1、1专题研究4 圆锥曲线中的探索性问题1(2018重庆一中期中)当曲线y 与直线kxy2k40有两个不同的交点时，实数k的取值范4 x2围是( )A(0， ) B( ， 34 512 34C( ，1 D( ，)34 34答案 C解析 曲线y 表示圆x 2y 24的下半部分，直线kxy2k40过定点(2，4)4 x2由 2，解得k ，所以过点(2，4)且斜率k 的直线y x 与曲线y|2k 4|k2 1 34 34 34 52 相切，如图所示过点(2，4)与点(2，0)的直线的斜率为 1.所以4 x2 4 0 2 2曲线y 与直线kxy2k0有两个不同的交点时，实数k的取值范围是( ，1故选C.4
2、 x2342设抛物线x 22py(p0)，M为直线y2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B，记A，B，M的横坐标分别为x A，x B，x M，则( )Ax Ax B2x M Bx AxBx M2C. D以上都不对1xA 1xB 2xM答案 A解析 由x 22py得y ，所以y ，所以直线MA的方程为y2p (xx M)，直线MB的方程为y2p (xx M)x22p xp xAp xBp，所以 2p (xAx M) ， 2p (xBx M) ，由可得x Ax B2x M，故选A.xA22p xAp xB22p xBp3(2016浙江，文)设双曲线x 2 1的左、右焦点分别为F 1，
3、F 2.若点P在双曲线上，且F 1PF2为锐角三y23角形，则|PF 1|PF 2|的取值范围是_答案 (2 ，8)7解析 由题意不妨设点P在双曲线的右支上，现考虑两种极限情况：当PF 2x轴时，|PF 1|PF 2|有最大值8；当P为直角时，|PF 1|PF 2|有最小值2 .因为F 1PF2为锐角三角形，所以|PF 1|PF 2|的取值范围为(2 ，8)7 74已知圆C的半径为2，圆心在直线yx2上，E(1，1)，F(1，3)，若圆上存在点Q，使|QF| 2|QE| 232，则圆心的横坐标a的取值范围为_答案 3，1解析 2根据题意，可设圆C的方程为(xa) 2(ya2) 24，设Q(x，
4、y)，由|QF| 2|QE| 232，得到(x1) 2(y3) 2(x1) 2(y1) 232，得y3，故点Q在直线y3上，又点Q在圆(xa) 2(ya2) 24上，所以圆C与直线y3必须有公共点因为圆心的纵坐标为a2，半径为2，所以圆C与直线y3有公共点的充分条件是1a25，即3a1.所以圆心的横坐标a的取值范围是3，15(2018江西红色七校二模)已知椭圆的焦点坐标为F 1(1，0)，F 2(1，0)，过F 2垂直于长轴的直线交椭圆于P，Q两点，且|PQ|3.(1)求椭圆的方程；(2)过F 2的直线l与椭圆交于不同的两点M，N，则F 1MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大
5、值及此时直线l的方程；若不存在，请说明理由答案 (1) 1 (2)存在，最大值为x24 y23 916解析 (1)设椭圆方程为 1(ab0)，由焦点坐标可得c1，由|PQ|3，可得 3.x2a2 y2b2 2b2a又a 2b 21，解得a2，b ，3故椭圆方程为 1.x24 y23(2)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，不妨设y 10，y 20，得|k| .12设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1x 2 ，x 1x2 .16k4k2 3 44k2 3|EA|EB|，( ) 0.EA EB AB 又 (x 1x 2，k(x 1x 2)42t)， (x 2x 1，k(
6、x 2x 1)，EA EB AB (x 2x 1，k(x 2x 1)(x1x 2，k(x 1x 2)42t)0，展开化简，得(1k 2)(x1x 2)4k2kt0，将x 1x 2 代入化简，得t ，16k4k2 3 24k2 3又|k| ，t ( ，0)12 24k2 3 12综上，存在符合题意的点E，且实数t的取值范围为( ，0127(2018贵州贵阳考试)已知抛物线E：y 24x的焦点为F，准线为l，准线l与x轴的交点为P，过点P且斜率为k的直线m交抛物线于不同的两点A，B.(1)若|AF|BF|8，求线段AB的中点Q到准线的距离；(2)E上是否存在一点M，满足 ？若存在，求出直线m的斜率
