1、11.3.2 利用导数研究函数的极值1理解函数极值、极值点的有关概念，掌握利用导数求函数极值的方法2注意结合函数的图象理解用导数求函数极值(最值)的方法，逐步养成用数形结合的思想方法去分析问题和解决问题的思维习惯1函数的极值与最值(1)已知函数 y f(x)，设 x0是定义域内任一点，如果对 x0附近的所有点 x，都有_ f(x0)，则称函数 f(x)在点 x0处取极大值，记作 y 极大 f(x0)，并把 x0称为函数f(x)的一个_如果在 x0附近都有_，则称函数 f(x)在点 x0处取极小值，记作 y 极小 f(x0)，并把 x0称为函数 f(x)的一个_(2)极大值与极小值统称为_，极大
2、值点与极小值点统称为_(3)函数 f(x)的最大(小)值是函数在指定区间上的最大(小)的值(1)极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小(2)函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值如图所示， x1 是极大值点， x4 是极小值点，而 f(x4) f(x1)(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能是区间的端点【做一做 11
3、】下列说法中正确的是( )A若 f(x) f(x0)，则 f(x0)为 f(x)的极小值B若 f(x) f(x0)，则 f(x0)为 f(x)的极大值C若 f(x0)为 f(x)的极大值，则 f(x) f(x0)D以上都不对【做一做 12】若函数在闭区间上有唯一的极大值和极小值，则( )A极大值一定是最大值，且极小值一定是最小值B极大值一定是最大值，或极小值一定是最小值C极大值不一定是最大值，极小值也不一定是最小值D极大值必大于极小值2求函数 y f(x)极值的步骤第 1 步：求_；第 2 步：求方程_的所有实数根；第 3 步：考察在每个根 x0附近，从左到右，导函数 f (x)的符号如何变化
4、如果f (x)的符号由正变负，则 f(x0)是_；如果由负变正，则 f(x0)是_如果在 f (x)0 的根 x x0的左、右侧， f (x)的符号不变，则 f(x0)不是极值可导函数的极值点必须是导数为零的点，但导数为零的点不一定是极值点，如 f(x)2 x3在 x0 处导数 f (0)0，但 x0 不是它的极值点，即可导函数在点 x0处的导数f (x0)0 是该函数在 x0处取得极值的必要不充分条件【做一做 21】函数 y x2 x1 的极小值是( )A1 B C D不存在34 74【做一做 22】若函数 y2 x33 x2 a 的极大值是 6，则 a_.3求函数 y f(x)在 a， b
5、上的最大(小)值的步骤第 1 步：求 f(x)在开区间( a， b)内所有使 f (x)0 的点第 2 步：计算函数 f(x)在区间( a， b)内使 f (x)0 的所有点和端点的_，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值利用导数法求最值，实质是比较某些特殊点的函数值来得到最值因此，我们可以在导数法求最值的基础上进行变通，令 f (x)0 得到方程的根 x1， x2，直接求得函数值 f(x1)， f(x2)，然后再与端点的函数值比较就可以了，省略了判断极值的过程当然导数法与函数的单调性结合，也可以求最值【做一做 3】函数 f(x) x3 x2 x 在区间2,1上的最大值为_，最小值为_函
6、数的极值与最值有何关系？剖析：如果函数在某些点处不可导，也需要考虑这些点是否是极值点、函数的最大值和最小值点观察下图中一个定义在区间 a， b上的函数 f(x)的图象图中 f(x1)与 f(x3)是极小值，f(x2)是极大值函数 f(x)在 a， b上的最大值是 f(b)，最小值是 f(x3)一般地，在区间 a， b上如果函数 f(x)的图象是一条连续不间断的曲线，那么该函数在 a， b上必有最大值与最小值注意：(1)在区间( a， b)内函数 f(x)的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数不一定有最大值与最小值，如函数 f(x) 在(0，)内连续，但没有最大值与最小值1x(2)函数的最值是比
