1、1专题研究1 三角函数的值域与最值1函数ycos(x )，x0， 的值域是( ) 6 2A( ， B ， 32 12 12 32C ， D ， 12 32 32 12答案 B解析 x0， ，x ， ，y ， 2 6 6 23 12 322如果|x| ，那么函数f(x)cos 2xsinx的最小值是( ) 4A. B2 12 2 12C1 D.1 22答案 D解析 f(x)sin 2xsinx1(sinx )2 ，当sinx 时，有最小值，y min .12 54 22 24 22 1 223(2018湖南衡阳月考)定义运算：a*b 例如1*21，则函数f(x)sinx*cosx的值域为( a，
2、 a b，b， ab.)A ， B1，122 22C ，1 D1， 22 22答案 D解析 根据三角函数的周期性，我们只看在一个最小正周期内的情况即可设x0，2，当 x 时，sinx 4 54cosx，f(x)cosx，f(x)1， ，当0xsinx，f(x)sinx，f(x)022 4 54， )1，0综上知f(x)的值域为1， 22 224(2018河北石家庄一检)若函数f(x) sin(2x)cos(2x)(00. 6(1)求函数yf(x)的值域；(2)若f(x)在区间 ， 上为增函数，求的最大值32 2答案 (1)1 ，1 (2)3 316解析 (1)f(x)4( cosx sinx)
3、sinxcos2x32 122 sinxcosx2sin 2xcos 2xsin 2x3 sin2x1，3因为1sin2x1，所以函数yf(x)的值域为1 ，1 3 3(2)因ysinx在每个闭区间2k ，2k (kZ)上为增函数，故f(x) sin2x1(0)在每个 2 2 3闭区间 ， (kZ)上为增函数k 4 k 4依题意知 ， ， 对某个kZ成立，此时必有k0，于是 解32 2 k 4 k 4 32 4 ， 2 4 ， )6得 ，故的最大值为 .16 161(2018湖北重点校联考)已知函数f(x)sin( 2x)2sin(x )cos(x )56 4 34(1)求函数f(x)的最小正
4、周期和单调递增区间；(2)若x ， ，且F(x)4f(x)cos(4x )的最小值是 ，求实数的值12 3 3 32答案 (1)T，k ，k (kZ) (2) 6 3 12解析 (1)f(x)sin( 2x)2sin(x )cos(x ) cos2x sin2x(sinxcosx)(sinxcosx)56 4 34 12 32 cos2x sin2xsin 2xcos 2x12 32 cos2x sin2xcos2x12 32 sin2x cos2xsin(2x )，T .32 12 6 22由2k 2x 2k (kZ)得k xk (kZ)，函数f(x)的单调递增区间为k 2 6 2 6 3，k (kZ) 6 3(2)F(x)4f(x)cos(4x ) 34sin(2x )12sin 2(2x ) 6 62sin 2(2x )4sin(2x )1 6 62sin(2x ) 212 2. 6x ， ，02x ，0sin(2x )1.12 3 6 2 6当1时，当且仅当sin(2x )1时，F(x)取得最小值14，由已知得14 ，解得 ，这 6 32 58与1相矛盾7综上所述，实数的值为 .12
