1、1第一章导数及其应用单元检测(时间：90 分钟 满分：100 分)一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若 00lim1xffx，则 f (x0)等于( )A 32 B C1 D12 4dx等于( )A2ln 2 B2ln 2 Cln 2 Dln 23若对于任意 x，有 f (x)4 x3， f(1)3，则此函数的解析式为( )A f(x) x41B f(x) x42C f(x) x41D f(x) x424抛物线 y在点 Q(2,1)处的切线方程为( )A x y10B x y30C x y10D x y105函数
2、 f(x) x32 x3 的图象在 x1 处的切线与圆 x2 y28 的位置关系是( )A相切B相交且过圆心C相交但不过圆心D相离6若 0k(2x3 x2)dx0，则 k 等于( )A0 B1 C0 或 1 D以上都不对7已知 f(x) x3 ax2( a6) x1 有极大值和极小值，则 a 的取值范围为( )A1 a2B3 a6C a1 或 a2D a3 或 a68函数 f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是( )2A0 f (2) f (3) f(3) f(2)B0 f (3) f(3) f(2) f (2)C0 f (3) f (2) f(3) f(2)D0 f(3) f(2) f
3、 (2) f (3)9已知点 P 在曲线 4=e1xy上， 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 的取值范围是( )A 04， B 42，C 32， D 3，10若曲线12=yx在点( a，12-)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为 18，则 a 等于( )A64 B32C16 D8二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分把答案填在题中的横线上)11经过点(2,0)且与曲线 1=yx相切的直线方程为_12三次函数 f(x)，当 x1 时有极大值 4，当 x3 时有极小值 0，且函数图象过原点，则 f(x)_.13在区间 2， 上，函数 f(x) x2 px q 与 2
4、1()=g在同一点处取得相同的极小值，那么函数 f(x)在 1， 上的最大值为_14函数 y x2(x0)的图象在点( ak， 2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak1 ，其中 kN ，若 a116，则 a1 a3 a5的值是_15下列四个命题中正确的命题的个数为_若 ()=fx，则 f (0)0；若函数 f(x)2 x21 图象上与点(1,3)邻近的一点为(1 x,3 y)，则 4+2x；加速度是动点位移函数 s(t)对时间 t 的导数；曲线 y x3在(0,0)处没有切线3三、解答题(本大题共 2 小题，共 25 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(10 分)求由曲线 y
5、2 x x2， y2 x24 x 所围成的封闭图形的面积17(15 分)已知函数 f(x) x3 ax2 bx c 在 3与 x1 时都取得极值(1)求 a， b 的值及函数 f(x)的单调区间；(2)若对 x1,2，不等式 f(x) c2恒成立，求 c 的取值范围4参考答案1. 答案：D 原等式可化为 00limxfxf f (x0)1，因此 f (x0)1.2. 答案：D 44221d=ln |xln 4ln 2ln 2.3. 答案：D f (x)4 x3， f(x) x4 k.又 f(1)3， k2， f(x) x42.4. 答案：A y， =21|y，又切线过点 Q(2,1)，切线方程
6、为y1 x2，即 x y10.5. 答案：C 切线方程为 x y10，圆心到直线的距离为 12，所以直线与圆相交但不过圆心6. 答案：C 因为( x2 x3)2 x3 x2，所以 0k(2x3 x2)dx( x2 x3) 0|k k2 k30.所以 k0 或 k1.7. 答案：D f (x)3 x22 ax a6，因为 f(x)既有极大值又有极小值，所以 4 a243( a6)0，即 a23 a180.解得 a6 或 a3.8. 答案：B f (2)， f (3)是 x 分别为 2,3 时对应图象上点的切线的斜率， f(3) f(2) f， f(3) f(2)是图象上 x 为 2 和 3 对应
7、两点连线的斜率，故选 B.9. 答案：D 24e1xy，1 y 0，即曲线在点 P 处的切线的斜率1 k0，1tan 0，又 0，)， 34 .10. 答案：A 2yx，切线斜率321ka，切线方程是1322ya(x a)，令 x0，得123=a，令 y0， x3 a，三角形的面积是S1218，解得 a64.故选 A.11. 答案： x y20 设切点为( x0， 1)，则 0201=x， x01，即切点为5(1,1)，斜率为1，直线方程为 x y20.12. 答案： x36 x29 x 设 f(x) ax3 bx2 cx d，由题意，知0, 14,30.fff解得1,.abcd故 f(x)
8、x36 x29 x.13. 答案：4 由 g (x)0 得 x1.此时 g(x)3，故函数 f(x)在 x1 处取极小值 3，从而可求得 p2， q4.故 f(x) x22 x4，在 ,2上的最大值为 4.14. 答案：21 y ( x2)2 x，函数 y x2(x0)在点( ak， 2)处的切线方程为2=()kkyax，令 y0 得 ak1 ak，又 a1 16， a3 1a2 4a14， a514a31， a1 a3 a5164121.15. 答案：1 ()=fx在 x0 处无导数，因此不对；速度是动点位移函数 s(t)对时间 t 的导数，因此不对； y x3在(0,0)处的切线方程为 y
9、0，故不对16. 答案：分析：先求两曲线的交点，然后根据图形，应用定积分求面积解：由2,4yx得 x10， x22.由图可知，所求图形的面积为S 20(2x x2)dx 20(2x x2)dx 20(2x24 x)dx，因为|20 2x2 4x dx|231x 2x x2， 322 x24 x，所以 2323200| |S.17. 答案：分析：由 ()=f， f (1)0 求出 a， b，再由 f (x)求单调区间，对于(2)可转化为求 f(x)的最大值来求解6解：(1) f(x) x3 ax2 bx c， f (x)3 x22 ax b，由 214()=039fab，f (1)32 a b0，得 1， b2. f (x)3 x2 x2(3 x2)( x1)，当 x 变化时， f (x)， f(x)变化状态如下表：x2,323,11 (1，)f (x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 所以函数 f(x)的增区间为 2,3和(1，)，减区间为 2,13.(2)f(x) x3 12x22 x c， x 1,2，当 x时， +7fc为极大值，而 f(2)2 c，则 f(2)2 c 为最大值，要使 f(x) c2(x 1,2)恒成立只需c2 f(2)2 c，解得 c1 或 c2.所以 c 的取值范围是 c1 或 c2.
