1、- 1 -2.2.2 间接证明学习目标 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题知识链接1有人说反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题，这种说法对吗？为什么？答 这种说法是错误的，反证法是先否定命题，然后再证明命题的否定是错误的，从而肯定原命题正确，不是通过逆否命题证题命题的否定与原命题是对立的，原命题正确，其命题的否定一定不对2反证法主要适用于什么情形？答 要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形预习导引1间接证明不是直接从原
2、命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明2反证法从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)3反证法步骤反证法的过程包括下面 3 个步骤：反设，归谬，存真4反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等5反证法中常用的“结论词”与“反设词”如下：结论词 至少有一个 至多有一个 至少有 n 个 至多有 n 个反设词一个也没有(不存在)至少有两个至多有(n1)个至少有(n1)个结论词 只有一个 对所有 x 成立 对任意 x 不成立反设词没有或至少有两个存在 某个 x不成立
3、存在某个 x 成立- 2 -结论词 都是 一定是 p 或 q p 且 q反设词 不都是 不一定是 綈 p 且綈 q 綈 p 或綈 q要点一 用反证法证明“至多” “至少”型命题例 1 已知 x， y0，且 x y2.求证： ， 中至少有一个小于 2.1 xy 1 yx证明 假设 ， 都不小于 2，1 xy 1 yx即 2， 2.1 xy 1 yx x， y0，1 x2 y,1 y2 x.2 x y2( x y)，即 x y2 与已知 x y2 矛盾 ， 中至少有一个小于 2.1 xy 1 yx规律方法 对于含有“至多” 、 “至少”的命题适合用反证法，对于此类问题，需仔细体会“至少有一个” 、
4、 “至多有一个”等字眼的含义，弄清结论的否定是什么，避免出现证明遗漏的错误跟踪演练 1 已知 a， b， c， dR，且 a b c d1， ac bd1，求证： a， b， c， d 中至少有一个是负数证明 假设 a， b， c， d 都是非负数， a b c d1，( a b)(c d)1.又( a b)(c d) ac bd ad bc ac bd， ac bd1.这与已知 ac bd1 矛盾， a， b， c， d 中至少有一个是负数要点二 用反证法证明不存在、惟一性命题例 2 求证对于直线 l： y kx1，不存在这样的实数 k，使得 l 与双曲线 C：3 x2 y21 的交点 A、
5、 B 关于直线 y ax(a 为常数)对称证明 假设存在实数 k，使得 A、 B 关于直线 y ax 对称，设 A(x1， y1)、 B(x2， y2)，则有(1)直线 l： y kx1 与直线 y ax 垂直；(2)点 A、 B 在直线 l： y kx1 上；(3)线段 AB 的中- 3 -点 在直线 y ax 上，(x1 x22 ， y1 y22 )所以Error!由Error!得(3 k2)x22 kx20.当 k23 时， l 与双曲线仅有一个交点，不合题意由、得 a(x1 x2) k(x1 x2)2，由知 x1 x2 ，代入整理得：2k3 k2ak3，这与矛盾所以假设不成立，故不存在
6、实数 k，使得 A、 B 关于直线 y ax 对称规律方法 证明“惟一性”问题的方法：“惟一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思证明后一层意思时，采用直接证法往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证法，即用反证法(假设“有另外一个” ，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个” ，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法有时比用同一法更方便跟踪演练 2 求证：过一点只有一条直线与已知平面垂直已知：平面 和一点 P.求证：过点 P 与 垂直的直线只有一条证明 如图所示，不论点 P 在 内还是在 外，设 PA ，垂足为 A(或 P)假设过点 P 不止有一条直线与 垂直，如还有另一条
7、直线 PB ，设 PA， PB 确定的平面为 ，且 a，于是在平面 内过点 P 有两条直线 PA， PB 垂直于 a，这与过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾，假设不成立，原命题成立要点三 用反证法证明否定性命题例 3 已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn， a11 ， S393 .2 2(1)求数列 an的通项 an与前 n 项和 Sn；(2)设 bn (nN *)，求证：数列 bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列Snn(1)解 设公差为 d，由已知得Error! d2，故 an2 n1 ， Sn n(n )2 2(2)证明 由(1)得 bn n .Snn 2假设数列 bn中存