7、较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的(3)函数 f(x)在区间 a， b上的图象是一条连续不间断的曲线，是 f(x)在区间 a， b上有最大值与最小值的充分而不必要条件(4)函数在其定义域上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能一个也没有题型一 求函数的极值【例题 1】求下列各函数的极值：(1)f(x) x2e x； (2) y .1 3x4 5x2分析：按照求极值的方法，首先从方程 f (x)0 入手，求出函数 f(x)在定义域内所3有可解的极值点，然后按极值的定义判断并求值反思：函数的极值研究是导数应用的关键知识点，可加深对函数单调
8、性与其导数关系的理解， y f(x)的导数存在时， f (x0)0 是 y f(x)在 x x0处有极值的必要条件，只有再加上 x0两侧附近的导数的符号相反，才能断定 y f(x)在 x x0处取得极值题型二 求函数在区间 a， b上的最值【例题 2】已知函数 f(x) x，求函数 f(x)的最大值ln xx分析：求出 f(x)的极值及定义域区间端点处的函数值，比较得到最大值反思：如果在区间 a， b上函数 y f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值如果函数 y f(x)在区间( a， b)内可导，求 f(x)在区间 a， b上的最值可简化过程，即直接将极值点的函数值与端
9、点的函数值比较，即可判定最大(或最小)的函数值，就是最大(或最小)值题型三 由函数的最值求参数的值【例题 3】已知函数 f(x) ax36 ax2 b，问是否存在实数 a， b 使 f(x)在区间1,2上取得最大值 3，最小值29，若存在，求出 a， b 的值；若不存在，请说明理由分析：利用求最值的方法确定 a， b 的值，注意对 a 的讨论反思：此类题目属于逆向思维题，但仍可根据求函数最值的步骤来求解，借助于待定系数法求其参数值题型四 易错辨析易错点：对于可导函数，极值点处的导数为 0，但导数为 0 的点不一定是极值点，因此已知函数的极值点求某些参变量的值时，应验证所得结果是否符合题意【例题
10、 4】已知 f(x) x33 ax2 bx a2在 x1 处有极值 0，求常数 a， b 的值错解：因为 f(x)在 x1 处有极值 0，且 f (x)3 x26 ax b，所以(1)0.f，即 26+ab，-，解得 =b， 或 9.， 综上所述， a1， b3 或a2， b9.1 下列结论中，正确的是( )A导数为零的点一定是极值点B如果在 x0附近的左侧 f (x)0，右侧 f (x)0，那么 f(x0)是极大值C如果在 x0附近的左侧 f (x)0，右侧 f (x)0，那么 f(x0)是极小值D如果在 x0附近的左侧 f (x)0，右侧 f (x)0，那么 f(x0)是极大值2 下列说法
11、正确的是( )A函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值B闭区间上图象连续不断的函数一定有最值，也一定有极值C若函数在其定义域上有最值，则一定有极值，反之，若有极值则一定有最值D若函数在给定区间上有最值，则最多有一个最大值，一个最小值；但若有极值，则可有多个极值甚至无穷多个3 函数 f(x)2 x33 x212 x5 在0,3上的最大值和最小值分别是( )A5，15 B5，4C4，15 D5，164 函数 f(x)2 x36 x218 x7 的极大值为_，极小值为_5 函数 y2 x36 x2 m(m 为常数)，在区间2,2上有最大值 3，那么它在区间2,2上的最
12、小值为_答案：基础知识梳理1(1) f(x) 极大值点 f(x) f(x0) 极小值点 (2)极值 极值点【做一做 11】D4【做一做 12】C2导数 f (x) f (x)0 极大值 极小值【做一做 21】B【做一做 22】6 y 6 x26 x6 x(x1)，当 x (，0)或 x (1，)时，y 0，原函数为增函数，当 x (0,1)时， y 0，原函数为减函数，故当 x0 时， y 极大值 a6.3函数值【做一做 3】1 2 f(x)3 x22 x1，令 f(x)0，得 x11， x2 ，又13f(1)1， f( ) ， f(2)2， f(1)1，故函数的最大值为 1，最小值为2.13