7、；若不存在，请说明理由PA PB PM 答案 (1)4 (2)不存在解析 (1)由抛物线E的方程为y 24x，可得F(1，0)，准线l：x1，P(1，0)过点A作AAl，过点B作BBl，垂足分别为A，B.由抛物线的定义得|AF|AA|，|BF|BB|，4由|AF|BF|8得|AA|BB|8.过AB的中点Q作QQl，垂足为Q，故QQ是直角梯形AABB的中位线，|QQ| 4，即线段AB的中点Q到准线的距离为4.|AA | |BB |2 82(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，M(x，y)，则 (x 11，y 1)(x 21，y 2)(x 1x 22，y 1y 2)(x1，y) ，P
8、A PB PM 故 即x1 x2 2 x 1，y1 y2 y， ) x1 x2 x 1，y1 y2 y. )设直线m的方程为yk(x1)，联立 得k 2x2(2k 24)xk 20，y k（ x 1） ，y2 4x，k 0， )(2k 24) 24k 41616k 20，x 1x 2 .4 2k2k2 x1，x .4 2k2k2 4 k2k2y 1y 2k(x 1x 2)2kk 2k .4 2k2k2 4ky .M( ， )4k 4 k2k2 4k点M在抛物线上，( )24 ，4k 4 k2k2即 4，此方程无解16k2 16k2不存在满足条件的点M.8(2018吉林普通中学第一次调研)如图，
9、已知椭圆E： 1(00，所以x 1x 2 ，x 1x2 . 8k4k2 3 84k2 3从而 OA OB PA PB x 1x2y 1y2x 1x2(y 11)(y 21)(1)(1k 2)x1x2k(x 1x 2)1 8（ 1 ） （ 1 k2） 4k2 34k2 3 23.4 24k2 3所以当2时， 237，4 24k2 3即 7为定值OA OB PA PB 当直线AB的斜率不存在时，直线AB即直线CD.此时 2 347.OA OB PA PB OC OD PC PD 故存在常数2，使得 为定值7.OA OB PA PB 1已知抛物线y 22px(p0)，O是坐标原点，F是抛物线的焦点，
10、P是抛物线上一点，则使得POF是直角三角形的点P共有( )A0个 B2个C4个 D6个答案 B解析 当OFP为直角时，作出图形如图所示，过焦点F作PFx轴，交抛物线于点P，P，则OFP，OFP都是直角三角形显然POF不可能为直角若OPF90，易知F( ，0)p2，设P( ，y)，可得 ( ，y)， ( ，y)， ( )y 2 . 0， 0y22p OP y22p FP y22p p2 OP FP y22py22p p2 y44p2 3y24 y44p2 3y24， 0，cosOPF0，OPF为锐角，不可能为直角综上，使得POF是直角三角形的点P有且有OP FP 2个62(2018江苏盐城中学摸
11、底)命题p：已知椭圆 1(ab0)，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上的x2a2 y2b2一个动点，过F 2作F 1PF2外角的平分线的垂线，垂足为M，则OM的长为定值类比此命题，在双曲线中也有命题q：已知双曲线 1(a0，b0)，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，P为双曲线上的一个动点，过F 2作F 1Px2a2 y2b2F2的_的垂线，垂足为M，则OM的长为定值_答案 内角平分线 a解析 F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一个动点，过F 2作F 1PF2外角的平分线的垂线，垂足为M，点F 2关于F 1PF2的外角平分线PM的对称点Q在F 1P的延长线上，|F 1Q|PF
12、1|PF 2|2a(椭圆长轴长)，又OM是F 2F1Q的中位线，故|OM|a.不妨设点P在双曲线右支上，当过F 2作F 1PF2的内角平分线的垂线，垂足为M时，点F2关于F 1PF2的内角平分线PM的对称点Q在PF 1上，|F 1Q|PF 1|PF 2|2a，又OM是F 2F1Q的中位线，故|OM|a.3(2018海南海口三模)已知椭圆C： y 21(a1)的左、右焦点分别为F 1(c，0)，F 2(c，0)，P为椭圆Cx2a2上任意一点，且 的最小值为0.PF1 PF2 (1)求椭圆C的方程；(2 )若动直线l 1，l 2均与椭圆C相切，且l 1l 2，试探究在x轴上是否存在定点B，使得点B
