1、13.1.3 复数的几何意义1掌握复数的几何意义，即能够掌握复数与复平面内的点的对应关系，掌握向量、复数及复平面上点的坐标之间的转化关系2能够利用复数的几何意义解决一些较简单的题目1复数的几何表示根据复数相等的定义，复数 z a bi 被一个有序实数对( a， b)所_确定，而每一个有序实数对( a， b)，在平面直角坐标系中有唯一确定一点 Z(a， b)(或一个向量 OZ)这就是说，每一个复数，对应着平面直角坐标系中唯一的_(或一个向量)；反过来，平面直角坐标系中每一个点(或每一个向量)，也对应着唯一的一个有序实数对这样我们通过有序实数对，可以建立复数 z a bi 和点 Z(a， b)(或
2、向量)之间的一一对应关系点 Z(a， b)或向量 OZ是复数 z 的_表示(如图)复数 z a bi 一 一 对 应 有序实数对( a， b) 一 一 对 应 点 Z(a， b)【做一做 11】对于复平面，下列命题中是真命题的是( )A虚数集和各个象限内的点的集合是一一对应的B实、虚部都是负数的虚数的集合与第二象限内的点的集合是一一对应的C实部是负数的复数的集合与第二、三象限的点的集合是一一对应的D实轴上方的点的集合与虚部为正数的复数的集合是一一对应的【做一做 12】设 z(2 a25 a3)( a22 a3)i( aR)，则下列命题中正确的是( )A z 的对应点 Z 在第一象限B z 的对
3、应点 Z 在第四象限C z 不是纯虚数D z 是虚数2复平面建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做_在复平面内， x 轴叫做_， y 轴叫做_ x 轴的单位是 1， y 轴的单位是 i.实轴与虚轴的交点叫做原点，原点(0,0)对应复数 0.(1)复数与向量建立一一对应关系的前提是起点都是原点(2)复数 z 的几何表示为我们用向量方法解决复数问题或用复数方法解决向量问题创造了条件(3)为了方便起见，我们常把复数 z a bi(a， bR)说成点 Z 或说成向量 O，并规定：相等向量表示同一个复数【做一做 2】下面有关复平面的命题，其中正确的有_实轴与虚轴无交点；实轴上的点对应的复数为实数，虚轴上的
4、点对应的复数为虚数；2实轴与虚轴的单位都是 1；实数对应的点在实轴上，纯虚数对应的点在虚轴上3复数的模、共轭复数(1)设 OZ a bi(a， bR)，则向量 OZ的长度叫做复数 a bi 的_(或绝对值)，记作| a bi|，| a bi|_.(2)如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为_复数复数 z 的共轭复数用 z表示说明：复数 z 的模即有向线段的长度或两点间的距离在数轴(一元坐标)上我们叫实数的绝对值，在直角坐标系 (二元坐标)上我们叫向量的模，但叫绝对值也可以其本质都是线段的长由| z| ，得| z|2 a2 b2，而由 a2 b2( a bi)(a bi)
5、，可得a2 b2公式 z | z|2| |2，这一公式在分解因式、复数与实数的互化、模及共轭复数的运算z z中都应用很广泛【做一做 31】复数 i2i 2的共轭复数是( )A2i B2iC2i D2i【做一做 32】满足条件| z|34i|的复数 z 在复平面上对应的点的轨迹是( )A一条直线 B两条直线C圆 D椭圆1如何理解复数的两种几何形式？剖析：这种对应关系架起了联系复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径复数 z a bi(a， bR)对应的点的坐标是( a， b)，而不是( a， bi)复数z
6、a bi(a， bR)对应的向量 OZ是以原点 O 为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与 OZ相等的向量有无数个2复数的模、共轭复数有什么联系？剖析：(1)复数 z a bi(a， bR)的模用| z|表示，其公式为| z| ，它既是a2 b2z 对应的向量 的长度又是其对应的点 Z(a， b)到原点的距离(2)复数 z a bi(a， bR)的共轭复数为 a bi，它们对应的点关于实轴对称当zb0 时， z ，此时 z 与 对应的点是实轴上的同一个点如果 z ，可以推得 z 为实z z z数由此可得 z z 为实数| z|2 z .z z题型一 复数的几何表示【例题 1】已知 aR
7、，则 z( a22 a4)( a22 a2)i 所对应的点在第几象限？复数 z 所对应的点的轨迹是什么？分析：根据复数与复平面上点的对应关系知，复数 z 对应的点在第几象限与复数 z 的实部和虚部的符号有关；求复数 z 对应的点的轨迹问题，首先把 z 表示成为z x yi(x， yR)的形式，然后寻求 x， y 之间的关系，但要注意参数限定的条件题型二 共轭复数【例题 2】已知 x1 yi 与 i3 x 是共轭复数，求实数 x 与 y 的值3分析：根据共轭复数及复数相等的概念列方程组求 x， y.反思：复数 z 的共轭复数用 来表示，即若 z a bi(a， bR)，则z a bi(a， bR
