1、1第一讲 等差数列、等比数列年份 卷别考查角度及命题位置命题分析及学科素养卷等比数列的判定及通项求法T 172018卷等比数列的基本运算及应用T 172017 卷等差、等比数列的综合应用T 17命题分析(1)高考主要考查两种基本数列(等差数列、等比数列)、两种数列求和方法(裂项求和法、错位相减法)、两类综合(与函数综合、与不等式综合)，主要突出数学思想的应用(2)若以解答题形式考查，数列往往与解三角形在17 题的位置上交替考查，试题难度中等；若以客观题考查，难度中等的题目较多，但有时也出现在第12 题或 16 题位置上，难度偏大，复习时应引起关注学科素养主要是通过等差数列、等比数列的判定与证明
2、及基本运算考查逻辑推理与数学运算两大核心素养.等差数列、等比数列的基本运算授课提示：对应学生用书第 28 页悟通方法结论两组求和公式(1)等差数列： Sn na1 d；na1 an2 nn 12(2)等比数列： Sn (q1)a11 qn1 q a1 anq1 q全练快速解答1(2018高考全国卷)记 Sn为等差数列 an的前 n 项和，若 3S3 S2 S4， a12，则 a5( )2A12 B10C10 D12解析：设等差数列 an的公差为 d，由 3S3 S2 S4，得 3 2 a1 d4 a1 d，将 a123a133 12 d 22 12 44 12代入上式，解得 d3，故 a5 a
3、1(51) d24(3)10.故选 B.答案：B2(2017高考全国卷)等差数列 an的首项为 1，公差不为 0.若 a2， a3， a6成等比数列，则 an前 6 项的和为( )A24 B3C3 D8解析：设等差数列 an的公差为 d，因为 a2， a3， a6成等比数列，所以 a2a6 a ，即23(a1 d)(a15 d)( a12 d)2，又 a11，所以 d22 d0，又 d0，则 d2，所以a6 a15 d9，所以 an前 6 项的和 S6 624，故选 A.1 92答案：A3(2018天津模拟)已知等比数列 an的前 n 项和为 Sn，且 8a2a4 a3a6，则_.S3a4解析
4、：由 8a2a4 a3a6可得 8a a3a6，故 a68 a3，设公比为 q，则 q38， q2，故23 .S3a4 a11 q q2a1q3 78答案：784(2018高考全国卷)等比数列 an中， a11， a54 a3.(1)求 an的通项公式(2)记 Sn为 an的前 n 项和，若 Sm63，求 m.解析：(1)设 an的公比为 q，由题设得 an qn1 .由已知得 q44 q2，解得 q0(舍去)， q2 或 q2.故 an(2) n1 或 an2 n1 .(2)若 an(2) n1 ，则 Sn .1 2n3由 Sm63 得(2) m188，此方程没有正整数解若 an2 n1 ，
5、则 Sn2 n1.由 Sm63 得 2m64，解得 m6.3综上， m6.【类题通法】在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于 a1和 d(或 q)的方程组求解，但要注意消元法及整体代换，以减少计算量等差数列、等比数列的性质授课提示：对应学生用书第 29 页悟通方法结论1等差数列、等比数列常用性质：等差数列 等比数列性质(1)若 m， n， p， qN *，且m n p q，则am an ap aq；(2)an am( n m)d；(3)Sm， S2m Sm， S3m S2m，仍成等差数列(1)若 m， n， p， qN *，且 m n p q，则aman
6、 apaq；(2)an amqn m；(3)Sm， S2m Sm， S3m S2m，仍成等比数列(Sm0)2.等差数列中利用中项求和(1)若 n 为奇数，则 Sn .(2)若 n 为偶数，则 Sn ( 1)n23在等差数列中，当项数为偶数 2n 时，有 S 偶 S 奇 nd， ；当项数为奇S偶S奇 an 1an数 2n1 时，有 S 奇 S 偶 an， .S偶S奇 n 1n4在等比数列中，当项数为偶数 2n 时， q.S偶S奇全练快速解答1(2018南宁模拟)等差数列 an中， a3 a76，则 an的前 9 项和等于( )A18 B27C18 D27解析：由等差数列的性质，得 a1 a9 a
7、3 a76，所以数列 an的前 9 项和 S94 27，故选 B.9a1 a92 962答案：B2(2016高考全国卷)已知等差数列 an前 9 项的和为 27， a108，则 a100( )A100 B99C98 D97解析：法一： an是等差数列，设其公差为 d， S9 (a1 a9)9 a527， a53.92又 a108，Error!Error! a100 a199 d199198.法二： an是等差数列， S9 (a1 a9)9 a527， a53.92在等差数列 an中， a5， a10， a15， a100成等差数列，且公差d a10 a5835.故 a1003(201)598.