8、在三项 bp、 bq、 br(p、 q、 r 互不相等)成等比数列，则 b bpbr，2q- 4 -即( q )2( p )(r )，2 2 2( q2 pr)(2 q p r) 0.2 p， q， rN *，Error! 2 pr，( p r)20，(p r2 ) p r，这与 p r 矛盾数列 bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列规律方法 (1)当结论中含有“不” 、 “不是” 、 “不可能” 、 “不存在”等词语的命题时，此类问题的反面比较具体，适于应用反证法例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且
9、必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法跟踪演练 3 已知 f(x) ax (a1)，证明方程 f(x)0 没有负数根x 2x 1证明 假设 x0是 f(x)0 的负数根，则 x0b4用反证法证明命题：“设 a， b 为实数，则方程 x3 ax b0 至少有一个实根”时，要做的假设是_答案 方程 x3 ax b0 没有实根解析 方程 x3 ax b0 至少有一个实根的反面是方程 x3 ax b0 没有实根- 5 -5已知 a 是整数， a2是偶数，求证 a 也是偶数证明 (反证法)假设 a 不是偶数，即 a 是奇数设 a2 n1( nZ)，则 a24
10、 n24 n1.4( n2 n)是偶数，4 n24 n1 是奇数，这与已知 a2是偶数矛盾由上述矛盾可知， a 一定是偶数1.反证法证明的基本步骤：(1)反设假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真；(2)归谬从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；(3)存真由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立2用反证法证题要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法(3)反证法的关键是在正
11、确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的一、基础达标1反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾这个矛盾可以是_(填序号)与已知条件矛盾；与假设矛盾；与定义、公理、定理矛盾；与事实矛盾答案 2否定：“自然数 a， b， c 中恰有一个偶数”时正确的反设为_答案 a， b， c 中都是奇数或至少有两个偶数解析 自然数 a， b， c 的奇偶性共有四种情形：3 个都是奇数，1 个偶数 2 个奇数，2 个偶数1 个奇数，3 个都是偶数，所以否定“自然数 a， b， c 中恰有一个偶数”时正确的反设为“a， b， c 中都是奇数或至
12、少有两个偶数” 3有下列叙述：“ ab”的反面是“ ay 或 x . 2(2 a)28 a4 a(a2)0， ab bc ca0， abc0，求证： a0， b0， c0.证明 用反证法：假设 a， b， c 不都是正数，由 abc0 可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，不妨设 a0，则由 a b c0，可得 c( a b)，又 a b0， ab0， b20， a2 ab b2( a2 ab b2)0 矛盾，假设不成立 a0， b0， c0 成立12已知 a， b， c(0,1)，求证(1 a)b，(1 b)c，(1 c)a 不可能都大于 .14证明 假设三个式子同时大于 ，14即(1
13、 a)b ，(1 b)c ，(1 c)a ，14 14 14三式相乘得(1 a)a(1 b)b(1 c)c ，143- 8 -又因为 0a1，所以 0a(1 a) 2 .(a 1 a2 ) 14同理 0b(1 b) ，0 c(1 c) ，14 14所以(1 a)a(1 b)b(1 c)c ，143与矛盾，所以假设不成立，故原命题成立三、探究与创新13已知 f(x)是 R 上的增函数， a， bR.证明下面两个命题：(1)若 a b0，则 f(a) f(b) f( a) f( b)；(2)若 f(a) f(b) f( a) f( b)，则 a b0.证明 (1)因为 a b0，所以 a b， b a，又因为 f(x)是 R 上的增函数，所以 f(a) f( b)，f(b) f( a)，由不等式的性质可知 f(a) f(b) f( a) f( b)(2)假设 a b0，则 a b， b a，因为 f(x)是 R 上的增函数，所以 f(a) f( b)， f(b) f( a)，所以 f(a) f(b) f( a) f( b)，这与已知 f(a) f(b) f( a) f( b)矛盾，所以假设不正确，所以原命题成立