8、)在复平面内，点 Z(a， b)对应复数 z a bi(a， bR)；点 (a， b)z Z对应复数 a bi(a， bR)，点 Z 和 关于实轴对称z Z题型三 复数的模【例题 3】已知复数 z1 i， z2 i.312 32(1)求| |及| |的值并比较大小；z1 z2(2)设 zC，满足条件| z2| z| z1|的点 Z 的集合是什么图形？分析：根据模的定义及几何意义来求解反思：复数的模表示复数在复平面内对应的点到原点的距离计算复数的模时，应先找出复数的实部与虚部，然后再利用公式进行计算，复数的模可以比较大小题型四 易错辨析易错点：复数的模是实数的绝对值概念的扩充，但在求解有关问题时
9、，不能当成实数的“绝对值”加以求解，否则易丢解、漏解，造成答案不完整或错误【例题 4】求方程5| x|60 在复数集上解的个数错解：5| x|60，5| x|6，即| x| ，65 x ，故原方程在复数集上有两个解651 如果复数 a bi 在复平面内对应的点在第二象限，则( )A a0， b0B a0， b0C a0， b0D a0， b02 复数 z3 a6i 的模为 ，则实数 a 的值为( )40A B23 23C D23 433 若 a， bR， z a bi，我们称复数 a bi 为 z 的相反复数，则( )A复平面上表示 z 和它的相反复数的点关于虚轴对称B复平面上表示 z 的共轭
10、复数 的点与表示 z 的相反复数的点关于虚轴对称zC z 的共轭复数 的相反复数是 zzD z 的相反复数与 不相等z4 复数 z1itan 200的模是_5 已知 ，复数 z2cos isin ，则| z|的取值范围是_0， 4答案：基础知识梳理1唯一 一个点 几何【做一做 11】D 当虚数为纯虚数时，所对应的点位于虚轴上，不属于任何象限，因此选项 A 不正确；实、虚部都是负数的虚数的集合与第三象限内的点的集合是一一对应的，因此选项 B 不正确；实部是负数的实数所对应的点位于实轴上，不属于第二、三象限，因此选项 C 不正确；选项 D 正确【做一做 12】D 由 2a25 a3(2 a1)(
11、a3)，得其实部可正，可负也可以是零，而虚部 a22 a3( a1) 220，故 z 是虚数42复平面 实轴 虚轴【做一做 2】 由于实轴与虚轴相交于原点，故错；由于原点也在虚轴上，它与复数 0 对应，故不正确；虚轴的单位为 i，所以错；正确3(1)模 (2)共轭a2 b2【做一做 31】D i2i 22i，其共轭复数是2i.【做一做 32】C |34i| 5.故复数 z 的模为 5，即点 Z 到原点的距离等32 42于 5，因此满足条件| z|5 的点 Z 的集合是以原点为圆心，以 5 为半径的圆典型例题领悟【例题 1】解：由于 a22 a4( a1) 230，a22 a2( a1) 210
12、，复数 z 的实部为正，虚部为负，即复数 z 对应的点在第四象限设 z x yi(x， y R)，则Error!上述两式相加，得 x y2.又 x a22 a4( a1) 233，复数 z 对应的点的轨迹是一条射线，其方程为 x y20( x3)【例题 2】解：i3 x 的共轭复数为3 xi，所以x1 yi3 xi，从而Error!解得Error!【例题 3】解：(1)| | i| 2.z1 3 3 2 12| | i| 1.z212 32 12 2 32 2所以| | |.z1 z2(2)由| z2| z| z1|，得 1| z|2.因为| z|1 表示圆| z|1 上及其外部所有点组成的集
13、合，| z|2 表示圆| z|2 上及其内部所有点组成的集合，故符合题设条件的点的集合是以 O 为圆心，以 1 和 2 为半径的圆所夹的圆环(包括边界)，如图【例题 4】错因分析：错解中将| x|看成了实数的绝对值，忽略在复数集上解方程而导致错误正解：设 x a bi(a， b R)，原方程可化为 ，即 a2 b2 ，在复平面上a2 b265 3625满足此条件的点有无数个，所以原方程在复数集上有无数个解随堂练习巩固1D2C (3 a)2(6) 240， a .233B 选项 A 中应关于原点对称；选项 C 中因为 a bi，则 的相反复数为z z5 a bi，并非等于 z；选项 D 中若 z 为纯虚数，则 z 的相反复数与 相等z4 | z| .1cos 20 12 tan2200 1 tan220 1cos220 1cos 205 | z| 102， 2 2cos 2 sin 2 4cos2 sin2，1 3cos2又 ， cos 1， 13cos 2 4，0， 4 22 52故 | z|2.102
