1、- 1 -第 3 章 数系的扩充与复数的引入(B)(时间：120 分钟 满分：160 分)一、填空题(本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分)1若( x21)( x23 x2)i 是纯虚数，则实数 x 的值是_2复数 1 _.2i33如图，设向量 ， ， ， 所对应的复数分别为 z1， z2， z3， z4，那么OP PQ OQ OR z2 z42 z3_.4已知 z 是纯虚数， 是实数，那么 z_.z 21 i5设 z1i (i 是虚数单位)，则 z z _.z z6定义运算 ad bc，则符合条件 42i 的复数 z 为_|a c b d| |1 z 1 zi|7若( mi)
2、3R，则实数 m 的值为_8设复数 z 满足条件| z|1，那么| z2 i|的最大值为_29若 是方程 x2 px10 的一个根，则 p_. 1 3i210在复平面上复数1i、0、32i 所对应的点分别是 A、 B、 C，则平行四边形 ABCD的对角线 BD 的长为_11在复平面内，复数 对应点的坐标为_2i1 i12下列命题，正确的是_(填序号)复数的模总是正实数；虚轴上的点与纯虚数一一对应；相等的向量对应着相等的复数；实部与虚部都分别互为相反数的两个复数是共轭复数13设 z11i， z222i，复数 z1和 z2在复平面内对应点分别为 A、 B， O 为坐标原点，则 AOB 的面积为_1
3、4若复数 z2 2i 对应的点为 Z，则向量 所在直线的倾斜角 _.3 OZ 二、解答题(本大题共 6 小题，共 90 分)15(14 分)计算 (5i 19) 22.i 231 23i (1 i2)- 2 -16(14 分)已知复数 x2 x2( x23 x2)i (xR)是 420i 的共轭复数，求实数 x的值17(14 分)实数 k 为何值时，复数(1i) k2(35i) k2(23i)满足下列条件？(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数18(16 分)在复平面内，点 P、 Q 对应的复数分别为 z1、 z2，且z22 z134i，| z1|1，求点 Q 的轨迹19(16 分)已知
4、1i 是方程 x2 bx c0 的一个根( b、 c 为实数)(1)求 b， c 的值；(2)试说明 1i 也是方程的根吗？20(16 分)已知复数 z1i(1i) 3，(1)求| z1|；(2)若| z|1，求| z z1|的最大值- 3 -第 3 章 数系的扩充与复数的引入(B)答案11解析 ( x21)( x23 x2)i 是纯虚数，Error! x1.212i解析 1 1 12i.2i3 2i30解析 z2 z42 z3 z2 z3( z4 z3)，而 z2 z3对应的向量运算为： ， z4 z3对应的向量运算为： ，又PQ OQ PQ PR RQ OR OQ QR 0， z2 z42
5、 z30.RQ QR 42i解析 设 z bi (b0)，则 .z 21 i 2 bi1 i 2 bi 1 i2 2 b 2 b i2因为 是实数，所以 2 b0，z 21 i b2， z2i.54解析 z z (1i)(1i)1i1iz z224.63i解析 zi z z(1i)42i，|1 z 1 zi| z 3i.4 2i1 i 4 2i 1 i2 6 2i2733解析 因为( mi) 3R，( mi) 3 m33 m(3 m21)i，所以 3m210，解得 m .3384解析 复数 z 满足条件| z|1， z 所对应的点的轨迹是单位圆，而| z2 i|即表示单2位圆上的动点到定点(2
6、 ， 1)的距离2从图形上可得| z2 i|的最大值是 4.291解析 已知 是方程 x2 px10 的一个根，则 x 满足方程， 1 3i2 1 3i2代入得 2 p 10，( 1 3i2 ) 1 3i2整理得(1 p) 0 ，解得 p1.3i2 (12 p2)10 13- 4 -解析 对应的复数为1i， 对应的复数为 32i， ，BA BC BD BA BC 对应的复数为(1i)(32i)23i.BD BD 的长为 .1311(1,1)解析 i(1i)1i.2i1 i 2i 1 i 1 i 1 i复数对应点的坐标为(1,1)12132解析 由题意知 (1,1)， (2,2)，OA OB 且
7、| | z1| ，| | z2| 2 .OA 2 OB 8 2cos AOBOA OB |OA |OB | 0.1 2 12222 AOB ， S AOB | | | 2 12OA OB 2 2.12 2 214 6解析 由题意 (2 ，2)，OZ 3tan ，即 .223 33 615解 原式 (5i 3)i 1 23i1 23i 2i 11211i(5i)i 115i 35i.16解 因为复数 420i 的共轭复数为 420i，由题意得： x2 x2( x23 x2)i420i，根据复数相等的定义，得：Error!方程的解为 x3 或 x2，方程的解为 x3 或 x6. x3.17解 (1
8、i) k2(35i) k2(23i)( k23 k4)( k25 k6)i.(1)当 k25 k60，即 k6 或 k1 时，该复数为实数(2)当 k25 k60，即 k6 且 k1 时，该复数为虚数(3)当Error!即 k4 时，该复数为纯虚数18解 z22 z134i，2 z1 z234i.又|2 z1|2，| z234i|2，即| z2(34i)|2.由模的几何意义知点 Q 的轨迹是以(3，4)为圆心，2 为半径的圆19解 (1)因为 1i 是方程 x2 bx c0 的根，- 5 -(1i) 2 b(1i) c0，即( b c)(2 b)i0.Error!，得Error!. b2， c2.(2)方程为 x22 x20.把 1i 代入方程左边得(1i) 22(1i)20，显然方程成立，1i 也是方程的一个根20解 方法一 (1) z1i(1i) 3i(2i)(1i)2(1i)，| z1| 2 .22 22 2方法二 | z1|i(1i) 3|i|1i| 31( )32 .2 2(2)| z|1，设 zcos isin ，|z z1|cos isin 22i| cos 2 2 sin 2 2 .9 42sin( 4)当 sin 1 时，| z z1|2取得最大值( 4)94 ，从而得到| z z1|的最大值为 2 1.2 2
