1、1第10课时 抛物线（二）1(2018广东中山第一次统测)过抛物线y 24x的焦点作直线交抛物线于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点如果x 1x 26，那么|AB|( )A6 B8C9 D10答案 B解析 |AB|AF|BF|x 1x 2p8.故选B.2若抛物线y4x 2上一点到直线y4x5的距离最短，则该点的坐标是( )A( ，1) B(0，0)12C(1，2) D(1，4)答案 A解析 设与直线y4x5平行的直线为y4xm，由平面几何的性质可知，抛物线y4x 2上到直线y4x5的距离最短的点即为直线y4xm与抛物线相切的点而对y4x 2求导得y8x，又直线y4xm的斜率为4，所
2、以8x4，得x ，此时y4( )21，即切点为( ，1)，故选A.12 12 123(2017北京东城期末)过抛物线y 22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，如果|BF|3，|BF|AF|，BFO ，那么|AF|的值为( )23A1 B.32C3 D6答案 A解析 由已知直线的斜率为k ，则方程为y (x )，联立方程 得3x 25px 0，3 3p2 y 3（ x p2） ，y2 2px， ) 3p24即(2x3p)(6xp)0.因为|BF|AF|，所以x B p，x A ，依题意x B 2p3，所以p ，则|AF|x A p1.故选A.32 p6 p2 32 p2
3、 234(2018广东汕头第三次质检)已知抛物线C：y 24x的焦点为F，与直线y2x4交于A，B两点，则cosAFB( )A. B.45 35C D35 45答案 D解析 2抛物线C：y 24x的焦点为F，点F的坐标为(1，0)又直线y2x4与C交于A，B两点，A，B两点坐标分别为(1，2)，(4，4)，则 (0，2)， (3，4)，cosAFB .故选D.FA FB FA FB |FA |FB | 810 455(2018河南四校联考)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y 22px(p0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为( )A. B.3
4、3 23C. D122答案 C解析 由题意可得F( ，0)设P( ，y 0)，当y 00时，k OM0.要求k OM的最大值，y 00. p2 y022p OM ( ) ( ， )，k OM ，OF FM OF 13FP OF 13OP OF 13OP 23OF y026p p3 y03y03y026p p3 2y0p 2py0 22 y0p2py0 22当且仅当y 022p 2，即y 0 p时取得等号故选C.26(2018广西玉林期末)从抛物线y 24x的准线l上一点P引抛物线的两条切线PA，PB，A，B为切点若直线AB的倾斜角为 ，则P点的纵坐标为( )3A. B.33 2 33C. D2
5、4 33 3答案 B解析 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(1，y)，则k AB .y1 y2x1 x2 4y1 y2直线AB的倾斜角为 ， ，y 1y 2 .3 4y1 y2 3 4 33切线PA的方程为yy 1 (xx 1)，切线PB的方程为yy 2 (xx 2)，即切线PA的方程为y x y1，切2y1 2y2 2y1 12线PB的方程为y x y2.2y2 12y 1，y 2是方程t 22yt4x0两个根，y 1y 22y .y .故选B.4 33 2 337(2018石家庄市高三检测)已知圆C 1：x 2(y2) 24，抛物线C 2：y 22px(p0)，C 1与C
6、2相交于A，B两点，且|AB| ，则抛物线C 2的方程为( )8 553Ay 2 x By 2 x85 165Cy 2 x Dy 2 x325 645答案 C解析 由题意，知直线AB必过原点，则设AB的方程为ykx(k0)，圆心C 1(0，2)到直线AB的距离d 2k2 1 ，解得k2.由 可取A(0，0)，B( ， )，把( ， )代入抛物22 （ 4 55） 2 2 55 y 2x，x2 （ y 2） 2 4， ) 85 165 85 165线方程，得( )22p ，解得p ，所以抛物线C 2的方程为y 2 x，故选C.165 85 165 3258直线l与抛物线C：y 22x交于A，B两
