1、1专题突破练 21 直线与圆及圆锥曲线1.(节选)在周长为定值的 ABC 中,已知 |AB|=6,且当顶点 C 位于定点 P 时,cos C 有最小值为 .(1)建立适当的坐标系,求顶点 C 的轨迹方程 .(2)略 .2.(2018 河北唐山一模,理 20)已知椭圆 :=1(ab0)的左焦点为 F,上顶点为 A,长轴长为 2,B 为直线 l:x=-3 上的动点, M(m,0),AM BM.当 AB l 时, M 与 F 重合 .(1)求椭圆 的方程;(2)若直线 BM 交椭圆 于 P,Q 两点,且 AP AQ,求 m 的值 .23.3已知圆 O:x2+y2=4,点 A(,0),以线段 AB 为
2、直径的圆内切于圆 O,记点 B 的轨迹为 .(1)求曲线 的方程;(2)直线 AB 交圆 O 于 C,D 两点,当 B 为 CD 的中点时,求直线 AB 的方程 .4.已知圆 M 的圆心 M 在 x 轴上,半径为 1,直线 l:y=x-被圆 M 所截的弦长为,且圆心 M 在直线 l 的下方 .(1)求圆 M 的方程;(2)设 A(0,t),B(0,t+6)(-5 t -2),若圆 M 是 ABC 的内切圆,求 ABC 的面积 S 的最大值和最小值 .45.(2018 宁夏银川一中一模,理 21)已知椭圆 =1(ab0)的离心率 e=,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4.(1)求椭圆的方程
3、;(2)设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A,B,已知点 A 的坐标为( -a,0),点 Q(0,y0)在线段 AB 的垂直平分线上,且 =4,求 y0的值 .6.(2018 河北唐山三模,理 20)已知点 A(-2,0),点 B(-1,0),点 C(1,0),动圆 O与 x 轴相切于点 A,过点 B 的直线 l1与圆 O相切于点 D,过点 C 的直线 l2与圆 O相切于点 E(D,E 均不同于点 A),且 l1与l2交于点 P,设点 P 的轨迹为曲线 .(1)证明: |PB|+|PC|为定值,并求 的方程;5(2)设直线 l1与 的另一个交点为 Q,直线 CD 与 交于 M,N 两点,当
4、O,D,C 三点共线时,求四边形 MPNQ 的面积 .参考答案专题突破练 21 直线与圆及圆锥曲线1.解 (1)以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 的中垂线为 y 轴,建立直角坐标系,设 |CA|+|CB|=2a(a3)为定值,所以 C 点的轨迹是以 A、 B 为焦点的椭圆,所以焦距 2c=|AB|=6,cos C=-1.6又 |CB|CA| 2=a2,所以 cos C1 -,由题意得 1-,a 2=25.此时 |PA|=|PB|,P 点坐标为(0, 4).点 C 的轨迹方程为 =1(y0) .2.解 (1)依题意得 A(0,b),F(-c,0),当 AB l 时, B(-3,b),由
5、AF BF 得 kAFkBF=-1,又 b2+c2=6,解得 c=2,b=所以,椭圆 的方程为 =1.(2)由(1)得 A(0,),依题意,显然 m0,所以 kAM=-,又 AM BM,所以 kBM=,所以直线 BM 的方程为 y=(x-m),设 P(x1,y1),Q(x2,y2).y=(x-m)与 =1 联立得(2 +3m2)x2-6m3x+3m4-12=0,x1+x2=,x1x2=|PM|QM|= 1+ |(x1-m)(x2-m)|= 1+ |x1x2-m(x1+x2)+m2|= 1+=,|AM|2=2+m2,由 AP AQ 得 |AM|2=|PM|QM|,所以 =1,解得 m=1.3.解
