1、1第三章测评(时间:120 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 12小题,每小题 5分,共 60分)1.某市对该市观看中央台播放的 2018年春节联欢晚会进行统计,该市收视率为 65.4%,这表示( )A.该市观看该节目的频数B.在 1 000户家庭中总有 654户收看该节目C.反映该市观看该节目的频率D.该市收看该节目的共有 645户答案 C2.在 5张电话卡中,有 3张移动卡和 2张联通卡,从中任取 2张,若事件“2 张全是移动卡”的概率是 ,那么概率为 的事件是( )310 710A.至多有一张移动卡 B.恰有一张移动卡C.都不是移动卡 D.至少有一张移动卡解析 至多有一张移动
2、卡包含“一张移动卡,一张联通卡”、“两张全是联通卡”两个事件,它是“2张全是移动卡”的对立事件,因此“至多有一张移动卡”的概率为 .710答案 A3.甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是,甲获胜的概率是,则甲不输的概率为( )A. B.C. D.解析 令 A=“甲、乙下成和棋”, B= “甲获胜”, C=“甲输”,则 =“甲不输” .P (A)= ,P(B)= ,12 13P (C)=1- .1213=16P ( )=1- .16=56故甲不输的概率为 .56答案 A4.口袋内装有一些大小、质地都相同的红球、白球和黑球,从中摸出 1个球,摸出红球的概率是0.42,摸出白球的概率是 0.28,则
3、摸出黑球的概率是( )A.0.42 B.0.28C.0.3 D.0.7解析 摸出黑球的概率是 1-0.42-0.28=0.3.答案 C5.在区间0,2上随机地取一个数 x,则事件“ -1 1”发生的概率为( )12(+12)A. B.C. D.2解析 由 -1 1,得 x+2,得 0 x .由几何概型的概率计算公式,得所求概率 P=12(+12).32-02-0=34答案 A6.在棱长为 2的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,点 O为底面 ABCD的中心,在正方体 ABCD-A1B1C1D1内随机取一点 P,则点 P到点 O的距离大于 1的概率为( )A. B.1-12 12C. D.1-
4、6 6解析 记“点 P到点 O的距离大于 1”为事件 A,P(A)= =1- .23-12431323 12答案 B7.编号 1,2,3的三位学生随意入座编号为 1,2,3的三个座位,每位学生坐一个座位,则三位学生的座位号与其编号恰好都不同的概率是( )A. B.C. D.解析 编号 1,2,3的三位学生随意入座编号为 1,2,3的三个座位时,1 号学生有 3种坐法,2 号学生有2种坐法,3 号学生只有 1种坐法,所以一共有 6种坐法,其中座位号与其编号恰好都不同的坐法只有 2种,所以所求概率为 .故选 B.26=13答案 B8.如图所示,墙上挂有一个边长为 a的正方形木板,它的四个角的空白部
5、分都是以正方形的顶点为圆心,半径为的圆弧,某人向此板投镖,假设每次都能击中木板,且击中木板上每个点的可能性都一样,则他击中阴影部分的概率是( )A.1- B.4 4C.1- D.与 a的取值有关8解析 阴影部分面积为 a2- =a2 ,故所求概率为 =1- ,故选 A.(2)2 (1-4) 2(1-4)2 4答案 A9.在区间0,4上随机取两个实数 x,y,使得 x+2y8 的概率为( )A. B.316C. D.9163解析 由 x,y0,4知( x,y)构成的区域是边长为 4的正方形及其内部,其中满足 x+2y8 的区域为如图所示的阴影部分 .易知 A(4,2),S 正方形 =16,S 阴
6、影 = =12.故“使得 x+2y8”的概率 P= .(2+4)42 阴影正方形 =1216=34答案 D10.在长为 12 cm的线段 AB上任取一点 C,现作一矩形,邻边长分别等于线段 AC,CB的长,则该矩形面积小于 32 cm2的概率为( )A. B.C. D.解析 设 AC=x cm(00,解得 0AB).设 AB=x,过点 E作 EF AB14交 AB于点 F,则 BF= x.在 Rt FBE中, EF2=BE2-FB2=AB2-FB2= x2,即 EF= x,所以 .34 716 74 =74答案 D二、填空题(本大题共 4小题,每小题 5分,共 20分)13.三张卡片上分别写有
7、字母 E,E,B,将三张卡片随机地排成一行,恰好排成英语单词 BEE的概率是 .答案 13来源:学科网14.已知函数 f(x)=x2-ax,其中 a0,6,则 f(x)在1, + )上增加的概率为 . 解析 要使 f(x)在1, + )上是增加的,应有 所以 0 a2,故所求概率为 .21,06, 26=13答案15.如图,靶子由三个半径为 R,2R,3R的同心圆组成,如果你向靶子内随机地掷一支飞镖,命中区域 、 、 的概率分别为 p1, p2,p3,则 p1p 2p 3= . 解析 p1p 2p 3= R2 ( 4R2- R2) ( 9R2- 4R2)=1 3 5.答案 1 3 516.在
8、-1,1上随机地取一个数 k,则事件“直线 y=kx与圆( x-5) 2+y2=9相交”发生的概率为 .解析 直线 y=kx与圆( x-5)2+y2=9相交,需要满足圆心到直线的距离小于半径,即 d= 3,解得 -|5|1+2k,而 k -1,1,所以发生的概率为 .34-( -34)2 =34答案三、解答题(本大题共 6小题,共 70分)17.(本小题满分 10分)将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成 64个同样大小的小正方体,从这些小正方体中任取 1个,其中恰有 2个面涂有颜色的概率是多少?解 共有 64个小正方形,从中任取 1个是等可能事件,其中 3个面上有颜色共 8个,2 个面上有颜色