7、点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率k 1，k 2满足k 1k2 ，则直线l23过定点( )A(3，0) B(0，3)C(3，0) D(0，3)答案 A解析 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，因为k 1k2 ，所以 .又y 122x 1，y 222x 2，所以y 1y26.将直线l：xmy23 y1x1 y2x2 23b代入抛物线C：y 22x得y 22my2b0，所以y 1y22b6，所以b3，即直线l：xmy3，所以直线l过定点(3，0)9.(2017湖南益阳模拟)如图所示，已知直线l：yk(x1)(k0)与抛物线C：y 24x相交于A，B两点，且A，B两点在抛物线C准线上
8、的射影分别是M，N，若|AM|2|BN|，则k的值是( )A. B.13 23C. D22 23 2答案 C解析 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立方程组 消去x，得ky 24y4k0.y2 4x，y k（ x 1） ， )因为直线与抛物线相交，所以有4 24k4k16(1k 2)0.(*)y1，y 2是方程的两个根，所以有 Error!y1 y2 4k，y1y2 4.)又因为|AM|2|BN|，所以y 12y 2.4解由组成的方程组，得k .2 23把k 代入(*)式检验，不等式成立所以k ，故选C.2 23 2 2310(2017威海一模)过抛物线C：y 22px(p0)上
9、一定点P(x 0，y 0)(y00)作两条斜率均存在的直线，分别交抛物线C于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，若直线PA，PB关于直线xx 0对称，则log 2|y1y 2|log 2y0的值为( )A1 B1C D无法确定12答案 A解析 设直线PA的斜率为k PA，直线PB的斜率为k PB.由y 122px 1，y 022px 0相减得(y 1y 0)(y1y 0)2p(x 1x 0)，故kPA (x1x 0)同理可得k PB (x2x 0)若直线PA，PB关于直线xx 0对称，则PA，PB的y1 y0x1 x0 2py1 y0 2py2 y0倾斜角互补故k PAk PB，即 .
10、所以y 1y 22y 0，故 2，故log 2|y1y 2|log2py1 y0 2py2 y0 y1 y2y02y01.故选A.11(2018东城区期末)已知抛物线C 1：y x2(p0)的焦点与双曲线C 2： y 21的右焦点的连线交C 1于12p x23第一象限的点M，若C 1在点M处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p( )A. B.316 38C. D.2 33 4 33答案 D解析 由题可知，抛物线开口向上且焦点坐标为(0， )，双曲线焦点坐标为(2，0)，所以两个焦点连线的直线方程p2为y (x2)设M(x 0，y 0)，则有y x0 x0 p.因为y 0 x02，所以y 0 .
11、又M点在抛物线的p4 1p 33 33 12p p6切线上，即有 ( p2)p ，故选D.p6 p4 33 4 3312(2017浙江杭州七校模拟质量检测)抛物线y 24x的焦点为F，过点(0，3)的直线与抛物线交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点D，若|AF|BF|6，则点D的坐标为_答案 (4，0)解析 设直线AB的方程为ykx3，代入抛物线y 24x，整理得k 2x2(6k4)x90.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1x 2 ，由|AF|BF|6，得(x 1 )(x 2 )x 1x 2p6k 4k2 p2 p2 6k 4k2526，解得k2，k (舍去)，1
12、2所以线段AB的中点为(2，1)，线段AB的垂直平分线方程为y1 (x2)，令y0，得x4.故点D的坐标为12(4，0)13(2018郑州质检)设抛物线y 216x的焦点为F，经过点P(1，0)的直线l与抛物线交于A，B两点，且2 BP ，则|AF|2|BF|_PA 答案 15解析 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)P(1，0)， (1x 2，y 2)， (x 11，y 1)BP PA 2 ，2(1x 2，y 2)(x 11，y 1)，BP PA x 12x 23，2y 2y 1.将A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)代入抛物线方程y 216x，得y1216x 1，y 2216
