1、1第5课时 古典概型1一枚硬币连掷2次，恰好出现1次正面的概率是( )A. B.12 14C. D034答案 A解析 列举出所有基本事件，找出“只有1次正面”包含的结果一枚硬币连掷2次，基本事件有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)共4个，而只有1次出现正面的包括(正，反)，(反，正)2个，故其概率为 .24 122有80个数，其中一半是奇数，一半是偶数，从中任取两数，则所取的两数和为偶数的概率为( )A. B.3979 180C. D.12 4181答案 A解析 两数和为偶数，则两数同奇或同偶，故两数和为偶数的概率为P .2C402C802 39793(2017云南统一检测)在2，
2、0，1，5这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为( )A. B.34 58C. D.12 14答案 C解析 分析题意可知，共有(0，1，2)，(0，2，5)，(1，2，5)，(0，1，5)4种取法，符合题意的取法有2种，故所求概率P .124(2018广东惠州模拟)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，则田忌获胜的慨率为( )A. B.13 14C. D.15 16答案 A解析 2设齐王上，中，下三个等次的马分别
3、记为a 1，a 2，a 3，田忌的上，中，下三个等次的马分别记为b 1，b 2，b 3，从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛的所有可能为a 1b1，a 1b2，a 1b3，a 2b1，a 2b2，a 2b3，a 3b1，a 3b2，a 3b3，共9种由题设知田忌获胜有3种情况：a 2b1，a 3b1，a 3b2，故田忌获胜的概率为 ，故选A.39 135(2018广西南宁一模)某高校要从6名短跑运动员中选出4人参加全省大学生运动会中的4100 m接力赛，其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则甲跑第二棒的概率为( )A. B.415 215C. D.421 15答案 C解析 从6名短跑运动员中
4、任选4人参加4100 m接力赛，其中甲不跑第一棒且乙不跑第四棒的方法共有A 642A 53A 42252种，在这252种方法中甲跑第二棒的方法共有C 41A4248种，因此所求的概率为 ，选C.48252 4216(2018郑州市质检)某公司安排6位员工在“元旦(1月1日至1月3日)”假期值班，每天安排2人，每人值班1天，则6位员工中甲不在1日值班的概率为( )A. B.13 23C. D.34 56答案 B解析 该公司安排6位员工在“元旦(1月1日至1月3日)”假期值班，每天安排2人，每人值班1天，基本事件总数nC62C42C22，6位员工中甲不在1日值班包含的基本事件个数mC 52C42C
5、22，6位员工中甲不在1日值班的概率Pmn .故选B.C52C42C22C62C42C22 237(2017山东，理)从分别标有1，2，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )A. B.518 49C. D.59 79答案 C解析 方法一：从9张卡片中依次抽取1张，共取2次有C 91C81种不同方法，其中2次抽得卡片的奇偶性不同的方法有2C51C41种由古典慨型概率公式得P .2C51C41C91C81 4072 593方法二：由题意知两次取卡片，彼此相互独立，则两次取得卡片奇偶性不同的概率为 .59 48 49 58 598(2018北
6、京朝阳区期末)甲、乙两位学生参加数学文化知识竞赛培训，在培训期间，他们参加的5次测试成绩记录如下，甲：82 82 79 95 87乙：95 75 80 90 85从甲、乙两人的这5次成绩中各随机抽取一个，则甲的成绩比乙的成绩高的概率为( )A. B.1225 925C. D.1325 1425答案 A解析 记甲被抽到的成绩为x，乙被抽到的成绩为y，用数对(x，y)表示基本事件，有：(82，95)，(82，75)，(82，80)，(82，90)，(82，85)，(82，95)，(82，75)，(82，80)，(82，90)，(82，85)，(79，95)，(79，75)，(79，80)，(79，
7、90)，(79，85)，(95，95)，(95，75)，(95，80)，(95，90)，(95，85)，(87，95)，(87，75)，(87，80)，(87，90)，(87，85)，基本事件总数n25.设“甲的成绩比乙的成绩高”为事件A，事件A包含的基本事件有：(82，75)，(82，80)，(82，75)，(82，80)，(79，75)，(95，75)，(95，80)，(95，90)，(95，85)，(87，75)，(87，80)，(87，85)，事件A包含的基本事件数m12.所以P(A) .故选A.mn 12259从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概
8、率等于( )A. B.110 18C. D.16 15答案 D解析 在正六边形中，6个顶点选取4个，种数为15.选取的4点能构成矩形的，只有对边的4个顶点(例如AB与DE)，共有3种，所求概率为 .315 1510(2018长沙雅礼中学质检)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，2为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是( )4A. B.12 35C. D.45 710答案 D解析 数列的通项公式为a n(2) n1 ，数列中的偶数项都为负数，小于8，共有5项，奇数项的第1，3项小于8，故小于8的数有7个，因此概率为P .71011从1，2，9这9个数中，随机抽取
