1、12.3 数学归纳法1了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单命题2理解数学归纳法两个步骤的作用，进一步规范书写的语言结构数学归纳法一个与自然数相关的命题，如果(1)当 n 取第一个值 n0时命题成立；(2)在假设当n k(kN ，且 k n0)时命题成立的前提下，推出当 n_时命题也成立，那么可以断定，这个命题对 n 取第一个值后面的所有正整数成立数学归纳法是专门证明与自然数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法，是对不完全归纳法的完善证明分两步，其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳奠基” ；第二步解决的是延续性问题，又称“归纳递推” 运用数学归纳法证明有关命题时应注意以下几点
2、：(1)两个步骤缺一不可；(2)在第一步中， n 的初始值不一定从 1 取起，也不一定只取一个数(有时需取n n0， n01 等)，证明应视具体情况而定；(3)第二步中，证明 n k1 时命题成立，必须使用归纳假设，否则就会打破数学归纳法步骤间的严密逻辑关系，造成推理无效；(4)证明 n k1 时命题成立，要明确求证的目标形式，一般要凑出归纳假设里给出的形式，以便使用归纳假设，然后再去凑出当 n k1 时的结论，这样就能有效减少论证的盲目性【做一做】对于不等式 n1( nN )，某同学用数学归纳法证明的过程如下：n2 n(1)当 n1 时， 11，不等式成立12 1(2)假设当 n k(kN
3、)时，不等式成立，即 k1，k2 k则当 n k1 时， ( k1)1，(k 1)2 (k 1) k2 3k 2 (k2 3k 2) (k 2)当 n k1 时，不等式成立上述证法( )A过程全部正确B n1 时验证不正确C归纳假设不正确D从 n k 到 n k1 的推理不正确1利用数学归纳法证明问题时有哪些注意事项？剖析：(1)用数学归纳法证明有关命题的关键在第二步，即 n k1 时命题为什么成立？n k1 时命题成立是利用假设 n k 时命题成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出来的，而不是直接代入，否则 n k1 时命题成立也成假设了，命题并没有得到证明(2)用数学归纳法
4、可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都能用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析2运用数学归纳法时易犯的错误有哪些？剖析：(1)对项数估算的错误，特别是寻找 n k 与 n k1 的关系时，项数发生什么变化被弄错(2)没有利用归纳假设：归纳假设是必须要用的假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通2不过去了(3)关键步骤含糊不清， “假设 n k 时结论成立，利用此假设证明 n k1 时结论也成立”是数学归纳法的关键一步，也是证明问题中最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性题型一 用数学归纳法证明恒等式【例题 1】用数学归纳法证明 1 .12 13 14 1
5、2n 1 12n 1n 1 1n 2 12n分析：左边式子的特点为：各项分母依次为 1,2，3，2 n，右边式子的特点为：分母由 n1 开始，依次增大 1，一直到 2n，共 n 项反思：理解等式的特点：在等式左边，当 n 取一个值时，对应两项，即 ；在12n 1 12n等式右边，当 n 取一个值时，对应一项无论 n 取何值，应保证等式左边有 2n 项，而等式右边有 n 项，然后再按数学归纳法的步骤要求给出证明题型二 用数学归纳法证明不等式【例题 2】已知 a0， b0， n1， nN ，用数学归纳法证明： n.an bn2反思：应用数学归纳法证明不等式时，往往通过拼凑项或拆项用上归纳假设，再应
6、用放缩法或其他证明不等式的方法证得 n k1 时命题成立题型三 归纳猜想证明【例题 3】某数列的第一项为 1，并且对所有的自然数 n2，数列的前 n 项之积为 n2.(1)写出这个数列的前五项；(2)写出这个数列的通项公式并加以证明分析：根据数列前五项写出这个数列的通项公式，要注意观察数列中各项与其序号变化的关系，归纳出构成数列的规律同时还要特别注意第一项与其他各项的差异，必要时可分段表示证明这个数列的通项公式可用数学归纳法反思：先计算出一个数列的前几项，用不完全归纳法猜想得到通项公式，再用数学归纳法给予证明，这是解数列问题的常见思路题型四 易错辨析易错点：在应用数学归纳法证明问题时两步缺一不
7、可，且在证明由 n k 到 n k1 命题成立时必须用上归纳假设，否则证明过程就是错误的【例题 4】用数学归纳法证明： .124 146 168 12n(2n 2) n4(n 1)错证：(1)当 n1 时，左边 ，右边 ，等式成立124 14(1 1) 142(2)假设当 n k 时等式成立，那么当 n k1 时，直接使用裂项相减法求得 124 146 168 12k(2k 2) 1(2k 2)(2k 4)12(12 14) (14 16) (12k 12k 2) ( 12k 2 12k 4) ，即当 n k1 时等式成立12 k 14(k 1) 1由(1)和(2)，可知等式对一切 nN 都成
