1、11.4.2 微积分基本定理1理解微积分基本定理的含义2会用定理求定积分微积分基本定理(1)F (x)从 a 到 b 的积分等于 F(x)在两端点的取值之_(2)微积分基本定理如果 F (x) f(x)，且 f(x)在 a， b上可积，则f(x)dx_.其中 F(x)叫做 f(x)的一个_由于 F(x) c f(x)， F(x) c 也是 f(x)的原函数，其中 c 为常数一般地，原函数在 a， b上的改变量 F(b) F(a)简记作 F(x)|ba.因此，微积分基本定理可以写成形式：_.(1)微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供了计算定积分的一种有效方法但当运用公式不能
2、直接求积分时，需考虑用定积分的几何意义来解决(2)利用微积分基本定理求定积分 baf(x)dx 的关键是找出使 F (x) f(x)的函数F(x)通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向求出F(x)(3)求导运算与求原函数运算互为逆运算【做一做 11】下列各式中，正确的是( )A baF (x)dx F (b) F (a)B F (x)dx F (a) F (b)C baF (x)dx F(b) F(a)D F (x)dx F(a) F(b)【做一做 12】计算 50(2x4)d x_.求定积分有哪些常用技巧？剖析：(1)对被积函数，要先化简，再求积分(2)对被积函
3、数是分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性” ，分段积分再求和(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分题型一 利用微积分基本定理求函数的定积分【例题 1】求下列定积分：(1) 12(2 x2)2dx；2(2) 41dx；x 1x(3) 3cos(x )dx. 6分析：将被积函数适当变形，确定原函数，再运用微积分基本定理求解反思：(1)求 baf(x)dx 一般分为两步：求 f(x)的原函数 F(x)，计算 F(b) F(a)的值即为所求(2)求复杂函数定积分要依据定积分的性质有限个函数代数和(差)的积分，等于各个函数积分的代数和(差)，即baf1(x)f2(x)fn(
4、x)dx f1(x)dx baf2(x)dx bafn(x)dx.常数因子可提到积分符号外面，即 bakf(x)dx k baf(x)dx.当积分上限与下限交换时，积分值一定要反号，即 baf(x)dx abf(x)dx.定积分对区间的可加性，若 c a， b，则有baf(x)dx caf(x)dx bf(x)dx.题型二 几类特殊被积函数的定积分【例题 2】求下列定积分：(1) 32dx；16 6x x2(2)若 f(x) 0cos,， ， ， 求 1f(x)dx；(3)20dx.1 sin2x分析：由于被积函数不是基本初等函数，因此需要先变换被积函数，再求定积分反思：(1)对于直接用微积分
5、基本定理不易求解的题目，转化为用定积分的几何意义来求解，不仅简捷可行，而且充分体现了初等数学与高等数学间的关系，因而充分把握定积分的几何意义，也是学好本节内容的关键(2)对于被积函数是分段函数的定积分，通常是依据定积分“对区间的可加性” ，先分段积分再求和要注意各段定积分的上、下限的取值(3)对于较复杂的被积函数，要先化简，再求定积分若是计算 ba|f(x)|dx，需要去掉绝对值符号，这时要讨论 f(x)的正负，转化为分段函数求原积分题型三 利用定积分求平面图形的面积【例题 3】下图中，阴影部分的面积是( )A16 B18 C20 D223反思：求平面图形的面积的一般步骤是：(1)画图，并将图
6、形分割成若干曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分上、下限；(3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积的和，即各积分的绝对值之和12(sin xcos x)dx 的值是( )A0 B C2 D4 42 曲线 ycos x 与坐标轴所围成的图形的面积是( )A2 B3 C D4523 如图，阴影部分的面积是( )A2 B23 3C D323 3534 计算 e1dx_.1x5 已知函数 f(x)3 x22 x1，若 1f(x)dx2 f(a)成立，则 a_.答案：基础知识梳理(1)差 (2) F(b) F(a) 原函数 f(x)dx F(x) F(b) F(a)ba |
7、ba【做一做 11】C【做一做 12】5 ( x24 x)2 x4， (2x4)d x (x24 x) (5 245)05.50 |50典型例题领悟【例题 1】解：(1)( x22) 2 x44 x24，又 (15x5 43x3 4x)4 x44 x24， (2 x2)2dx (x44 x24)d x . 1 2 1 2 (15x5 43x3 4x)| 1 2 29315(2) 12，又31212， dx (x 1x x 1x 41x 1x 4112)dx312 324212 .|4123 (231 21) 203(3)cos( x ) cos x sin x， 6 32 12 3cos(x
8、)dx 3dx 3cos xdx 3sin xdx 6 (32cos x 12sin x) 32 12sin x3 cos x3 sin 0.32 12 32 3 12(cos cos 3) 34 14 12【例题 2】解：(1)设 y ，16 6x x2即( x3) 2 y225( y0)， 32dx 表示圆( x3) 2 y225 的面积的 ，16 6x x214 32dx .16 6x x2254(2) 1f(x)dx 01x2dx (cos x1)d x10 x3 01(sin x x) sin 1.13 |10 23(3)20dx20dx1 sin 2x sin x cos x 2
9、|sin xcos x|dx40|sin xcos x|dx24|sin xcos x|dx40(cos xsin x)dx24(sin xcos x)dx5(sin xcos x)40(cos xsin x)242( 1)2【例题 3】B 由题意，阴影部分的面积S 42dy (y 4y22) (y22 4y y36)|4 2 (422 44 436)18 2 22 4 2 2 36 随堂练习巩固1C 原式(cos xsin x)22.2B 结合 ycos x 的图象可知，面积 S20cos xdx32cos (0 x32 )xdxsin x20sin x32123.3C S 13(3 x22 x)dx 13 .(3x13x3 x2) 32341 dxln x ln eln 1101.e11x |e151 或 1(3x22 x1)d x( x3 x2 x) 4.13 |1 12(3 a22 a1)4，即 3a22 a10， a1 或 a .13