9、3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是( )A. B.59 49C. D.1121 1021答案 C解析 基本事件总数为C 93，设抽取3个数，和为偶数为事件A，则A事件包括两类：抽取3个数全是偶数，或抽取3个数中2个奇数1个偶数，前者有C 43种，后者有C 41C52种，所以A中基本事件数为C 43C 41C52，所以符合要求的概率为 .故选C.C43 C41C52C93 112112(2017甘肃模拟)投掷两颗骰子，其向上的点数分别为m和n，则复数(mni) 2为纯虚数的概率为( )A. B.13 14C. D.16 112答案 C解析 投掷两颗骰子共有36种结果，因为(mni) 2m
10、 2n 22mni，所以要使复数(mni) 2为纯虚数，则有m 2n 20，即mn，共有6种结果，所以复数为纯虚数的概率为 ，故选C.636 1613一袋中装有大小相同，编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为( )A. B.132 164C. D.332 364答案 D解析 基本事件为(1，1)，(1，2)，(1，8)，(2，1)，(2，2)，(8，8)，共64种两球编号之和不小于155的情况有三种，分别为(7，8)，(8，7)，(8，8)，所求概率为 .36414(2017惠州调研)设A，B两名学生均从两位
11、数学教师和两位英语教师中选择一位教师给自己来补课，若A，B不选同一位教师，则学生A选择数学教师，学生B选择英语教师的概率为( )A. B.13 512C. D.12 712答案 A解析 设两位数学教师用1，2表示，两位英语教师用3，4表示，不妨让A先选，B后选(不重复)，则他们所有的选择结果如下：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，共12种情况，其中学生A选择数学教师，学生B选择英语教师(数学在前，英语在后)的结果有(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，共4种情况，所以所求概率
12、P .1315.如图是甲、乙两位同学高二上学期历史成绩的茎叶图，有一个数字被污损，用a(3a8且aN)表示被污损的数字则甲同学的历史平均成绩不低于乙同学的历史平均成绩的概率为( )A. B.13 56C. D.16 23答案 D解析 甲同学的历史平均成绩为 92分，若甲同学的历史平均成绩不低于乙同学的历史平均成88 90 93 94 955绩， 92，得a6.因为3a8，所以3a6且aN，记甲同学的历史平均成绩不86 88 92 98 90 a5低于乙同学的历史平均成绩为事件A，则事件A包含4个基本事件，而基本事件总数共有6个，所以事件A的概率P(A) .46 2316(2014课标全国文)甲
13、、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_答案 13解析 甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种的所有可能情况为(红，白)，(白，红)，(红，蓝)，(蓝，红)，(白，蓝)，(蓝，白)，(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共9种，他们选择相同颜色运动服的所有可能情况为(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种故所求概率为P .39 13617盒中有3张分别标有1，2，3的卡片，从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为_答案 59解析 对立事件为：两
14、次抽的卡片号码中都为奇数，共有224种抽法而有放回的两次抽了卡片共有339种基本事件，因此所求事件概率为1 .49 5918某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A 1，A 2，A 3和3个欧洲国家B 1，B 2，B 3中选择2个国家去旅游(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A 1但不包括B 1的概率答案 (1) (2)15 29解析 (1)由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，
15、B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 3，B 1)，(A3，B 2)，(A 3，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，共15个所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)，共3个则所求事件的概率为：P .315 15(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)
16、，共9个包括A 1但不包括B 1的事件所包含的基本事件有：(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，共2个，则所求事件的概率为：P .2919从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间55，65)，65，75)，75，85内的频率之比为421.(1)求这些产品质量指标值落在区间75，85内的频率；(2)用分层抽样的方法在区间45，75)内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取2件产品，求这2件产品都在区间45，65)内的概率答案 (1)0.05 (2)23解析 7(1)设质量指标值落在区间75，8
