1、1专题研究2 正、余弦定理应用举例1.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C(ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，然后给出了三种测量方案：测量A，C，b；测量a，b，C；测量A，B，a，则一定能确定A，B间的距离的所有方案的序号为( )A BC D答案 D解析 由题意可知，在三个条件下三角形均可唯一确定，通过解三角形的知识可求出AB.故选D.2.(2017广东中山上学期期末)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算出A，B两点的距离
2、为( )A50 m B50 m2 3C25 m D. m225 22答案 A解析 由题意，得B30.由正弦定理，得 ，AB 50 ABsin ACB ACsinB ACsin ACBsinB50 2212 2(m)故选A.3某人在C点测得某塔在南偏西80，塔顶仰角为45，此人沿南偏东40方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30，则塔高为( )A15米 B5米C10米 D1米答案 C解析 如图所示，设塔高为h，在RtAOC中，ACO45，则OCOAh.在RtAOD中，ADO30，则OD h，在OCD中，OCD120，CD10，由余弦定3理得OD 2OC 2CD 22OCCDcosOCD，即(
3、h)2h 210 22h10cos120，h 25h3500，解得h10或h5(舍去)4有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20，现要将倾斜角改为10，则斜坡长为( )A1千米 B2sin10 千米C2cos10 千米 Dcos20 千米答案 C解析 由题意知DCBC1，BCD160，BD 2DC 2CB 22DCCBcos160211211cos(18020)22cos204cos 210，BD2cos10.5.(2017湖南师大附中月考)如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以测量与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得BCD15，BDC30，CD30，并在点C测得塔顶A的仰角为60，则塔高
4、AB( )A5 B156 3C5 D152 6答案 D解析 在BCD中，CBD18045135.由正弦定理得 ，所以BC15 .在RtABC中，BCsin30 30sin135 2ABBCtanACB15 15 .故选D.2 3 66在200 m高的山顶上，测得山下塔顶和塔底的俯角分别为30，60，则塔高为( )A. m B. m4003 400 33C. m D. m200 33 2003答案 A解析 如图，在RtBAC中，ABC30，AB200，BC .ABcos304003 3EBD30，EBC60，DBC30，BDC120.在BDC中， .DCsin30 BCsin120DC (m)B
5、Csin30sin1204003 31232 40037(2018广东佛山二模)某沿海四个城市A，B，C，D的位置如图所示，其中ABC60，BCD135，AB80 n mile，BC(4030 ) n mile，CD250 n 3 6mile，D位于A的北偏东75方向现在有一艘轮船从城市A出发以50 n mile/h的速度向城市D直线航行，60 min后，轮船由于天气原因收到指令改向城市C直线航行，收到指令时城市C对于轮船的方位角是南偏西，则sin_3答案 6 24解析 设轮船行驶至F时收到指令，则AF50 n mile.连接AC，CF，过A作AEBC于E，则AEABsin6040(n mil
6、e)，BEABcos6040(n mile)，CEBCBE30 (n mile)，AC 50 (n 3 3 AE2 CE2 3mile)，所以cosACE ，sinACE ，所以cosACDcos(135ACE) 35 45 22 35 22 45 210 ACCD，所以CAD90.因为AF50 n mile，AC50 n 3mile，可得AFC60，所以75AFC15，故sin .6 248要测底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45，在D点测得塔顶A的仰角是30，并测得水平面上的BCD120，CD40 m，求电视塔的高度答案 40米解析 如图设电视塔AB高为x，则在Rt
7、ABC中，由ACB45，得BCx.在RtADB中，ADB30，BD x.3在BDC中，由余弦定理，得BD2BC 2CD 22BCCDcos120.即( x)2x 240 22x40cos120，3解得x40，电视塔高为40米9.衡水市某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为ABC，ABD，经测量ADBD7米，BC5米，AC8米，CD.(1)求AB的长度；(2)若环境标志的底座每平方米造价为5 000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用较低(请说明理由)？较低造价为多少？( 1.7332， 1.414)2答案
8、(1)7米(2)小李的设计建造费用低，86 600元解析 (1)在ABC中，由余弦定理，得cosC .AC2 BC2 AB22ACBC 82 52 AB2285在ABD中，由余弦定理，得cosD .72 72 AB2277由CD，得cosCcosD.4AB7，AB长为7米(2)小李的设计建造费用较低，理由如下：SABD ADBDsinD，12SABC ACBCsinC.12ADBDACBC，S ABD SABC .故选择ABC建造环境标志费用较低ADBDAB7，ABD是等边三角形，D60.S ABC 10 101.73217.32.3总造价为5 00017.3286 600(元)10(2017
9、盐城一模)如图所示，经过村庄A有两条夹角为60的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PMPNMN2(单位：千米)如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?答案 当设计AMN60时，工厂产生的噪声对居民影响最小解析 设AMN，在AMN中， .MNsin60 AMsin（ 120 ）因为MN2，所以AM sin(120)4 33在APM中，cosAMPcos(60)AP2AM 2MP 22AMMPcosAMP sin2(120)422 sin(120)cos(60)163 4 33sin2(60) sin(60)cos(60)4 1cos(2120) sin(2120163 16 33 83 8 33)4 sin(2120)cos(2120) sin(2150)，(0，120)83 3 203 203 163当且仅当2150270，即60时，AP 2取得最大值12，即AP取得最大值2 .3所以设计AMN60时，工厂产生的噪声对居民影响最小