8、故选 C.答案：C3(2018长沙模拟)等比数列 an中， a56，则数列log 6an的前 9 项和的值为( )A6 B9C12 D16解析：因为 a56，所以 log6a1log 6a2log 6a9log 6(a1a2a9)log 6a 9log 669.95答案：B4(2018河北三市联考)已知 Sn是等差数列 an的前 n 项和，若 S55 a410，则数列 an的公差为_解析：由 S55 a410，得 5a35 a410，则公差 d2.答案：2【类题通法】等差(比)数列性质应用策略解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解.5
9、等差数列、等比数列的判定与证明授课提示：对应学生用书第 29 页悟通方法结论1证明数列 an是等差数列的两种基本方法：(1)利用定义，证明 an1 an(nN *)为一常数；(2)利用等差中项性质，即证明 2an an1 an1 (n2)2证明 an是等比数列的两种基本方法：(1)利用定义，证明 (nN *)为一常数；an 1an(2)利用等比中项性质，即证明 a an1 an1 (n2， an0)2n(2018高考全国卷)(12 分)已知数列 an满足 a11，设 bn .ann(1) (2) 并说明理由；(3) 学审题条件信息 想到方法 注意什么由信息 nan1 2( n1) an递推关系
10、变形an1 an2n 1n由信息求 b1、 b2、 b3想到先求 a1、 a2、 a3，再求b1、 b2、 b3由信息判断 bn是否为等比数列由等比数列的定义推断常数bn 1bn由信息求 an 先求 bn，再求 an判断 bn为等比数列时要紧扣定义去推断规范解答 (1)由条件可得 an1 an.2n 1n(2 分)将 n1 代入得， a24 a1，而 a11，所以 a24.6将 n2 代入得， a33 a2，所以 a312. (4 分)从而 b11， b22， b34. (6 分)(2)bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列由条件可得 ，即 bn1 2 bn， (8 分)an 1n 1 2a
11、nn又 b11，所以 bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列(10 分)(3)由(2)可得 2 n1 ，ann所以 an n2n1 . (12 分)【类题通法】1判定一个数列是等差(比)数列，可以利用通项公式或前 n 项和公式，但不能将其作为证明方法2(1) q 和 a an1 an1 (n2)都是数列 an为等比数列的必要不充分条件，an 1an 2n判定时还要看各项是否为零(2)学科素养：利用定义判定或证明数列问题重要体现了数学抽象逻辑推理与数学运算学科素养能力练通即学即用(2018贵州适应性考试)已知数列 an满足 a11，且 nan1 ( n1) an2 n22 n.(1)求 a2，
12、 a3；(2)证明数列 是等差数列，并求 an的通项公式ann解析：(1)由已知得 a22 a14，则 a22 a14，又 a11，所以 a26.由 2a33 a212 得 2a3123 a2，所以 a315.(2)证明：由已知 nan1 ( n1) an2 n(n1)，得 2，即 nan 1 n 1annn 1 an 1n 12，ann所以数列 是首项为 1，公差为 2 的等差数列ann则 12( n1)2 n1，所以 an2 n2 n.ann7授课提示：对应学生用书第 119 页一、选择题1(2018开封模拟)已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，且 a1 a510， S416，则数列
13、 an的公差为( )A1 B2C3 D4解析：设等差数列 an的公差为 d，因为 S4 2(a1 a5 d)2(10 d)4a1 a4216，所以 d2，故选 B.答案：B2(2018重庆模拟)在数列 an中， an1 an2， a25，则 an的前 4 项和为( )A9 B22C24 D32解析：依题意得，数列 an是公差为 2 的等差数列， a1 a223，因此数列 an的前4 项和等于 43 224，选 C.432答案：C3(2018益阳、湘潭联考)已知等比数列 an中， a53， a4a745，则 的值为a7 a9a5 a7( )A3 B5C9 D25解析：设等比数列 an的公比为 q
14、，则 a4a7 a5q29 q45，所以 q5， a5q a7 a9a5 a7 q225.故选 D.a5q2 a7q2a5 a7答案：D4(2018洛阳模拟)在等差数列 an中，若 Sn为前 n 项和，2 a7 a85，则 S11的值是( )A55 B11C50 D60解析：设等差数列 an的公差为 d，由 2a7 a85，得 2(a6 d) a62 d5，得8a65，所以 S1111 a655，故选 A.答案：A5(2018昆明模拟)已知等差数列 an的公差为 2，且 a4是 a2与 a8的等比中项，则an的通项公式 an( )A2 n B2 nC2 n1 D2 n1解析：由题意，得 a2a
