1、17.2 概率、随机变量及其分布列【课时作业】A级1从 2,3,4,5,6这 5个数字中任取 3个，则所取 3个数之和为偶数的概率为( )A. B15 25C. D310 710解析： 从 2,3,4,5,6这 5个数字中任取 3个，共有 C 10(种)不同的取法，其中所35取 3个数之和为偶数的取法共有 C C C 134(种)(包含两种情形：一种情形是所取3 132的 3个数均为偶数，有 C 种取法；另一种情形是所取的 3个数中 2个是奇数，另一个是偶3数，有 C C 种取法)，因此所求的概率为 .故选 B.132410 25答案： B2若 0，则 sin 成立的概率为( )( 3)12A
2、. B13 12C. D123解析： 依题意，当 0，时， ，由 sin 得3 3， 43 ( 3)12 ，0 .因此，所求的概率等于 ，选 B.3 356 2 2 12答案： B3小赵、小钱、小孙、小李到 4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 A“4 个人去的景点不相同” ，事件 B“小赵独自去一个景点” ，则 P(A|B)( )A. B29 13C. D49 59解析： 小赵独自去一个景点共有 4333108 种可能性，4 个人去的景点不同的可能性有 A 432124 种， P(A|B) .424108 29答案： A4(2018浙江卷)设 0p1，随机变量 的分布列是 0 1 22P
3、1 p2 12 p2则当 p在(0,1)内增大时( )A D( )减小 B D( )增大C D( )先减小后增大 D D( )先增大后减小解析： 由题意知 E( )0 1 2 p ， D( )1 p2 12 p2 12 2 2 20 (p12) 1 p2 1 (p 12) 12 2 (p 12) p2 2 2 2(p12) 1 p2 (p 12) 12 (32 p) p2 2 2 2 212(p 12) 12(p 12) p2(p 12) p2(32 p) 12(2p2 12) p2(p 12)2 (p 32)2 p2 p(2p1)14 p2 p14 2 ，(p12) 12 D( )在 上递增
4、，在 上递减，即当 p在(0,1)内增大时， D( )先增大后(0，12) (12， 1)减小故选 D.答案： D5甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球 3次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为 ，乙每次投篮投中的概13率为 ，且各次投篮互不影响，则乙获胜的概率为( )12A. B12 13C. D1327 427解析： 设 Ak， Bk(k1,2,3)分别表示甲、乙在第 k次投篮投中，则 P(Ak) ， P(Bk)13 (k1,2,3)123记“乙获胜”为事件 C，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P(C) P
5、( 1B1) P( 1 1 2B2) P( 1 1 2 2 3B3)A ABA ABABA P( 1)P(B1) P( 1)P( 1)P( 2)P(B2) P( 1)P( 1)P( 2)P( 2)P( 3)P(B3)A A B A A B A B A 2 2 3 3 .23 12 (23)(12) (23)(12) 1327答案： C6随机向边长为 5,5,6的三角形中投一点 P，则点 P到三个顶点的距离都大于 1的概率是_解析： 分别以三角形的三个顶点为圆心，1 为半径作圆，则在三角形内部及其边上且在三圆外部的区域即与三角形三个顶点距离都大于 1的部分，故P1 1 .12 121264 24
6、答案： 1247从装有除颜色外完全相同的 3个白球和 m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取 5次，设摸得白球数为 X，已知 E(X)3，则 D(X)等于_解析： 根据题目条件，每次摸到白球的概率都是 p ，满足二项分布，则有 E(X)33 m np5 3，解得 m2，那么 D(X) np(1 p)5 .33 m 35 (1 35) 65答案： 658已知在四棱锥 PABCD中， PA底面 ABCD，底面 ABCD是正方形， PA AB2，现在该四棱锥内部或表面任取一点 O，则四棱锥 OABCD的体积不小于 的概率为_23解析： 当四棱锥 OABCD的体积为 时，设 O到平面 ABCD的距
7、离为 h，则有2322h ，解得 h .13 23 124如图所示，在四棱锥 PABCD内作平面 EFGH平行于底面 ABCD，且平面 EFGH与底面ABCD的距离为 .12因为 PA底面 ABCD，且 PA2，所以 ，PHPA 34又四棱锥 PABCD与四棱锥 PEFGH相似，所以四棱锥 OABCD的体积不小于 的概率为23P 3 3 .V四 棱 锥 PEFGHV四 棱 锥 PABCD (PHPA) (34) 2764答案： 27649(2018贵阳市摸底考试)某高校学生社团为了解“大数据时代”下毕业生对就业情况的满意度，对 20名毕业生进行问卷计分调查(满分 100分)，得到如图所示的茎叶