8、立1 用数学归纳法证明( n1)( n2)( n n)2 n13(2n1)( nN )，从“ n k到 n k1”左端需增乘的代数式为( )A2 k1 B2(2 k1)3C D2k 1k 1 2k 3k 12 平面内原有 k 条直线，它们的交点个数记为 f(k)，则增加一条直线后，它们的交点个数最多为( )A f(k) k B f(k)1C f(k) k1 D kf(k)3 利用数学归纳法证明 1( nN ，且 n2)时，第二步由1n 1n 1 1n 2 12nn k 到 n k1 时不等式左端的变化是( )A增加了 这一项12k 1B增加了 和 两项12k 1 12k 2C增加了 和 两项，
9、同时减少了 这一项12k 1 12k 2 1kD以上都不对4 用数学归纳法证明“若 f(n)1 ，则 n f(1) f(2) f(n1)12 13 1n nf(n)(nN ，且 n2)”时，第一步要证的式子是_5 在数列 an中， a11，且 Sn， Sn1, 2S1成等差数列，则 S2， S3， S4分别为_，由此猜想 Sn_.答案：基础知识梳理k1【做一做】D 因为从 n k 到 n k1 的证明过程中没有用到归纳假设，故从 n k到 n k1 的推理不正确典型例题领悟【例题 1】证明：(1)当 n1 时，左边1 右边，12 12 11 1等式成立(2)假设 n k 时等式成立，即1 12
10、 13 14 12k 1 12k .1k 1 1k 2 12k则当 n k1 时，左边1 12 13 14 12k 1 12k 12k 1 12k 2 (1k 1 1k 2 12k) 12k 1 12k 2 (1k 2 12k 12k 1) ( 1k 1 12k 2) 右边1k 2 12k 12k 1 12 k 1当 n k1 时等式也成立由(1)和(2)，知等式对任意 n N 都成立4【例题 2】证明：(1)当 n2 时，左边 ，右边( )2，左边右边a2 b22 a b220，不等式成立(a b2 )(2)假设当 n k(k N ， k1)时，不等式成立，即 k，因为ak bk2 (a b
11、2 )a0， b0， k1， k N ，所以( ak1 bk1 )( akb abk)( a b)(ak bk)0，于是ak1 bk1 akb abk.当 n k1 时，k1 k (a b2 ) a b2 (a b2 ) ak bk2 a b2 ak 1 bk 1 akb abk4 ，当 n k1 时，不等式也成立ak 1 bk 1 ak 1 bk 14 ak 1 bk 12由(1)和(2)，知对于 a0， b0， n1， n N ，不等式 n恒成立an bn2 (a b2 )【例题 3】解：(1)已知 a11，由题意，得 a1a22 2， a22 2. a1a2a33 2， a3 .3222
12、同理，可得 a4 ， a5 .4232 5242因此该数列的前五项为 1,4， ， .94169 2516(2)观察这个数列的前五项，猜测数列的通项公式应为anError!下面用数学归纳法证明当 n2 时， an .n2 n 1 2当 n2 时， a2 2 2，等式成立22 2 1 2假设当 n k(k2)时，结论成立，即 ak .k2 k 1 2 a1a2ak1 ( k1) 2，a1a2ak1 akak1 ( k1) 2， ak1 k 1 2 a1a2ak 1 ak k 1 2 k 1 2 k 1 2k2 k 1 2k2. k 1 2 k 1 12当 n k1 时，结论也成立根据和，可知当
13、n2 时，这个数列的通项公式是 an .n2 n 1 2 anError!【例题 4】错因分析：由 n k 到 n k1 时等式的证明没有用归纳假设，是典型的套用数学归纳法的一种伪证5正确证法：(1)当 n1 时，左边 ，右边 ，等式成立124 18 18(2)假设当 n k 时， 成立124 146 168 12k 2k 2 k4 k 1那么当 n k1 时， 124 146 168 12k 2k 2 1 2k 2 2k 4 k4 k 1 14 k 1 k 2 k k 2 14 k 1 k 2 k 1 24 k 1 k 2 ，k 14 k 2 k 14 k 1 1当 n k1 时，等式成立由
14、(1)和(2)，可得对一切 n N 等式都成立随堂练习巩固1B n k 时，左边( k1)( k2)( k k)，而 n k1 时，左边( k1)1( k1)2( k1)( k1)( k1) k(k1)( k1)( k2)( k3)( k k)(2k1)(2 k2)2( k1)( k2)( k k)(2k1)2A 第 k1 条直线与原来 k 条直线相交，最多有 k 个交点3C 不等式左端共有 n1 项，且分母是首项为 n，公差为 1，末项为 2n 的等差数列，当 n k 时，左端为 ；当 n k1 时，左端为1k 1k 1 1k 2 12k ，对比两式，可得结论1k 1 1k 2 1k 3 12k 12k 1 12k 242 f(1)2 f(2) 起点 n02，观察等式左边最后一项，将 n2 代入即可5， 由题意，得 2Sn1 Sn2 S1，且 S1 a11，令式子中的 n 分别取3274 158 2n 12n 11,2,3，可得 S2 ， S3 ， S4 ，从而猜想 Sn .32 74 158 2n 12n 1
