1、1第二课时 两条直线垂直的条件1.若点 A(3,-4)与点 B(5,8)关于直线 l 对称,则直线 l 的方程为( D )(A)x+6y+16=0 (B)6x-y-22=0(C)6x+y+16=0 (D)x+6y-16=0解析:依题意:AB 的中点 M(4,2),kAB= =6,所以所求直线方程为 y-2=- (x-4),即 x+6y-16=0,故选 D.2.过点 P(1,1)和 Q(a,2)的直线与直线 ax-y+3=0 互相垂直,则 a 等于( C )(A)1 (B)2 (C) (D)-解析:因为 kPQ= = ,直线 ax-y+3=0 的斜率为 a,所以 a=-1,a= .3.设直线 l
2、1:x-2y+1=0 与直线 l2:mx+y+3=0 的交点为 A;P,Q 分别为 l1,l2上任意两点,点 M为 P,Q 的中点,若|AM|= |PQ|,则 m 的值为( A )(A)2 (B)-2 (C)3 (D)-3解析:根据题意画出图形,如图所示;直线 l1:x-2y+1=0 与直线 l2:mx+y+3=0 的交点为 A;M 为 PQ 的中点,若|AM|= |PQ|,则 PAQA,即l1l 2,所以 1m+(-2)1=0,解得 m=2.故选 A.4.点(-2,3)关于直线 y=x+1 的对称点的坐标为( A )(A)(2,-1) (B)(3,0) (C)(3,-1) (D)(2,0)2
3、解析:设对称点坐标为(a,b),则有 得 .5.(2017西安高一检测)已知直线 l 的方程为 3x+4y-12=0,存在直线 l,使 l与 l 垂直,且 l与坐标轴围成的三角形的面积为 6,则 l的方程为 . 解析:设直线 l的方程为 4x-3y+m=0.令 x=0,得 y= ;令 y=0,得 x=- .由题意,得 |- | |=6,即 m2=144.得 m=12.所以,所求直线 l的方程为 4x-3y12=0.答案:4x-3y12=06.直线 y= x 关于直线 x=1 对称的直线方程是 . 解析:由 得两直线的交点为M(1, ),在 y= x 上取一点 O(0,0),则 O(0,0)关于
4、 x=1 的对称点 O1为(2,0),所以所求直线的斜率为 = =- .所以所求直线的方程为 y=- (x-2),即 x+2y-2=0.答案:x+2y-2=037.已知直线 l1:ax+4y-2=0 与直线 l2:2x-5y+b=0 互相垂直,垂足为(1,c),则 a+b+c 的值为( A )(A)-4 (B)20 (C)0 (D)24解析:由题意,垂足(1,c)是两直线的交点,且 l1l 2,故- =-1a=10.所以 l1:10x+4y-2=0,将(1,c)代入,得 c=-2;将(1,c)代入直线 l2的方程,得 b=-12,所以 a+b+c=-4,故选 A.8.过点 A(0, )与 B(
5、7,0)的直线 l1与过点(2,1),(3,k+1)的直线 l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆,则实数 k 为( B )(A)-3 (B)3 (C)-6 (D)6解析:若 l1和 l2与坐标轴围成的四边形内接于一个圆,又因为两坐标轴垂直,所以 l1l 2,而= =- , = =k,由 =-1,得 k=3,故选 B.9.已知直线 l1:mx+y+4=0 和直线 l2:(m+2)x-ny+1=0(m,n0)互相垂直,则 的取值范围为 .解析:因为直线 l1:mx+y+4=0 与直线 l2:(m+2)x-ny+1=0,(m,n0)互相垂直.所以-m =-1,即 n=m2+2m.所以 = = ,因
6、为 m0,所以 0 ,即 0 .故答案为(0, ).答案(0, )10.在ABC 中,已知 M 为线段 AB 的中点,顶点 A,B 的坐标分别为(4,-1),(2,5).(1)求线段 AB 的垂直平分线方程;(2)若顶点 C 的坐标为(6,2),求ABC 垂心的坐标.4解:(1)因为 AB 的中点是 M(3,2),直线 AB 的斜率是-3,所以线段 AB 中垂线的斜率是 ,故线段 AB 的垂直平分线方程是 y-2= (x-3),即 x-3y+3=0.(2)因为 kAB=-3,所以 AB 边上的高所在直线斜率为 ,因为 C(6,2),所以 AB 边上的高所在直线的方程为 y-2= (x-6),即
7、 x-3y=0.同理,AC 边上的高所在直线的方程为 2x+3y-19=0.联立 x-3y=0 和 2x+3y-19=0,得 x= ,y= .所以ABC 的垂心为( , ).11.如图所示,在ABC 中,BC 边上的高所在直线方程为 x-2y+1=0,A 的平分线所在的直线方程为 y=0,若点 B 的坐标为(1,2),求点 A 和点 C 的坐标.解:由题意知,点 A 是 BC 边上的高所在的直线与A 的平分线所在直线的交点,由 得 A(-1,0).又因为 x 轴是A 的平分线,所以直线 AB 与直线 AC 关于 x 轴对称.因为 kAB= =1,所以 kAC=-1,所以 AC:y-0=(-1)(x+1),即 x+y+1=0.因为 BC 边上的高所在直线为 x-2y+1=0,5所以设 BC 的方程为 2x+y+m=0.将点 B(1,2)的坐标代入,得 m=-4,所以 BC:2x+y-4=0.解方程组 得 C(5,-6).所以点 A,C 的坐标分别为(-1,0),(5,-6).