15、8 a ，又 an a12( n1)，所以( a12)( a114)( a16) 2，24解得 a12，所以 an2 n.故选 B.答案：B6(2018长沙中学模拟)已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若a4 a12 a88， a10 a64，则 S23( )A23 B96C224 D276解析：设等差数列 an的公差为 d，依题意得a4 a12 a82 a8 a8 a88， a10 a64 d4， d1， a8 a17 d a178， a11， S23231 1276，选 D.23222答案：D7(2018长春模拟)等差数列 an中，已知| a6| a11|，且公差 d0，则其前 n
16、项和取最小值时 n 的值为( )A6 B7C8 D9解析：由 d0 可得等差数列 an是递增数列，又| a6| a11|，所以 a6 a11，即 a15 d a110 d，所以 a1 ，则 a8 0， a9 0，所以前 8 项和为前 n 项15d2 d2 d2和的最小值，故选 C.答案：C8(2018惠州模拟)已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，且 a9 a126， a24，则12数列 的前 10 项和为( )1SnA. B.1112 1011C. D.910 899解析：设等差数列 an的公差为 d，由 a9 a126 及等差数列的通项公式得12a15 d12，又 a24， a12，
17、d2， Sn n2 n， ， 1Sn 1nn 1 1n 1n 1 1S1 (1 )( )( )1 .选 B.1S2 1S10 12 12 13 110 111 111 1011答案：B二、填空题9(2018南宁模拟)在等比数列 an中， a2a616， a4 a88，则 _.a20a10解析：法一：设等比数列 an的公比为 q，由 a2a616 得 a q616， a1q34.由21a4 a88，得 a1q3(1 q4)8，即 1 q42， q21.于是 q101.a20a10法二：由等比数列的性质，得 a a2a616， a44，又 a4 a88，Error!或24Error!. a a4a
18、80，Error!则公比 q 满足 q41， q21， q101.26a20a10答案：110(2018合肥模拟)已知数列 an中， a12，且 4( an1 an)(nN *)，则其a2n 1an前 9 项和 S9_.解析：由已知，得 a 4 anan1 4 a ，2n 1 2n即 a 4 anan1 4 a ( an1 2 an)20，2n 1 2n所以 an1 2 an，所以数列 an是首项为 2，公比为 2 的等比数列，故 S9 2 1021 022.21 291 2答案：1 02211若等比数列 an的各项均为正数，且 a10a11 a9a122e 5，则 ln a1ln a2ln
19、a20_.解析：因为 a10a11 a9a122 a10a112e 5，所以 a10a11e 5.所以 ln a1ln a2ln a20ln( a1a2a20)ln( a1a20)(a2a19)(a10a11)ln( a10a11)1010ln( a10a11)10ln e 550ln e50.答案：5012(2017高考北京卷)若等差数列 an和等比数列 bn满足10a1 b11， a4 b48，则 _.a2b2解析：设等差数列 an的公差为 d，等比数列 bn的公比为 q，则由 a4 a13 d，得 d 3，a4 a13 8 13由 b4 b1q3得 q3 8， q2.b4b1 8 1 1
20、.a2b2 a1 db1q 1 3 1 2答案：1三、解答题13(2018南京模拟)已知数列 an的前 n 项和 Sn2 n1 2，记 bn anSn(nN *)(1)求数列 an的通项公式；(2)求数列 bn的前 n 项和 Tn.解析：(1) Sn2 n1 2，当 n1 时， a1 S12 11 22；当 n2 时， an Sn Sn1 2 n1 2 n2 n.又 a122 1， an2 n.(2)由(1)知， bn anSn24 n2 n1 ，T n b1 b2 b3 bn2(4 14 24 34 n)(2 22 32 n1 )2 4n 12 n2 .41 4n1 4 41 2n1 2 23 4314(2018贵阳模拟)设等比数列 an的前 n 项和为 Sn，公比q0， a1 a24， a3 a26.(1)求数列 an的通项公式；(2)若对任意的 nN *， kan， Sn，1 都成等差数列，求实数 k 的值解析：(1) a1 a24， a3 a26，Error! q0， q3， a11. an13 n1 3 n1 ，故数列 an的通项公式为 an3 n1 .(2)由(1)知 an3 n1 ， Sn ，11 3n1 3 3n 12 kan， Sn，1 成等差数列，2 Sn kan1，即 2 k3n1 1，解得 k3.3n 12