13、x 2.又2y 2y 1，4x 2x 1.又x 12x 23，解得x 2 ，x 12.12|AF|2|BF|x 142(x 24)242( 4)15.1214等腰直角三角形AOB内接于抛物线y 22px(p0)，O为抛物线的顶点，OAOB，AOB的面积是16，抛物线的焦点为F.若M是抛物线上的动点，则 的最大值为_|OM|MF|答案 2 33解析 设等腰直角三角形OAB的顶点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 122px 1，y 222px 2.由|OA|OB|，得x 12y 12x 22y 22，x 12x 222px 12px 20，即(x 1x 2)(x1x 22p)0.x
14、 10，x 20，2p0，x 1x 2，即点A，B关于x轴对称设直线OA的方程为yx，与抛物线方程联立，解得 或x 0，y 0， ) x 2，y 2p， )|AB|4p，S OAB 2p4p4p 2.12AOB的面积为16，p2.焦点F(1，0)设M(m，n)，则n 24m，m0，设点M到准线x1的距离等于d，则 .|OM|MF| |OM|d m2 4mm 1令m1t，t1，则mt1， (当且仅当t3时，等号成立) 的最|OM|MF| 3（ 1t 13） 2 43 2 33 |OM|MF|6大值为 .2 3315(2018河北唐山一中期末)已知抛物线C：x 22py(p0)，圆O：x 2y 2
15、1.(1)若抛物线C的焦点F在圆上，且A为C和圆O的一个交点，求|AF|；(2)若直线l与抛物线C和圆O分别相交于点M，N，求|MN|的最小值及相应p的值答案 (1) 1 (2)2 5 2 3解析 (1)由题意得F(0，1)，C：x 24y.解方程组 得y A 2，|AF| 1.x2 4y，x2 y2 1， ) 5 5(2)设M(x 0，y 0)，则切线l：y (xx 0)y 0，整理得x 0xpypy 00.x0p由|ON|1得|py 0| ，x02 p2 2py0 p2p 且y 0210.2y0y02 1|MN| 2|OM| 21x 02y 0212py 0y 021 y 0214 (y
16、021)8，当且仅当y 04y02y02 1 4y02 1时等号成立3|MN|的最小值为2 ，此时p .2 316.(2018江西九江一模)已知抛物线E：y 22px(p0)的焦点为F，过点F且倾斜角为4的直线l被E截得的线段长为8.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点C是抛物线上的动点，以C为圆心的圆过点F，且圆C与直线x 相交于A，B两12点，求|FA|FB|的取值范围答案 (1)y 24x (2)|FA|FB|3，)解析 (1)由题意，直线l的方程为yx .联立 消去y整理得x 23px 0.设直线l与抛物线E的交点p2 y x p2，y2 2px， ) p24的横坐标分别为x 1，x
17、2，则x 1x 23p，故直线l被抛物线E截得的线段长为x 1x 2p4p8，得p2，抛物线E的方程为y 24x.(2)由(1)知，F(1，0)，设C(x 0，y 0)，则圆C的方程是(xx 0)2(yy 0)2(x 01) 2y 02.令x ，得y 22y 0y3x 0 0.12 34又y 024x 0，4y 0212x 03y 0230恒成立设A( ，y 3)，B( ，y 4)，则y 3y 42y 0，y 3y43x 0 .12 12 347|FA|FB| y32 94 y42 94（ y3y4） 2 94（ y32 y42） 8116（ 3x0 34） 2 944y02 2（ 3x0 3
18、4） 8116 3|x 01|.9x02 18x0 9x 00，|FA|FB|3，)1(2018南昌一模)已知抛物线y 28x的焦点为F，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)是抛物线上的两个动点，若x 1x24 |AB|，则AFB的最大值为( )2 33A. B.3 34C. D.56 23答案 D解析 因为x 1x 24 |AB|，|AF|BF|x 1x 24，所以|AF|BF| |AB|.在AFB中，由余弦定理得2 33 2 33cosAFB 1 |AF|2 |BF|2 |AB|22|AF|BF| （ |AF| |BF|） 2 2|AF|BF| |AB|22|AF|BF| 43|A
