1、- 1 -第 2 章 推理与证明(A)(时间：120 分钟 满分：160 分)一、填空题(本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分)1下列推理过程是类比推理的是_人们通过大量试验得出掷硬币出现正面的概率为12科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼通过检测溶液的 pH 值得出溶液的酸碱性由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数2观察式子：1 0，有 f(x2) f(x1)f .12 (x1 x22 )17(14 分)已知 a0， b0， a b1，求证： 2.a 12 b 12- 3 -18(16 分) 如图所示， ABC 是正三角形， AE 和 CD 都垂直于平面 ABC，且AE A
2、B2 a， CD a， F 是 BE 的中点(1)求证： DF平面 ABC；(2)求证： AF BD.19(16 分)设二次函数 f(x) ax2 bx c (a0)中的 a， b， c 均为整数，且 f(0)，f(1)均为奇数，求证：方程 f(x)0 无整数根20(16 分)观察下表：1，2,3，4,5,6,7，8,9,10,11,12,13,14,15，问：(1)此表第 n 行的最后一个数是多少？(2)此表第 n 行的各个数之和是多少？(3)2 008 是第几行的第几个数？第 2 章 推理与证明(A)答案- 4 -121 0，有 f(x2) f(x1) x x ( x2 x1)32 31(
3、x x1x2 x )2 21( x2 x1) 2，(1x1 1)(1x2 1)( 2x1 x2 1)事实上，00. x1 x2 2 1 x1 x2x1x2 x1 x2 2 2，(1x1 1)(1x2 1)( 2x1 x2 1)即有 lg lg 2，(1x1 1)(1x2 1) ( 2x1 x2 1)故 f(x1) f(x2)f .12 (x1 x22 )17证明 1 a b2 ， ab .ab14 (a b) ab 1.12 14 1.(a 12)(b 12)从而有 22 4.(a 12)(b 12)即 2 4.(a12) (b 12) (a 12)(b 12) 24.(a 12 b 12)
4、2.a 12 b 12- 6 -18证明 (1)取 AB 的中点 G，连结 FG， CG，可得 FG AE， FG AE，12又 CD平面 ABC， AE平面 ABC， CD AE， CD AE，12 FG CD， FG CD.又 FG平面 ABC，四边形 CDFG 是矩形， DF CG， CG平面 ABC，DF平面 ABC， DF平面 ABC.(2)Rt ABE 中， AE2 a， AB2 a， F 为 BE 的中点， AF BE， ABC 是正三角形， CG AB， DF AB，又 DF FG， FG AB G， DF平面 ABE， DF AF，又 DF BE F， AF平面 BDF，又
5、BD平面 BDF， AF BD.19证明 假设方程 f(x)0 有一个整数根 k，则 ak2 bk c0.因为 f(0) c， f(1) a b c 均为奇数，所以 a b 必为偶数，当 k 为偶数时，令 k2 n (nZ)，则 ak2 bk c4 n2a2 nb c2 n(2na b) c 必为奇数，与式矛盾；当 k 为奇数时，令 k2 n1 ( nZ)，则 ak2 bk c(2 n1)(2 na a b) c 为一奇数与一偶数乘积加上一个奇数，必为奇数，也与式矛盾，故假设不成立综上可知方程 f(x)0 无整数根20解 (1)由表知，从第二行起，每行的第一个数为偶数，所以第 n1 行的第一个数为 2n，所以第 n 行的最后一个数为 2n1.(2)由(1)知第 n1 行的最后一个数为 2n1 1，第 n 行的第一个数为 2n1 ，第 n 行的最后一个数为 2n1.又由观察知，每行数字的个数与这一行的第一个数相同，所以由等差数列求和公式得，Sn 2 2n3 2 2n2 2 n2 .2n 1 2n 1 2n 12(3)因为 2101 024,2112 048，又第 11 行最后一个数为 21112 047，所以 2 008是在第 11 行中，由等差数列的通项公式得，2 0081 024( n1)1，所以 n985，所以2 008 是第 11 行的第 985 个数