8、图：(1)计算男生打分的平均分，观察茎叶图，评价男、女生打分的分散程度；(2)从打分在 80分以上的毕业生中随机抽取 3人，求被抽到的女生人数 X的分布列和数学期望解析： (1)男生打分的平均分为(55536265717073748681)69.110由茎叶图知，女生打分比较集中，男生打分比较分散(2)打分在 80分以上的毕业生有 3女 2男， X的可能取值为 1,2,3.P(X1) ， P(X2) ， P(X3) ，C13C2C35 310 C23C12C35 35 C3C02C35 110 X的分布列为X 1 2 3P 310 35 110E(X)1 2 3 .310 35 110 951
9、0为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信群的数量，现从某市大学生中随机抽取 300位同学进行调查，结果如下：微信群数量 0至 5 个 6至 10个 11至 15个 16至 20 20个以上 合计5个频数 0 90 90 x 15 300频率 0 0.3 0.3 y z 1(1)求 x， y， z的值；(2)以这 300人的样本数据估计该市的总体数据且以频率估计概率，若从全市大学生(数量很大)中随机抽取 3人，记 X表示抽取的是微信群个数超过 15的人数，求 X的分布列、数学期望和方差解析： (1)由已知得 09090 x15300，解得 x105，所以 y 0.35， z 0.05.105
10、300 15300(2)依题意可知，微信群个数超过 15的概率为 p .105 15300 25X的所有可能取值为 0,1,2,3.依题意得， X B .(3，25)所以 P(X k)C k 3 k(k0,1,2,3)k3(25)(35)所以 X的分布列为X 0 1 2 3P 27125 54125 36125 8125所以 E(X)3 .25 65D(X)3 .25 (1 25) 1825B级1(2018贵阳市适应性考试(一)某高校通过自主招生方式在贵阳招收一名优秀的高三毕业生，经过层层筛选，甲、乙两名学生进入最后测试，该校设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从 6个问题中随机抽 3个问题
11、已知这 6个问题中，学生甲能正确回答其中的 4个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为 ，甲、乙两名学生对每个问题的23回答都是相互独立、互不影响的(1)求甲、乙两名学生共答对 2个问题的概率；(2)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两名学生哪位被录取的可能性更大？解析： (1)由题意可得，所求概率为P C 2 C 0 3 .C14C2C36 13 23 (13) C24C12C36 03 (23) (13) 1156(2)设学生甲答对的题数为 X，则 X的所有可能取值为 1,2,3.P(X1) ， P(X2) ， P(X3) ，C14C2C36 15 C24C12C36 35 C34C02
12、C36 15E(X)1 2 3 2，15 35 15E(X)(12) 2 (22) 2 (32) ，15 35 15 25设学生乙答对的题数为 Y，则 Y的所有可能取值为 0,1,2,3.由题意可知 Y B ，(3，23)所以 E(Y)3 2， D(Y)3 .23 23 13 23因为 E(X) E(Y)， D(X)D(Y)所以甲被录取的可能性更大2在体育课上，甲、乙、丙三位同学进行篮球投篮练习，甲、乙、丙投中的概率分别为 p1， p2，且 p1 p21，现各自投篮一次，三人投篮相互独立25(1)求三人都没有投进的概率的最大值，并求此时甲、乙投篮命中的概率；(2)在(1)的条件下，求三人投中次
13、数之和 X的分布列和数学期望解析： (1)记甲、乙、丙投篮一次命中分别为事件 A， B， C，则 P(A) p1， P(B) p2， P(C) .25各自投篮一次都没有投进为事件 D，则 D ，ABC则 P(D) P( ) P( )P( )P( )ABC A B C1 P(A)1 P(B)1 P(C) (1 p1)(1 p2) 2 ，35 35(1 p1 1 p22 ) 320当且仅当 p1 p2 时等号成立12即各自投篮一次三人都没有投进的概率的最大值是 ，此时甲、乙投篮命中的概率都320是 .12(2)X0,1,2,3.根据(1)知 P(X0) ；320P(X1) P(A B C)B C A C AB7 12 12 35 12 12 35 12 12 25 ；25P(X2) P(AB A C BC)C B A 12 12 35 12 12 25 12 12 25 ；720P(X3) P(ABC) .12 12 25 110所以 X的分布列为X 0 1 2 3P 320 25 720 110X的数学期望 E(X)0 1 2 3 .320 25 720 110 75