17、5内的频率为x，则质量指标值落在区间55，65)，65，75)内的频率分别为4x，2x.依题意得(0.0040.0120.0190.030)104x2xx1，解得x0.05.所以质量指标值落在区间75，85内的频率为0.05.(2)由(1)得，质量指标值落在区间45，55)，55，65)，65，75)内的频率分别为0.3，0.2，0.1.用分层抽样的方法在区间45，75)内抽取一个容量为6的样本，则在区间45，55)内应抽取6 3件，记为A 1，A 2，A 3；0.30.3 0.2 0.1在区间55，65)内应抽取6 2件，记为B 1，B 2；0.20.3 0.2 0.1在区间65，75)内应
18、抽取6 1件，记为C.0.10.3 0.2 0.1设“从样本中任意抽取2件产品，这2件产品都在区间45，65)内”为事件M，因为所有的基本事件有：(A 1，A2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，C)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，C)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，C)，(B 1，B 2)，(B 1，C)，(B 2，C)，共15种，事件M包含的基本事件有：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(
19、A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)，共10种，所以P(M) ，1015 23所以这2件产品都在区间45，65)内的概率为 .231(2018广东五校协作体联考)从19这9个自然数中任取7个不同的数，则这7个数的平均数是5的概率为( )A. B.23 13C. D.19 18答案 C解析 从19这9个自然数中任取7个不同的数的取法共有C 97 36种，因为19283746，所以982从(1，9)，(2，8)，(3，7)，(4，6)中任选3组，则有C 434种，再加上5，故这7个数的平均数是5的概率为 ，故选C.436 192(2018衡水中学调研卷)3位大学生乘坐同一列“子
20、弹头”CRH1AA动车，该动车有8节车厢，则至少有2位大学生在同一节车厢的概率为( )8A. B.2132 5764C. D.1132 1116答案 C解析 3位大学生的乘车方式共有8 3种，其中均不在同一节车厢的乘车方式有A 83种，所以3位大学生均不在同一节车厢的概率为 ，故至少有2位大学生在同一节车厢的概率为1 ，故选C.A8383 87683 2132 2132 11323已知直线l 1：x2y10，直线l 2：axby10，其中a，b1，2，3，4，5，6，则直线l 1与l 2的交点位于第三象限的概率为( )A. B.34 14C. D.13 12答案 A解析 当l 2的斜率大于l
21、1的斜率时，直线l 1与l 2的交点位于第三象限，此时共有六种情况：b1，a1，2，3，4，5，6；b2，a2，3，4，5，6；b3，a2，3，4，5，6；b4，a3，4，5，6；b5，a3，4，5，6；b6，a4，5，6所以所求概率为 ，选A.2766 344(2015广东文)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为( )A0.4 B0.6C0.8 D1答案 B解析 设5件产品中合格品分别为A 1，A 2，A 3，2件次品分别为B 1，B 2，则从5件产品中任取2件的所有基本事件为A 1A2，A 1A3，A 1B1，A 1B2，A 2A3，A 2B
22、1，A 2B2，A 3B1，A 3B2，B 1B2，共10个，其中恰有一件次品的所有基本事件为：A 1B1，A 1B2，A 2B1，A 2B2，A 3B1，A 3B2，共6个故所求概率为P 0.6.6105(2015课标全国，文)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )A. B.310 15C. D.110 120答案 C解析 基本事件的总数为10，其中能构成一组勾股数的只有3，4，5，所求概率为 ，选C.11096现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率；先由计算
23、器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 46980371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( )A0.852 B0.819 2C0.8 D0.75答案 D解析 因为射击4次至多击中2次对应的随机数组为7140，1417，0371，6011，7610，共5组，所以射
24、击4次至少击中3次的概率为1 0.75，故选D.5207从1，2，3，4，5中随机选取一个数为a，从1，2，3中随机选取一个数为b，则ba的概率是( )A. B.45 35C. D.25 15答案 D解析 基本事件的个数有5315，其中满足ba的有3种，所以ba的概率为 .315 158(2017浙江金丽衢十二校二联)4张卡上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为偶数的概率为( )A. B.12 13C. D.23 34答案 B解析 因为从四张卡片中任取出两张的情况为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6种其
25、中两张卡片上数字和为偶数的情况为(1，3)，(2，4)共2种，所以两张卡片上的数字之和为偶数的概率为 .139有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，若每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A. B.13 12C. D.23 34答案 A10解析 由题意得，甲、乙两位同学参加小组的所有可能的情况共339种又两位同学参加同一个兴趣小组的种数为3，故概率为 .39 1310一个袋子中有5个大小相同的球，其中3个白球与2个黑球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任意取出一个球，则第一次为白球、第二次为黑球的概率为( )A. B.35
