1、1专题能力训练 10 三角变换与解三角形一、能力突破训练1.(2018全国 ,文 4)若 sin = ,则 cos 2= ( )A. B. C.- D.-2.已知 =- ,则 sin + cos 等于( )(-2)(-4) 22A.- B. C. D.-72 723. ABC中,角 A,B,C的对边分别是 a,b,c.已知 b=c,a2=2b2(1-sin A),则 A=( )A. B. C. D.34 3 4 64.(2018全国 ,文 7)在 ABC中,cos ,BC=1,AC=5,则 AB=( )2=55A.4 B. C. D.22 30 29 55.若 ,3cos 2= sin ,则
2、sin 2 的值为 ( )(2,) (4-)A. B.- C. D.-118 118 1718 17186.若 tan ,则 tan = . (-4)=167. ABC的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,若 2bcos B=acos C+ccos A,则 B= .8.在 ABC中,内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c.已知 asin 2B= bsin A.3(1)求 B;(2)若 cos A=,求 sin C的值 .9.已知函数 f(x)=sin2x-cos2x-2 sin xcos x(xR) .3(1)求 f 的值;(23)(2)求 f(x)的最小正周期及单调递增区间 .10
3、.设 ABC的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,a=btan A,且 B为钝角 .(1)证明: B-A= ;2(2)求 sin A+sin C的取值范围 .211.设 f(x)=sin xcos x-cos2 .(+4)(1)求 f(x)的单调区间;(2)在锐角三角形 ABC中,角 A,B,C的对边分别为 a,b,c.若 f =0,a=1,求 ABC面积的最大值 .(2)二、思维提升训练12.若 00,所以 A ,于是 sin A+sin C=sin A+sin(2+2)=2 (0,4)=sin A+cos 2A=-2sin2A+sin A+1=-2 .(2-2) (-14)2+98因
4、为 00,所以 sin A+cos A=0,即 tan A=-1,因为 A(0,),所以 A= .由正弦定理 ,得 ,即 sin C= ,所以 C= ,故选 B.34 = 234= 2 12 614.B 解析 因为 cos 2 =2cos2 -1=,所以 cos2 =,sin2 =.所以 tan2 =,tan = .55由于 a,b的正负性相同,不妨设 tan 0,即 tan = ,由三角函数定义得 a= ,b= ,故55 55 255|a-b|= .5515. 解析 152 104如图,取 BC中点 E,DC中点 F,由题意知 AE BC,BF CD.6在 Rt ABE中,cos ABE=
5、, cos DBC=- ,sin DBC= .=14 14 1- 116=154S BCD= BDBCsin DBC= .12 152 cos DBC=1-2sin2 DBF=- ,且 DBF为锐角, sin DBF= .14 104在 Rt BDF中,cos BDF=sin DBF= .104综上可得, BCD的面积是 ,cos BDC= .152 10416. 解析 因为 cos A=,cos C= ,且 A,C为 ABC的内角,2113 513所以 sin A= ,sin C= ,35 1213sin B=sin -(A+C)=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C
6、= .6365又因为 ,所以 b= .= =211317. 解析 由正弦定理及条件 ,得 bc+cb=4absin C,所以 =2a,设 ABC的外接圆半径为 R,233 则 =2R,所以 a=R.因为 b2+c2-a2=80,所以 cos A0,0A ,因为 =2R,所以 sin A= ,A=30,所以 cos A=2 12,所以 bc= ,所以 S ABC= bcsin A= .2+2-22 =32 833 12 23318.解 (1)因为 a=(cos x,sin x),b=(3,- ),ab,3所以 - cos x=3sin x.3若 cos x=0,则 sin x=0,与 sin2x+cos2x=1矛盾,故 cos x0 .于是 tan x=- .33又 x0,所以 x= .56(2)f(x)=ab=(cos x,sin x)(3,- )3=3cos x- sin x=2 cos .3 3 (+6)因为 x0,所以 x+ ,66,76从而 -1cos .(+6)32于是,当 x+ ,即 x=0时, f(x)取到最大值 3;6=6当 x+ =,即 x= 时, f(x)取到最小值 -2 .6 56 3
