1、13.1.2 复数的概念1了解引进复数的必要性，了解数集的扩充过程：自然数集(N) 整数集(Z) 有理数集(Q) 实数集(R) 复数集(C)2理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念，例如：虚数单位、复数、虚数、纯虚数等，掌握复数相等的充要条件1实数系实数就是小数，它包括_和_实数的性质有：实数对四则运算是封闭的，即两个实数进行四则运算的结果仍然是实数；0 与 1 的性质为 0 a a0 a，1 a a1 a；加法和乘法都适合交换律、结合律，乘法对加法满足分配律实数系和数轴上的点可以建立_关系【做一做 1】数系扩充的脉络是：_，用集合符号表示为_ 2虚数单位的性质i2_.显然
2、i 是1 的一个平方根，即 i 是方程 x21 的一个解【做一做 2】关于 x 的方程 x210 的解是( )A1 Bi Ci D无解3复数的概念(1)设 a， b 都是实数，形如 a bi 的数叫做_，复数通常用小写字母 z 表示，即z a bi(a， bR)，其中 a 叫做复数 z 的_， b 叫做复数 z 的_，i 称作虚数单位当 b0 时，复数就成为实数；除了实数以外的数，即当 b0 时， a bi 叫做_而当 b0 且 a0 时， bi 叫做_(2)全体复数所构成的集合叫做_复数集通常用大写字母 C 表示，即C z|z a bi， aR， bR显然，实数集 R 是复数集 C 的_，即
3、 R C.【做一做 31】设 C复数， A实数， B纯虚数，全集 U C，那么下面结论正确的是( )A A B C B UA BC A UB D B UB C【做一做 32】若 z a bi(a， bR)，则下列结论中正确的是( )A若 a0，则 z 是纯虚数B若 b0，则 z 是实数C若 a( b2)i53i，则 a5， b2iD z 的平方不可能为14复数相等如果两个复数 a bi 与 c di 的实部与虚部分别对应相等，我们就说这两个复数_，记作 a bi c di.这就是说，如果 a， b， c， d 都是实数，那么a bi c di _；a bi0 _.2【做一做 41】实数 x，
4、y 满足方程( x y)(2 x y)i54i，则x_， y_.【做一做 42】若复数( m25 m6)( m24 m3)i 等于零，则实数 m 的值是( )A3 或1 B6 或1C3 D1如何理解“两个复数(不全为实数)只能说相等或不相等，不能比较大小”？剖析：(1)根据复数相等的定义，知在 a c， b d 两式中，只要有一个不成立，那么a bi c di.(2)若两个复数全是实数，则可以比较大小，反之，若两个复数能比较大小，则它们必都是实数(即虚部均为 0)(3)若两个复数不全是实数，则不能比较大小 “不能比较大小”的确切含义是指：不论怎样定义两个复数之间的一个关系，都不能使这种关系同时
5、满足实数集中大小关系的四种性质：对于任意实数 a， b 来说， a b， a b， b a 这三种情况有且只有一种成立；若 a b， b c，则 a c；若 a b，则 a c b c；若 a b， c0，则 ac bc.题型一 复数的分类【例题 1】实数 k 为何值时，复数( k23 k4)( k25 k6)i 分别是：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？(4)零？分析：根据定义求解题型二 复数相等【例题 2】已知 x 是实数， y 是纯虚数，且满足(3 x10)i y3i，求 x 与 y.分析：因为 y 是纯虚数，所以可设 y bi(bR， b0)代入等式，把等式的左、右两边都整理成 a
6、 bi 的形式后，利用复数相等的充要条件得到关于 x 与 b 的方程组，求解后得 x 与 b 的值反思：一般利用复数相等的充要条件，可由一个复数等式得到两个实数等式组成的方程组，从而可确定两个独立参数复数相等是实现复数向实数转化的桥梁题型三 复数与实数之间的关系【例题 3】已知 z1 m2( m23 m)i， z2( m24 m3)i10，( mR)若 z1 z2，求实数 m 的取值范围分析：由 z1 z2，可知 z1， z2R，故虚部为 0.反思：两个复数，只有当它们全是实数时才能比较大小题型四 易错辨析易错点：本节常出现的错误是混淆复数中的有关概念，忽视复数集与实数集中有关性质的不同而导致
7、做题错误，避免错误发生的关键是弄清虚数、纯虚数、实数、复数相等等有关概念的区别与联系【例题 4】下列命题中：两个复数不能比较大小；若 z a bi，则仅当 a0， b0 时 z 为纯虚数；若( z1 z2)2( z2 z3)20，则 z1 z2 z3； x yi1i x y1；若实数 a 与 ai 对应，则数集与纯虚数集一一对应其中正确命题的个数是( )A0 B1C2 D33错解：B1 若复数( a23 a2)( a1)i 是纯虚数，则实数 a 的值为( )A1 B2 C1 或 2 D12 若 z1sin 2 icos ， z2cos i sin ，当 z1 z2时， 为( )3A k B 2
8、 k 3C 2 k D 2 k， kZ 3 63 已知复数 z x( x24 x3)i0，则实数 x_.3x 14 给出下列五个命题：若 a0，则 a ； a3 a若 x 为任意实数，则( x21) 01；方程 0 没有实数根；x 1x2 x方程 0 无实数根；x 1 x 2当 a0 时，关于 x 的一元二次方程 x2 ax a0 有两个正根其中正确的命题有_答案：基础知识梳理1有理数(有限小数和无限循环小数) 无理数(无限不循环小数) 一一对应【做一做 1】自然数系 有理数系 实数系 N Q R21【做一做 2】C 由于 i21，(i) 21，i 都是 x210 的解3(1)复数 实部 虚部
9、 虚数 纯虚数 (2)复数集 真子集【做一做 31】D 实数虚数复数，选项 A 不正确由以上分析知UA 虚数 选项 B 不正确 UB 中会有实数，选项 C 不正确【做一做 32】B 若 z 是纯虚数，则 a0 且 b0； a( b2)i53i，由于 a， b均为实数， a5， b5；当 a0， b1 时， zi，其平方为1.4相等 a c，且 b d a0，且 b0【做一做 41】3 2 由题意可得Error!Error!【做一做 42】D 由复数相等的定义可得，Error!解得 m1.典型例题领悟【例题 1】解：由于 z( k23 k4)( k25 k6)i.(1)当 k25 k60，即 k
10、6，或 k1 时， z 是实数(2)当 k25 k60，即 k6，且 k1 时， z 是虚数(3)当Error! 即 k4 时， z 为纯虚数(4)当Error! 即 k1 时， z 是 0.【例题 2】解：设 y bi(b R 且 b0)代入(3 x10)i y3i整理，得(3 x10)i bi3i，由复数相等的充要条件得Error!解得Error! x ， y4i.103【例题 3】解： z1 z2，故 z1， z2均为实数，且 z1的实部小于 z2的实部，Error! Error! m3.4【例题 4】错因分析：因为实数也是复数，而两个实数是能比较大小的，故不对；在中未对 a， b 加以限制，故错误；在中将虚数的平方与实数的平方等同，故错误；在中当 x， y R 时，可推出 x y1，而此题未限制 x， y R，故错误；在中忽视0i0，故错误正解：A随堂练习巩固1B 由题意，有Error!解得 a2.2D 由 z1 z2得Error!Error! 2 k ， k Z. 631 根据题意，有Error!Error!由得 x1 或 x3，代入检验知 x1.4 应为 a ，故错；中 a24 a 不一定为正，因此方 a3 a程不一定有实根，故错