26、 310C. D.12 625答案 B解析 设3个白球分别为a 1，a 2，a 3，2个黑球分别为b 1，b 2，则先后从中取出2个球的所有可能结果为(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)，(a 2，a 1)，(a 3，a 1)，(b 1，a 1)，(b 2，a 1)，(a 3，a 2)，(b 1，a 2)，(b 2，a 2)，(b 1，a 3)，(b 2，a 3)，(b 2，b 1)，共20种其中满足第一次为白球、第二次为黑球的有(a
27、 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，共6种，故所求概率为 .620 31011将一个骰子向上抛两次，所得点数分别为m和n，则n2m的概率是_答案 56解析 基本事件的总数为6636，满足n2m的数对(n，m)为(6，2)，(6，1)，(5，2)，(5，1)，(4，1)，(3，1)，共6个，所以所求概率为1 .636 5612(2018江苏南京调研)某单位要在四名员工(含甲乙两人)中随机选两名到某地出差，则甲乙两人中，至少有一人被选中的概率是_答案 56解析 在四名员工(含甲乙两人)中随机选两名，共有6种可能，其中甲
28、乙两人都未被选中只有1种可能，甲乙两人中，至少有一人被选中的概率是1 .16 5613(2013江苏)现有某类病毒记作X mYn，其中正整数m，n(m7，n9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为_答案 2063解析 从正整数m，n(m7，n9)中任取两数的所有可能结果有C 71C9163个，其中m，n都取奇数的结果有C 41C512110个，故所求概率为 .206314如图所示是某市2017年2月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择2月1日至2月12日中的某一天到达该市，并停留3天(1)求
29、此人到达当日空气质量优良的概率；(2)求此人停留期间至多有1天空气重度污染的概率答案 (1) (2)16 23解析 (1)在2月1日至今2月12日这12天中，只有5日，8日共2天的空气质量优良，所以此人到达当时空气质量优良的概率P .212 16(2)根据题意，事件“此人在该市停留期间至多有1天空气重度污染”，即“此人到达该市停留期间0天空气重度污染或仅有1天空气重度污染”“此人在该市停留期间0天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日或8日或9日”，其概率为 312 14.“此人在该市停留期间仅有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是3日或5日或6日或7日或10日”，其概率为
30、.512所以此人停留期间至多有1天空气重度污染的概率为P .14 512 2315(2017广东深圳)已知复数zxyi(x，yR)在复平面上对应的点为M.设集合P4，3，2，0，Q0，1，2，从集合P中随机抽取一个数作为x，从集合Q中随机抽取一个数作为y，求复数z为纯虚数的概率答案 16解析 记“复数z为纯虚数”为事件A.组成复数z的所有情况共有12个：4，4i，42i，3，3i，32i，2，2i，22i，0，i，2i，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件A包含的基本事件共2个：i，2i，12所求事件的概率为P(A) .212 1616(2018安徽省安师大附中高三阶段测试)某校
31、高三期中考试后，数学教师对本次全部数学成绩按120进行分层抽样，随机抽取了20名学生的成绩为样本，成绩用茎叶图记录如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下表所示的频率分布表：分数段(分)50，70)70，90)90，110)110，130)130，150总计频数 b频率 a 0.25(1)求表中a，b的值及成绩在90，110)范围内的样本数，并估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率(成绩在90，150内为及格)；(2)若从茎叶图中成绩在100，130)范围内的样本中一次性抽取两个，求取出两个样本数字之差的绝对值小于或等于10的概率答案 (1)0.65 (2)1021解析 (1)由茎叶图知
32、成绩在50，70)范围内的有2人，在110，130)范围内的有3人，a0.1，b3.成绩在90，110)范围内的频率为10.10.250.250.4.成绩在90，110)范围内的样本数为200.48，估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率为P10.10.250.65.(2)一切可能的结果组成的基本事件空间为(100，102)，(100，106)，(100，106)，(100，116)，(100，118)，(100，128)，(102，106)，(102，106)，(102，116)，(102，118)，(102，128)，(106，106)，(106，116)，(106，118)，(106，128)，(106，116)，(106，118)，(106，128)，(116，118)，(116，128)，(118，128)，共21个基本事件，设事件A“取出的两个样本中数字之差小于等于10”，则A(100，102)，(100，106)，(100，106)(102，106)，(102，106)，(106，106)，(106，116)，(106，116)，(116，118)，(118，128)，共10个基本事件，P(A) .1021
