1、12.3.2 圆的一般方程1.圆 x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线 2ax+y-1=0的距离为 1,则 a等于( A )(A)- (B)-(C)- (D)-解析:圆的标准方程为(x-1) 2+(y-4)2=4,圆心为(1,4),半径为 2,圆心到直线的距离为=1,解得 a=- ,选 A.2.(2017汉口模拟)圆 x2+y2-x+2y=0关于直线 x-y=0对称的圆的方程为( A )(A)x2+y2+2x-y=0 (B)x2+y2-2x+y=0(C)x2+y2-2x-y=0 (D)x2+y2+x-2=0解析:圆的方程化为(x- )2+(y+1)2= ,圆心坐标为( ,-1),则圆心
2、关于直线 x-y=0的对称点为(-1, ),因此所求圆的方程为(x+1) 2+(y- )2= ,即 x2+y2+2x-y=0.3.已知点 A(-2,0),B(0,2),若点 M是圆 x2+y2-2x+2y=0上的动点,则ABM 面积的最小值为 .解析:将圆 M:x2+y2-2x+2y=0化成标准方程(x-1) 2+(y+1)2=2,圆心(1,-1),半径 r= ,因为 A(-2,0),B(0,2),所以|AB|=2 ,要求ABM 面积最小值,即要使圆上的动点 M到直线 AB的距离 d最小,而圆心(1,-1)到直线AB的距离为 2 ,所以 SABM 的最小值为 |AB|dmin= 2 =2.答案
3、:24.已知两定点 A(-2,0),B(1,0),如果动点 P满足|PA|=2|PB|,则点 P的轨迹所围成的图形的2面积等于 . 解析:设 P点的坐标为(x,y),则(x+2) 2+y2=4(x-1)2+y2,即(x-2) 2+ y2=4,所以点 P的轨迹是以(2,0)为圆心,2 为半径的圆,所以点 P的轨迹所围成的图形的面积等于 4.答案:45.已知定点 A(6,0),有一动点 M在圆 x2+y2=4上运动,则线段 AM的中点 P的轨迹方程为 .解析:设 P点坐标为(x,y),动点 M(x0,y0),则有 x= ,y= ,所以 x0=2x-6,y0=2y.因为(x 0,y0)在圆上,所以
4、+ =4.即(2x-6) 2+(2y)2=4.所以 P点的轨迹方程为(x-3) 2+y2=1.答案:(x-3) 2+y2=16.判断下列方程是否表示圆,若是,求出圆心和半径.(1)x2+y2-x+ =0;(2)x2+y2+2ax=0(a0);(3)x2+y2+2ay-1=0;(4)x2+y2+20x+162=0.解:方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0是否表示圆,关键看将该方程配方转化为圆的标准方程的形式(x+)2+(y+ )2= 后,D 2+E2-4F是否大于 0,若大于 0则表示圆,否则不表示圆.法一 (1)将原方程转化为(x- )2+y2=0,表示一个点,坐标为( ,0).(2)将原方程
5、转化为(x+a) 2+y2=a2(a0),表示圆,圆心为(-a,0),半径 r=|a|.(3)将原方程转化为 x2+(y+a)2=1+a2,表示圆,圆心为(0,-a),半径 r= .3(4)将原方程转化为(x+10) 2+y2=102-1620(a0),所以表示圆.又因为- =-a,- =0,= =|a|,所以圆心为(-a,0),半径 r=|a|.(3)因为 D2+E2-4F=02+(2a)2+4=4(1+a)20,所以表示圆.又因为- =0,- =-a, = ,所以圆心为(0,-a),半径 r= .(4)因为 D2+E2-4F=202+02-4162=-6242,故选 C.9.若直线 x=m
6、y-1与圆 C:x2+y2+mx+ny+p=0交于 A,B两点,且 A,B两点关于直线 y=x对称,则实数 p的取值范围为 . 解析:根据题意,可知直线 AB的斜率为-1,故可知 m=-1,并且中点坐标在 y=x上,联立方程组得 x=y= ,即交点为(- ,- ),则该点在圆内部,则 + + - n+p0),则有 解得故圆的方程是 x2+y2-6x-2y+1=0.法二 (几何法)曲线 y=x2-6x+1与 y轴的交点为 A(0,1),与 x轴的交点为 B(3+2 ,0),C(3-2 ,0).故可设外接圆的圆心为(3,t),则有 32+(t-1)2=(2 )2+t2,解得 t=1.则外接圆的半径
7、为 =3,所以外接圆的方程为(x-3) 2+(y-1)2=9.11.已知方程 x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一个圆.(1)求实数 m的取值范围;(2)求该圆的半径 r的取值范围;(3)求圆心 C的轨迹方程.解:(1)要使方程表示圆,则54(m+3)2+4(1-4m2)2-4(16m4+9)0,即 4m2+24m+36+4-32m2+64m4-64m4-360,整理得 7m2-6m-10,解得- m1.所以实数 m的取值范围为(- ,1).(2)r= .得 0r .所以该圆的半径 r的取值范围为(0, .(3)设圆心坐标为(x,y),则消去 m可得(x-3) 2= (y+1).因为- m1,所以 x4.故圆心 C的轨迹方程为(x-3) 2= (y+1)( x4).
