只要知道 N， M 和 n，就可以根据公式，求出 X 取不同 r 值时的概率P(X r)，从而列出 X 的概率分布(2)一旦掌握了 X 的概率分布，就可以算出相应试验的很多事件的概率，从而就完全掌握了该试验- 7 -答案精析问题导学知识点思考 (1)0,1,2.(2)P(X0) ，C34C36 420 15P(X1) ，C12C24C36 1220 35P(X2) ，C2C14C36 420 15 X 的概率分布如下表：X 0 1 2P 15 35 15梳理 (2) X H(n， M， N) CrM
9、Cn rN MCnN题型探究例 1 解 设摸出的红球个数为 X，则 X 服从超几何分布，其中 N25， M10， n5.由于摸出 5 个球，得 7 分，仅有两个红球的可能，那么恰好得 7 分的概率为P(X2) 0.385，C210C315C52即恰好得 7 分的概率约为 0.385.跟踪训练 1 解 设摸出红球的个数为 X，则 X 服从超几何分布，其中 N30， M10， n5.于是中奖的概率为P(X3) P(X3) P(X4) P(X5) C310C5 330 10C530 C410C5 430 10C530 C510C5 530 10C530120190 21020 252C53027 2
10、52142 5060.19.例 2 解 (1)从袋中一次随机抽取 3 个球，基本事件总数 nC 20，取出的 3 个球的颜色36都不相同包含的基本事件的个数为 C C C 6，所以取出的 3 个球的颜色都不相同的概率为13121P .620 310- 8 -(2)由题意知， X0,1,2,3.P(X0) ， P(X1)C3C36 120 C13C23C36 ，920P(X2) ， P(X3)C23C13C36 920 C3C36 .120所以 X 的概率分布为X 0 1 2 3P 120 920 920 120引申探究解 由题意可知 0,1，服从两点分布又 P( 1) ，所以 的概率分布如下表
11、：C25C36 12 0 1P 12 12跟踪训练 2 解 由题意分析可知，随机变量 X 服从超几何分布，其中 N8， M3， n3.所以 P(X0) ， P(X1) ，C35C03C38 528 C25C13C38 1528P(X2) ， P(X3) .C15C23C38 1556 C05C3C38 156故随机变量 X 的概率分布如下表：X 0 1 2 3P 528 1528 1556 156所以 P(X2) P(X0) P(X1) .528 1528 57例 3 解 (1)由于从 10 件产品中任取 3 件的基本事件总数为 C ，从 10 件产品中任取 3 件，310其中恰有 m(0 m
12、3 且 mN)件一等品的基本事件个数为 C C ，那么从 10 件产品中任取m33 m73 件，其中恰有 m 件一等品的概率为 P(X m) ， m0,1,2,3.Cm3C3 m7C310所以随机变量 X 的概率分布如下表：- 9 -X 0 1 2 3P 724 2140 740 1120(2)设“取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件 A， “恰好取出 1 件一等品和2 件三等品”为事件 A1， “恰好取出 2 件一等品”为事件 A2， “恰好取出 3 件一等品”为事件A3.由于事件 A1， A2， A3彼此互斥，且 A A1 A2 A3，又因为 P(A1) ，C13C23C3
13、10 340P(A2) P(X2) ，740P(A3) P(X3) ，1120所以 P(A) P(A1) P(A2) P(A3) .340 740 1120 31120即取出的 3 件产品中一等品的件数多于二等品的件数的概率为 .31120跟踪训练 3 解 (1)“一次取出的 3 个小球上的数字互不相同”的事件记为 A，则 P(A) .C35C12C12C12C310 23(2)由题意知， X 所有可能的取值为 2,3,4,5.P(X2) ，C2C12 C12C2C310 130P(X3) ，C24C12 C14C2C310 215P(X4) ，C26C12 C16C2C310 310P(X5
14、) ，C28C12 C18C2C310 815所以随机变量 X 的概率分布如下表：X 2 3 4 5P 130 215 310 815(3)“一次取球得分介于 20 分到 40 分之间”记为事件 C，则 P(C) P(X3) P(X4) .215 310 1330当堂训练- 10 -1. 2. 3. 4.1021 2930 45 3105解 依题意， 的可能取值是 5,6,7,8,9,10,11.则有 P( 5) ，144 116P( 6) ， P( 7) ，216 18 316P( 8) ， P( 9) ，416 14 316P( 10) ， P( 11) .216 18 116所以 的概率分布为 5 6 7 8 9 10 11P 116 18 316 14 316 18 116
