1、12.3.3 直线与圆的位置关系1.圆 x2+y2=1与直线 y=kx+2无公共点,则( B )(A)k(- , )(B)k(- , )(C)k(-,- )( ,+)(D)k(-,- )( ,+)解析:圆心到直线的距离 d= 1,即 k24,即点 P(a,b)在圆 x2+y2=4外.24.已知圆 M与直线 x-y=0及 x-y+4=0都相切,圆心在直线 y=-x+2上,则圆 M的标准方程为 .解析:由题意,圆心在 y=-x+2上,设圆心为(a,2-a),因为圆 M与直线 x-y=0及 x-y+4=0都相切,则圆心到两直线的距离相等,即 = ,解得 a=0,即圆心(0,2),且 r= = ,所以
2、圆的方程为 x2+(y-2)2=2.答案:x 2+(y-2)2=25.已知圆 C:x2+y2-2x-4y+1=0内有一点 P(2,1),经过点 P的直线 l与圆 C交于 A,B两点,当弦 AB恰被点 P平分时,直线 l的方程为 . 解析:圆 C:(x-1)2+(y-2)2=4,弦 AB被 P平分,故 PCAB,由 P(2,1), C(1,2)得 kPCkl=-1,可得 kl=1,所以直线方程为 y=x-1.答案:y=x-16.由点 P(m,3)向圆 C:(x+2)2+(y+2)2=1引切线,则切线长的最小值为 . 解析:设切点为 M,则 CMMP,于是切线 MP的长|MP|= = ,显然,当
3、m=-2时,MP 有最小值 =2 .答案:27.若直线 l:ax+by+1=0始终平分圆 M:x2+y2+4x+2y+1=0的周长,则(a-2) 2+(b-2)2的最小值为3( B )(A) (B)5(C)2 (D)10解析:由题可知,圆心(-2,-1)在直线 ax+by+1=0上,故 2a+b=1,所以(a-2) 2+(b-2)2=(a-2)2+(1-2a-2)2=a2-4a+4+4a2+4a+1=5a2+55.8.圆 x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线 x+y-14=0的距离的最大值与最小值的差为( C )(A)36 (B)18 (C)6 (D)5解析:圆 x2+y2-4x-4y
4、-10=0的圆心为(2,2),半径为 3 ,圆心到直线 x+y-14=0的距离为=5 3 ,故圆与直线相离,所以圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是 2r=6 .9.已知点 A(-3,0),B(-1,-2),若圆(x-2) 2+y2=r2(r0)上恰有两点 M,N,使得MAB 和NAB 的面积均为 4,则 r的取值范围是 . 解析:由题意可得|AB|= =2 ,根据MAB 和NAB 的面积均为 4,可得两点 M,N到直线 AB的距离均为 2 ;由于 AB的方程为 = ,即 x+y+3=0;若圆上只有一个点到直线 AB的距离为 2 ,则有圆心(2,0)到直线 AB的距离为 =r+2 ,解得
5、r= ;若圆上只有 3个点到直线 AB的距离为 2 ,则有圆心(2,0)到直线 AB的距离为 =r-2 ,解得 r= ;综上,r 的取值范围是(, ).答案:( , )410.在平面直角坐标系中,已知圆心 C在直线 x-2y=0上的圆 C经过点 A(4,0),但不经过坐标原点,并且直线 4x-3y=0与圆 C相交所得的弦长为 4.(1)求圆 C的一般方程;(2)若从点 M(-4,1)发出的光线经过 x轴反射,反射光线刚好通过圆 C的圆心,求反射光线所在的直线方程(用一般式表达).解:(1)设圆 C:(x-a)2+(y-b)2=r2,因为圆心 C在直线 x-2y=0上,所以有 a-2b=0,又因
6、为圆 C经过点 A(4,0),所以有(4-a) 2+b2=r2,而圆心到直线 4x-3y=0的距离为 d= = ,由弦长为 4,得弦心距 d=.所以有 = ,联立成方程组解得 或又因为(x-2) 2+(y-1)2=5通过坐标原点,所以 舍去.所以所求圆的方程为(x-6) 2+(y-3)2=13,化为一般方程为 x2+y2-12x-6y+32=0.(2)点 M(-4,1)关于 x轴的对称点 N(-4,-1),反射光线所在的直线即为 NC,又因为 C(6,3),所以反射光线所在的直线方程为 = ,所以反射光线所在的直线方程的一般式为 2x-5y+3=0.11.(2017辽宁大连模拟)已知三点 O(
7、0,0),P(4,0),Q(0,2)恰好被面积最小的圆 C:(x-a)2+(y-b)2=r2所覆盖.(1)试求圆 C的方程;(2)若斜率为 1的直线 l与圆 C交于不同两点 A,B.若 CACB,求直线 l的方程.解:(1)由题意知OPQ 是直角三角形,所以覆盖它的且面积最小的圆为其外接圆,故圆心是(2,1),半径是 ,5所以圆 C的方程是(x-2) 2+(y-1)2=5.(2)设直线 l的方程是 y=x+m.因为 CACB,所以圆心到直线 l的距离是 ,即 = ,解得 m=-1 .即直线 l的方程为 x-y-1- =0或 x-y-1+ =0.12.已知圆 C:(x+2)2+y2=5,直线 l
8、:mx-y+1+2m=0,mR.(1)求证:对 mR,直线 l与圆 C总有两个不同的交点 A,B;(2)求弦 AB的中点 M的轨迹方程,并说明其轨迹是什么曲线.(1)证明:圆 C:(x+2)2+y2=5的圆心为 C(-2,0),半径为 ,所以圆心 C到直线 l:mx-y+1+2m=0的距离| |=| | .所以直线 l与圆 C相交,即直线 l与圆 C总有两个不同的交点.(2)解:设中点为 M(x,y),直线 l:mx-y+1+2m=0恒过定点(-2,1),当直线 CM的斜率存在时,k MC= ,又 kAB= ,因为 kABkMC=-1,所以 =-1,化简得(x+2) 2+ = (x-2).当直线 CM的斜率不存在时,x=-2,此时中点为 M(-2,1),也满足上述方程.所以 M的轨迹方程是(x+2) 2+ = ,它是一个以(-2, )为圆心,以 为半径的圆.