19、B|2 |AB|22|AF|BF| 13|AB|22|AF|BF|1.又|AF|BF| |AB|2 ，当且仅当|AF|BF|时等号成立，所以|AF|BF| |AB|2，所以2 33 |AF|BF| 13cosAFB 1 ，所以AFB ，即AFB的最大值为 .13|AB|2213|AB|2 12 23 232(2017辽宁五校期末联考)已知AB是抛物线y 22x的一条焦点弦，|AB|4，则AB中点C的横坐标是( )A2 B.12C. D.32 52答案 C解析 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，|AB|4，x 1 x 2 4，x 1x 23.12 12C点横坐标为 ，故选C.323(
20、2017东北三校)已知抛物线y 22px(p0)的焦点为F，点P 1(x1，y 1)，P 2(x2，y 2)，P 3(x3，y 3)在抛物线上8，且2x 2x 1x 3，则有( )A|FP 1|FP 2|FP 3| B|FP 1|2|FP 2|2|FP 3|2C2|FP 2|FP 1|FP 3| D|FP 2|2|FP 1|FP3|答案 C解析 抛物线的准线方程为x ，由定义得|FP 1|x 1 ，|FP 2|x 2 ，|FP 3|x 3 ，则|FP 1|FP 3|x 1p2 p2 p2 p2 p2x 3 x 1x 3p，2|FP 2|2x 2p，由2x 2x 1x 3，得2|FP 2|FP
21、1|FP 3|，故选C.p24(2017豫晋冀三省一调)设抛物线y 28x的焦点为F，准线为l，P是抛物线上一点，若直线PF的倾斜角为120，则|PF|等于( )A2 B.83C3 D.103答案 B解析 设P(x，y)，PAl，A为垂足，取l与x轴的交点为B.在RtABF中，AFB30，BF4，则|AB|y|43，即有8x ，可得x ，|PF|2 .163 23 23 835已知抛物线y 24x，过点P(4，0)的直线与抛物线交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点，则y 12y 22的最小值是_答案 32解析 设直线方程为xky4，与抛物线联立得y24ky160，y 1y 24k
22、，y 1y216.y 12y 22(y 1y 2)22y 1y216k 232.故最小值为32.6已知过抛物线y 24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，|AF|2，则|BF|_答案 2解析 抛物线y 24x的焦点F(1，0)，p2.由 ，即 ，|BF|2.1|AF| 1|BF| 2p 12 1|BF| 228.如图所示，斜率为1的直线过抛物线y 22px(p0)的焦点F，与抛物线交于A，B两点，M为抛物线弧AB上的动点(1)若|AB|8，求抛物线的方程；(2)求S ABM 的最大值答案 (1)y 24x (2) p22解析 9(1)由条件知l AB：yx ，与y 22px联立，消去y，得
23、x 23px p20，则x 1x 23p.由抛物线定义得|AB|p2 14x 1x 2p4p.又因为|AB|8，即p2，则抛物线的方程为y 24x.(2)方法一：由(1)知|AB|4p，且l AB：yx ，设M( ，y 0)，则M到AB的距离为d .p2 y022p |y022p y0 p2|2因为点M在直线AB的上方，所以 y 0 0，y022p p2则d |y022p y0 p2|2 y022p y0 p22 . y02 2py0 p22 2p （ y0 p） 2 2p22 2p当y 0p时，d max p.22故S ABM 的最大值为 4p p p2.12 22 2方法二：由(1)知|AB|4p，且l AB：yx ，设与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为yxm，代入p2抛物线方程，得x 22(mp)xm 20.由4(mp) 24m 20，得m .与直线AB平行且与抛物线相切的直p2线方程为yx ，两直线间的距离为d p，p2 |p2 p2|2 22故S ABM 的最大值为 4p p p2.12 22 2