13、到l 1，l 2的距离之积恒为1？若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由答案 (1) y 21 (2)略x22解析 (1)设P(x，y)，则有 (xc，y)， (xc，y)，F1P F2P x 2y 2c 2 1c 2，xa，a，PF1 PF2 （ a2 1） x2a2由 的最小值为0，得1c 20，c1，a 22，PF1 PF2 椭圆C的方程为 y 21.x22(2)当直线l 1，l 2斜率存在时，设其方程分别为ykxm，ykxn，把l 1的方程代入椭圆方程得(12k 2)x24mkx2m 220.直线l 1与椭圆C相切，16k 2m24(12k 2)(2m22)0，化简得m 212
14、k 2，同理，n 212k 2，m 2n 2.若mn，则l 1，l 2重合，不合题意，mn.设在x轴上存在点B(t，0)，点B到直线l 1，l 2的距离之积为1，则 1，即|k 2t2m 2|k 21，|kt m|k2 1 |kt m|k2 1把12k 2m 2代入并去绝对值，整理得k 2(t23)2或k 2(t21)0，前式显然不恒成立；7而要使得后式对任意的kR恒成立，则t 210，解得t1.当直线l 1，l 2斜率不存在时，其方程为x 和x ，定点(1，0)或(1，0)到直线l 1，l 2的距离之积2 2为( 1)( 1)1，2 2综上所述，满足题意的定点B为(1，0)和(1，0)4(2
15、018吉林一中二模)已知抛物线C：y 22px(p0)与直线x y40相切2(1)求该抛物线的方程；(2)在x轴的正半轴上，是否存在某个确定的点M，过该点的动直线l与抛物线C交于A，B两点，使得 1|AM|2为定值？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由1|BM|2答案 (1)y 28x (2)略解析 (1)联立方程，有 消去x，得y 22 py8p0，由直线与抛物线相切，得8p 232px 2y 4 0，y2 2px， ) 20，解得p4.所以抛物线的方程为y 28x.(2)假设存在满足条件的点M(m，0)(m0)直线l：xtym，由 得y 28ty8m0，x ty m，y2 8x
16、， )设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，有y 1y 28t，y 1y28m.|AM|2(x 1m) 2y 12(t 21)y 12，|BM|2(x 2m) 2y 22(t 21)y 22. ，1|AM|2 1|BM|2 1（ t2 1） y12 1（ t2 1） y22 1t2 1 y12 y22y12y22 1t2 1 4t2 m4m2当m4时， 为定值，所以M(4，0)1|AM|2 1|BM|25(2018浙江温州第一次考试)如图，动圆C过点F(1，0)，且与直线x1相切于点P.(1)求圆C的轨迹的方程；(2)过点F任作一直线交轨迹于A，B两点，设PA，PF，PB的斜率分别为k
17、 1，k 2，k 3，问：是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由k1 k3k2答案 (1)y 24x (2)定值为2解析 (1)由题意，圆心C到点F(1，0)的距离与到直线x1的距离相等由抛物线的定义，可知圆心C的轨迹是以F(1，0)为焦点，以直线x1为准线的抛物线，其中 1，所以pp22.故圆心C的轨迹的方程是y 24x.(2)设直线AB的方程为xmy1，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)联立方程，得 整理得y 24my40，x my 1，y2 4x， )8则y 1y 24m，y 1y24.设P(1，t)，则k 1 ，k 3 ，k 2 .y1 tx1 （ 1） y1 tmy1 2 y2 tmy2 2 t 1 1 t2k1k 3 （ y1 t） （ my2 2） （ y2 t） （ my1 2）（ my1 2） （ my2 2） 2my1y2 （ 2 tm） （ y1 y2） 4tm2y1y2 2m（ y1 y2） 4 t，则 2，故 为定值，定值为2.2m（ 4） （ 2 tm） 4m 4tm2（ 4） 2m4m 4 4t（ m2 1）4（ m2 1） k1 k3k2 t t2 k1 k3k2
