1、- 1 -第 63 讲 直线与圆的综合应用1(2016福建四地六校联考)已知矩形 ABCD 的对角线交于点 P(2,0)，边 AB 所在的直线的方程为 x y20，点(1,1)在边 AD 上所在的直线上(1)求矩形 ABCD 的外接圆的方程；(2)已知直线 l：(12 k)x(1 k)y54 k0( kR)，求证：直线 l 与矩形 ABCD 的外接圆相交，并求最短弦长(1)依题意得 AB AD，所以 kAD1.所以 AD 的方程为 y1 x1，即 x y20.由Error!得Error!即 A(0,2)由已知得矩形 ABCD 的外接圆是以 P(2,0)为圆心，| AP|2 为半径，2其方程为(
2、 x2) 2 y28.(2)l：( x y5) k(y2 x4)0，Error!所以Error!即直线 l 过定点 M(3,2)因为(32) 22 258，所以点 M(3,2)在圆内，所以直线 l 与圆相交而圆心 P 与定点 M 的距离 d ， 3 2 2 2 0 2 5所以最短弦长2 2 .8 5 32在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 P 在 x 轴上截得的线段长为 2 ，在 y 轴上截得的2线段长为 2 .3(1)求圆心 P 的轨迹方程；(2)若 P 点到直线 y x 的距离为 ，求圆 P 的方程22(1)设 P(x， y)，圆 P 的半径长为 r，由题设知 y22 r2， x23 r
3、2，从而 y22 x23，故 P 点的轨迹方程为 y2 x21.(2)设 P(x0， y0)，由已知得 ，|x0 y0|2 22又点 P 在双曲线 y2 x21 上，从而得Error!由Error!得Error!此时，圆 P 的半径 r .3由Error!得Error!此时，圆 P 的半径 r .3故圆 P 的方程为 x2( y1) 23 或 x2( y1) 23.3(2017新课标卷)设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： y21 上，过 M 作 x 轴x22的垂线，垂足为 N，点 P 满足 .NP 2 NM (1)求点 P 的轨迹方程；(2)设点 Q 在直线 x3 上，且 1，证明：过
4、点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的OP PQ 左焦点 F.(1)设 P(x， y)， M(x0， y0)，则 N(x0,0)， ( x x0， y)， (0， y0)NP NM 由 得 x0 x， y0 y.NP 2 NM 22因为 M(x0， y0)在 C 上，所以 1.x22 y22因此点 P 的轨迹方程为 x2 y22.(2)证明：由题意知 F(1,0)- 2 -设 Q(3， t)， P(m， n)，则 (3， t)， (1 m， n)， 33 m tn， ( m， n)，OQ PF OQ PF OP (3 m， t n)PQ 由 1 得3 m m2 tn n21.OP PQ
5、 又由(1)知 m2 n22，故 33 m tn0.所以 0，即 .OQ PF OQ PF 又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ，所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.4(2016江苏卷)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M 为圆心的圆M： x2 y212 x14 y600 及其上一点 A(2,4)(1)设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 x6 上，求圆 N 的标准方程；(2)设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B， C 两点，且 BC OA，求直线 l 的方程；(3)设点 T(t,0)满足：存在圆 M 上的两点 P 和
6、Q，使得 ，求实数 t 的取值范TA TP TQ 围圆 M 的标准方程为 (x6) 2( y7) 225，所以圆心 M(6,7)，半径为 5.(1)由圆心 N 在直线 x6 上，可设 N(6， y0)因为圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，所以 0 y07，圆 N 的半径为 y0，从而 7 y05 y0，解得 y01.因此，圆 N 的标准方程为( x6) 2( y1) 21.(2)因为直线 l OA，所以直线 l 的斜率为 2.4 02 0设直线 l 的方程为 y2 x m，即 2x y m0，则圆心 M 到直线 l 的距离d .|26 7 m|5 |m 5|5因为 BC OA 2 ，22
7、 42 5而 MC2 d2 2，BC2所以 25 5，解得 m5 或 m15. m 5 25故直线 l 的方程为 2x y50 或 2x y150.(3)设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)因为 A(2,4)， T(t,0)， ，TA TP TQ - 3 -所以Error!因为点 Q 在圆 M 上，所以( x26) 2( y27) 225.将代入，得( x1 t4) 2( y13) 225.于是点 P(x1， y1)既在圆 M 上，又在圆 x( t4) 2( y3) 225 上，从而圆( x6) 2( y7) 225 与圆 x( t4) 2( y3) 225 有公共点，所以 55 55， t 4 62 3 7 2解得 22 t22 .21 21因此，实数 t 的取值范围是22 ，22 21 21