9、的有 24个,只有 1个面上有颜色的有 24个 .于是,记事件 A为“从中任取一个小正方体,恰有 2面涂有颜色”,共包含 24个基本事件,故P(A)= .2464=3818.(本小题满分 12分)如图,在长为 52,宽为 42的大矩形内有一个边长为 18的小正方形,现向大矩形内随机投掷一枚半径为 1的圆片,求:(1)圆片落在大矩形内部时,其圆心形成的图形面积;5(2)圆片与小正方形及内部有公共点的概率 .解 (1)当小圆片落在大矩形内部时,其圆心形成的图形为一个长为 50,宽为 40的矩形,故其面积为S=5040=2 000.(2)当小圆片与小正方形及内部有公共点时,其圆心形成的图形面积为 S
10、=(18+2)(18+2)-411+4 12=396+, 故小圆片与小正方形及内部有公共点的概率为 .14 396+2 00019.(本小题满分 12分)为了了解中华人民共和国道路交通安全法在学生中的普及情况,调查部门对某校 6名学生进行问卷调查, 6 人得分情况如下:5,6,7,8,9,10.把这 6名学生的得分看成一个总体 .(1)求该总体的平均数;(2)用简单随机抽样方法从这 6名学生中抽取 2名,他们的得分组成一个样本 .求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5的概率 .解 (1)总体平均数为 (5+6+7+8+9+10)=7.5.(2)设 A表示事件“样本平均数与总体平均
11、数之差的绝对值不超过 0.5”.从总体中抽取 2个个体,全部可能的基本结果有:(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(5,10),(6,7),(6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9),(7,10),(8,9),(8,10),(9,10),共 15个基本结果 .事件 A包含的基本结果有:(5,9),(5,10),(6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9),共有 7个基本结果 .故所求的概率为 P(A)= .71520. 导学号 36424077(本小题满分 12分)已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 a,在正方体内随机取一点 M.(1)
12、求点 M落在三棱锥 B1-A1BC1内的概率;(2)求点 M到平面 ABCD及平面 A1B1C1D1的距离都大于的概率;(3)求使四棱锥 M-ABCD的体积小于 a3的概率 .解 (1)棱长为 a的正方体的体积 V=a3.由正方体的性质可知 a3.1-11=16 点 M落在三棱锥 B1-A1BC1内的概率为 P= .1-11 =16(2) 两平行平面 ABCD及平面 A1B1C1D1的距离为 a, 点 M到平面 ABCD及平面 A1B1C1D1的距离都大于 的概率为 .3 13(3)设点 M到平面 ABCD的距离为 h,由题意,得 a2h a3,13 16h .2 使四棱锥 M-ABCD的体积
13、小于 a3的概率为 .16 1221. 导学号 36424078(本小题满分 12分)在某次测验中,有 6位同学的平均成绩为 75分,用 xn表示编号为 n(n=1,2,6)的同学所得成绩,且前 5位同学的成绩如下:编号n 1 2 3 4 5成绩xn7076727072(1)求第 6位同学的成绩 x6,及这 6位同学成绩的标准差 s;6(2)从前 5位同学中,随机地选 2位同学,求恰有 1位同学成绩在区间(68,75)中的概率 .解 (1)第 6位同学的成绩 x6=756-70-76-72-70-72=90.方差 s2= (70-75)2+(76-75)2+(72-75)2+(70-75)2+
14、(72-75)2+(90-75)2= 294=49,所以标16 16准差 s=7.(2)前 5位同学中成绩在区间(68,75)中的有 4位,编号分别为:1,3,4,5 .从前 5位同学中随机选 2位同学有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共 10种选法,其中恰有 1位同学成绩在区间(68,75)中的有 4种选法:(1,2),(2,3),(2,4),(2,5),共 4种,所以恰有 1位同学成绩在区间(68,75)中的概率为 .410=2522. 导学号 36424079(本小题满分 12分)某学校在自主招生考试
15、成绩中随机抽取 100名学生的笔试成绩,按成绩分组:第 1组160,165),第 2组165,170),第 3组170,175),第 4组175,180),第 5组180,185,得到的频率分布直方图如图所示 .(1)求第 3,4,5组的频率;(2)为了能选拔出最优秀的学生,该校决定在笔试成绩高的第 3,4,5组中用分层抽样抽取 6名学生进入第二轮面试,则第 3,4,5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试?(3)在第二问的前提下,学校决定在这 6名学生中随机抽取 2名学生接受考官甲的面试,求第 4组至少有一名学生被考官甲面试的概率 .解 (1)由题意可知,第 3组的频率为 0.065=0.3,
16、第 4组的频率为 0.045=0.2,第 5组的频率为0.025=0.1.(2)第 3组的人数为 0.3100=30,第 4组的人数为 0.2100=20,第 5组的人数为 0.1100=10.因为 3,4,5组共有 60名学生,所以利用分层抽样在 60名学生中抽取 6名学生,每组抽取的人数分别为:第 3组,0 .130=3,第 4组,0 .120=2,第 5组,0 .110=1,所以,第 3,4,5组分别抽取 3人、2 人、1 人 .(3)设第 3组的三位同学分别为 A1,A2,A3,第 4组的两位同学分别为 B1,B2,第 5组的一位同学为 C1,则从六位同学中抽取两位同学有:( A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1)共 15种可能情况 .其中第 4组的 2位同学 B1,B2至少有一位同学入选的有:( A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1)共 9种可能情况,所以第 4组至少有一名学生被甲考官面试的概率为 P= .915=35