13、 527典型例题领悟【例题 1】解：(1)函数 f(x)的定义域为 R，f (x)2 xe x x2e x( x) x(2 x)e x，令 f (x)0，得 x0 或 x2，当 x 变化时， f (x)， f(x)的变化情况如下表：x (，0) 0 (0,2) 2 (2，)f (x) 0 0 f(x) 极小值 0 极大值 4e2 从表中可以看出，当 x0 时，函数有极小值，且 f(0)0；当 x2 时，函数有极大值，且 f(2)4e 2 .(2)y 32154x，令 y 0，得 x ，当 x 在 R 上取值时， y ， y 的变化情况125如下表：x ( ， 125) 125 (125， )y
14、 0 y 极大值当 x 时，函数取得极大值，且 f( ) .125 125 20510【例题 2】解： f (x) 1，令 f (x)0，得 x21ln x，显然 x11 ln xx2是方程的解令 g(x) x2ln x1， x (0，)，则 g (x)2 x 0，函数 g(x)1x在(0，)上单调， x1 是方程 f (x)0 的唯一解当 0 x1 时， f (x) 10，当 x1 时， f (x)0，函数 f(x)在1 ln xx2(0,1)内单调递增，在(1，)内单调递减，当 x1 时，函数有最大值 f(x)max f(1)1.【例题 3】解：显然 a0，f (x)3 ax212 ax3
15、 ax(x4)，5令 f (x)0，解得 x10， x24(舍去)(1)当 a0， x 变化时， f (x)， f(x)的变化状态如下表：x 1,0 0 0,2f (x) 0 f(x) 极大值所以当 x0 时， f(x)取得最大值所以 b3.又 f(2)16 a3， f(1)7 a3， f(1) f(2)，所以当 x2 时， f(x)取得最小值，所以16 a329，即 a2.(2)当 a0， x 变化时， f (x)， f(x)的变化状态如下表：x 1,0 0 0,2f (x) 0 f(x) 极小值 所以当 x0 时， f(x)取得最小值所以 b29.又 f(2)16 a29， f(1)7 a
16、29， f(2) f(1)，所以当 x2 时， f(x)取得最大值，所以16 a293，即 a2.综上所述， a2， b3 或 a2， b29.【例题 4】错因分析：根据极值定义，函数先减后增为极小值，函数先增后减为极大值，错解中未验证 x1 两侧函数的单调性，故求错正解：因为 f(x)在 x1 处有极值 0，且 f (x)3 x26 ax b，所以Error!即Error!解得Error! 或Error!当 a1， b3 时 f (x)3 x26 x33( x1) 20，所以 f(x)在 R上为增函数，无极值，故舍去，当 a2， b9 时， f (x)3 x212 x93( x1)( x3)
17、，当 x (3， 1)时， f(x)为减函数；当 x 1，)时， f(x)为增函数所以 f(x)在x1 处取得极小值，因此 a2， b9.随堂练习巩固1B 2D3A 由 f (x)6 x26 x126( x1)( x2)0，得 x1 或 x2.因为 f(0)5， f(2)15， f(3)4，所以 f(2) f(3) f(0)所以 f(x)max f(0)5， f(x)min f(2)15.417 47 由 f (x)6 x212 x186( x1)( x3)0，得 x1 或 x3，当x ( ，1) 时， f (x)0，当 x (1,3)时， f (x)0，当 x (3，)时，f (x)0，所以极大值为 f(1)17，极小值为 f(3)47.537 y 6 x212 x6 x(x2)，在(2,2)上，只有 x0 是 f(x)的极值点，且为极大值点 f(x)极大值 f(0) m，又 f(2)1624 m m40，f(2)1624 m m8.容易判断 m40 m8 m， m3. f(x)min m4037.
