1、1第三章数系的扩充与复数单元检测(时间：90 分钟 满分：100 分)一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列命题中，正确的是( )A复数的模总是正实数B复数集与复平面内所有向量组成的集合一一对应C如果与复数 z 对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点也一定会在第一象限D相等的向量对应着相等的复数2i 是虚数单位， i3( )A 1i4 B 1i42C 3i26 D 3i63已知复数 2+i1z， z是 z 的共轭复数，则 z ( )A 4 BC1 D24复数 iz在复平面上对应的点位于( )A第一象限 B
2、第二象限C第三象限 D第四象限5满足等式| zi| zi|3 的复数 z 所对应的点的轨迹是( )A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线6在复平面内，设向量 p1( x1， y1)， p2( x2， y2)，又设复数z1 x1 y1i， z2 x2 y2i(x1， x2， y1， y2R)，则 p1p2等于( )A + B zC 12z D 127过原点和 3i所对应的点的直线的倾斜角是( )A 6 B 6 C 3 D 5628设复数 z 在映射 f 下的像是 zi，则12i 的原像为( )A2i B2iC2i D13i9设复数 zcos xisin x，则函数 1()=fxz的图象的一部分是图中的(
3、 )10在下列命题中，正确命题的个数为( )两个复数不能比较大小； z1， z2， z3C，若( z1 z2)2( z2 z3)20，则 z1 z3；若( x21) 2( x23 x2)i 是纯虚数，则实数 x1； z 为虚数的一个充要条件是 z R；若 a， b 是两个相等的实数，则( a b)( a b)i 是纯虚数；复数 zR 的一个充要条件是 z .A0 B1C2 D3二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分把答案填在题中的横线上)11已知复数 z1i，则 2z_.12设复数 z 满足 z(23i)64i(i 为虚数单位)，则 z 的模为_13关于 x 的方程 x2
4、5 x m0 有两个虚根 x1， x2，且满足| x1 x2|3，则实数 m 的值为_14定义运算 abcd| ad bc|，则对复数 z x yi 及其对应的点 Z1,2xyR.符合条件 1=zx的点 Z 在复平面上的轨迹方程是_15下列命题中，错误的是_任意两个确定的复数都不能比较大小；3若| z|1，则1 z1； 21+=0，则 z1 z20；两个共轭复数的差是纯虚数；一个复数为实数的充要条件是：这个复数与它的共轭复数相等； a b c 是 a b c0 成立的充要条件三、解答题(本大题共 2 小题，共 25 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(10 分)已知复数 z1满足
5、(1i) z115i， z2 a2i，其中 i 为虚数单位，aR，若| z1 2| z1|，求 a 的取值范围17(15 分)设 P， Q 是复平面上的点集， P z|z 3i( z )50，Q | 2i z， z P(1)P， Q 分别表示什么曲线？(2)设 z1 P， z2 Q，求| z1 z2|的最大值与最小值4参考答案1. 答案：D 复数的模大于等于 0，因此选项 A 不正确；复数集与复平面内所有从原点出发的向量组成的集合一一对应，因此选项 B 不对；同理 C 也不正确，因此选 D.2. 答案：B i3 3i9 i+12 4 3i.3. 答案：A z | z|2 2i324|i|3 1
6、64. 答案：A z i1 i1 i i2， z 对应的点为 ,2.5. 答案：B z 对应的点到(0,1)，(0，1)的距离之和为 3，因此 z 对应的点的轨迹是椭圆6. 答案：D7. 答案：D 3i对应的点为 P( 3，1)，过原点 O 和 P 的直线的斜率为13k，倾斜角 56a.8. 答案：A 设 z x yi(x， y R)，则 zi( x yi)i y xi12i， y1， x2，故 z2i.9. 答案：A f(x) cosincosin2|cos x|.10. 答案：B 实数也是复数，且两个实数可以比较大小，故错在复数里没有这样的性质，故错要使( x21) 2( x23 x2)i
7、 是纯虚数，必须有( x21) 20，且 x23 x20，故x1，故错错误若 a b0，则( a b)( a b)i0 不为纯虚数，故错正确11. 答案：2i 2z 1i 2i1i1i2i.12. 答案：2 64i3，| z| 64i3 |i|2643.513. 答案： 172 由题意， 5 24 m0， 254.又 32| x1 x2|2|( x1 x2)24 x1x2|254 m|，254 m9，解得 m4(舍)或m.14. 答案： y22 x1 由 1zx，得| x yi1| x，即21xyx， y22 x1 15. 答案：16. 答案：分析：求出 z1，根据共轭复数及模的定义转化为实数
8、不等式求解解：由题意，得 z1 5i23i.于是 12|z|4 a2i| 24a.又 |=3，由| z1 2| z1|，得2(4)，即 a28 a70.解得 1 a7.17. 答案：分析：复数问题实数化判断曲线类型，应用数形结合法求最值解：(1)设 z x yi(x， y R)，代入 P 中得 x2( y3) 24，所以集合 P 表示以(0,3)为圆心，以 2 为半径的圆设 a bi(a， b R)，由 2i z，得1i2z.因为 z P，所以 a2 b212 a200，即( a6) 2 b216.所以 Q 表示以(6,0)为圆心，以 4 为半径的圆(2)设 A(0,3)， B(6,0)，圆心距| AB| 3524，即两圆外离，所以| z1 z2|max 6+，| z1 z2|min 356.