6、 7(1)设 AB 的中点为 M,切点为 N,连接 OM,MN,则 |OM|+|MN|=|ON|=2,|AB|=|ON|-(|OM|-|MN|)=2-|OM|+|AB|,即 |AB|+2|OM|=4.取 A 关于 y 轴的对称点 A,连接 AB,则 |AB|=2|OM|,故 |AB|+2|OM|=|AB|+|AB|=4.所以点 B 的轨迹是以 A,A 为焦点,长轴长为 4 的椭圆 .其中 a=2,c=,b=1,则曲线 的方程为 +y2=1.(2)因为 B 为 CD 的中点,所以 OB CD,则设 B(x0,y0),则 x0(x0-)+=0.又 =1,解得 x0=,y0= .则 kOB=,kAB
7、=,则直线 AB 的方程为 y=(x-),即 x-y-=0 或 x+y-=0.4.解 (1)设圆心 M(a,0),由已知得圆心 M 到直线 l:8x-6y-3=0 的距离为,又 圆心 M 在直线 l 的下方,8 8a-30, 8a-3=5,a=1.故圆 M 的方程为( x-1)2+y2=1.(2)由题意设 AC 的斜率为 k1,BC 的斜率为 k2,则直线 AC 的方程为 y=k1x+t,直线 BC 的方程为y=k2x+t+6.由方程组得 C 点的横坐标为 x0=|AB|=t+ 6-t=6,S= 6=,由于圆 M 与 AC 相切,所以 1=,k 1=;同理, k2=,k 1-k2=,S= 6
8、1- ,- 5 t -2,- 2 t+31,- 8 t2+6t+1 -4,S max=6 1+ =,Smin=6 1+ =, ABC 的面积 S 的最大值为,最小值为5.解 (1)由 e=,得 3a2=4c2,再由 c2=a2-b2,得 a=2b,由题意可知,2 a2b=4,即 ab=2.解方程组所以椭圆的方程为 +y2=1.(2)由(1)可知 A(-2,0).设 B 点的坐标为( x1,y1),直线 l 的斜率为 k,9则直线 l 的方程为 y=k(x+2),于是 A,B 两点的坐标满足方程组由方程组消去 y 整理,得(1 +4k2)x2+16k2x+(16k2-4)=0,由 -2x1=得
9、x1=,从而 y1=设线段 AB 的中点为 M,则 M 的坐标为 .以下分两种情况:(1)当 k=0 时,点 B 的坐标为(2,0) .线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,于是 =(-2,-y0),=(2,-y0),=4,得 y0=2(2)当 k0 时,线段 AB 的垂直平分线方程为 y-=- x+ .令 x=0,解得 y0=-由 =(-2,-y0),=(x1,y1-y0),=-2x1-y0(y1-y0)= =4.整理得 7k2=2,故 k=,所以 y0=综上 y0=2 或 y0=6.解 (1)由已知可得 |PD|=|PE|,|BA|=|BD|,|CE|=|CA|,所以 |PB|+|PC|=|
10、PD|+|DB|+|PC|=|PE|+|PC|+|AB|=|CE|+|AB|=|AC|+|AB|=4|BC|.所以点 P 的轨迹 是以 B,C 为焦点的椭圆(去掉与 x 轴的交点),可求 的方程为 =1(y0) .(2)由 O,D,C 三点共线及圆的几何性质,可知 PB CD,10又由直线 CE,CA 为圆 O的切线,可知 CE=CA,OA=OE,所以 OAC OEC,进而有 ACO= ECO,所以 |PC|=|BC|=2,又由椭圆的定义, |PB|+|PC|=4,得 |PB|=2,所以 PBC 为等边三角形,即点 P 在 y 轴上,点 P 的坐标为(0, ).( )当点 P 的坐标为(0,)时, PBC=60, BCD=30,此时直线 l1的方程为 y=(x+1),直线 CD 的方程为 y=-(x-1),由整理得 5x2+8x=0,得 Q -,- , 所以 |PQ|=,由整理得 13x2-8x-32=0,设 M(x1,y1),N(x2,y2),x1+x2=,x1x2=-,|MN|=|x1-x2|=,所以四边形 MPNQ 的面积 S=|PQ|MN|=( )当点 P 的坐标为(0, -)时,由椭圆的对称性,四边形 MPNQ 的面积为综上,四边形 MPNQ 的面积为
