1、1第4课时 直线与圆、圆与圆的位置关系1(2018江西南昌市一模)对任意的实数k，直线ykx1与圆x 2y 22x20的位置关系是( )A相离 B相切C相交 D以上都有可能答案 C解析 圆C：x 2y 22x20，配方，得(x1) 2y 23，圆心(1，0)，直线ykx1恒过M(0，1)，而(01) 2(1) 20)与直线yk(x2)有公共点，则k的取值范围是( )A ，0) B(0， )34 34C(0， D ， 34 34 34答案 C解析 x 2y 26x0(y0)可化为(x3) 2y 29(y0)，曲线表示圆心为(3，0)，半径为3的上半圆，它与直线yk(x2)有公共点的充要条件是：圆
2、心(3，0)到直线yk(x2)的距离d3，且k0， 3，|3k 0 2k|k2 1且k0，解得00)上的动点，过点P作圆C：x 2y 22x4y40的两条切线，A，B是切点，C是圆心，若四边形PACB面积的最小值为2 ，则k的值为( )2A3 B2C. D.13 152答案 A解析 圆的标准方程为(x1) 2(y2) 21，则圆心为C(1，2)，半径为1.由题意知直线与圆相离，如图所示，S四边形PACB S PAC S PBC ，而S PAC |PA|CA| |PA|，S PBC |PB|CB| |PB|，又|PA|PB|12 12 12 12，|PC|取最小值时，S PAC S PBC 取最
3、小值，此时，CP垂直于直线，四边形PACB面积的最小值为|PC|2 12 ，S PAC S PBC ，|PA|2 ，|CP|3， 3，又k0，k3.故选A.2 2 2|k 8 10|k2 1612(1)若点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为_4(2)以C(1，3)为圆心，并且与直线3x4y60相切的圆的方程为_答案 (1)x2y50 (2)(x1) 2(y3) 29解析 (1)由题意，得k OP 2，则该圆在点P处的切线方程的斜率为 ，所以所求切线方程为y22 01 0 12(x1)，即x2y50.12(2)r 3，所求圆的方程为(x1) 2(y3) 29.|31
4、 43 6|513已知直线 xy20及直线 xy100截圆C所得的弦长均为8，则圆C的面积是_3 3答案 25解析 因为已知的两条直线平行且截圆C所得的弦长均为8，所以圆心到直线的距离d为两直线距离的一半，即d 123.又因为直线截圆C所得的弦长为8，所以圆的半径r 5，所以圆C的面积是25.|2 10|3 1 32 4214已知点P(2，2)和圆C：x 2y 21，设k 1，k 2分别是过点P的圆C两条切线的斜率，则k 1k2的值为_答案 1解析 设过点P的切线斜率为k，方程为y2k(x2)，即kxy2k20.其与圆相切则 1，化简得3k 28k30.|2k 2|k2 1所以k 1k21.1
5、5过直线xy2 0上一点P作圆x 2y 21的两条切线，若两条切线的夹角是60，则点P的坐标是_2_答案 ( ， )2 2解析 点P在直线xy2 0上，可设点P(x 0，x 02 )，且其中一个切点为M.两条切线的夹角为602 2，OPM30.故在RtOPM中，有|OP|2|OM|2.由两点间的距离公式得，|OP|2，解得x 0 .故点P的坐标是( ， )x02 （ x0 2 2） 2 2 2 216(2014大纲全国)直线l 1和l 2是圆x 2y 22的两条切线若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于_答案 43解析 利用两点间距离公式及直角三角形求AOB各边
6、，进而利用二倍角公式求夹角的正切值如图，|OA| .12 32 10半径为 ，|AB| 2 .2 |OA|2 |OB|2 10 2 25tanOAB .|OB|AB| 22 2 12所求夹角的正切值为tanCAB .2tan OAB1 tan2 OAB2121 14 4317(2017天津)设抛物线y 24x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若FAC120，则圆的方程为_答案 (x1) 2(y )213解析 由题意知该圆的半径为1，设圆心坐标为C(1，a)(a0)，则A(0，a)，又F(1，0)，所以 (1，0)， AC AF (1，a)，由题意得
7、与 的夹角为120，得cos120 ，解得a ，所以圆的方程AC AF 11 1 a2 12 3为(x1) 2(y )21.318(2018杭州学军中学月考)已知圆C：x 2y 22xa0上存在两点关于直线l：mxy10对称(1)求实数m的值；(2)若直线l与圆C交于A，B两点， 3(O为坐标原点)，求圆C的方程OA OB 答案 (1)m1 (2)x 2y 22x30解析 (1)圆C的方程为(x1) 2y 21a，圆心C(1，0)圆C上存在两点关于直线l：mxy10对称，直线l：mxy10过圆心C.m10，解得m1.(2)联立 消去y，得2x 24xa10.x2 y2 2x a 0，x y 1
8、 0， )设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，168(a1)0，a0)截直线xy0所得线段的长度是2 ，则圆M与圆N：(2x1) 2(y1) 21的位置关系是( )A内切 B相交C外切 D相离答案 B解析 圆M：x 2y 22ay0的圆心M(0，a)，半径为a，所以圆心M到直线xy0的距离为 .|a|2由直线xy0被圆M截得的弦长为2 ，知a 2 2，2a22故a2，即M(0，2)且圆M的半径为2.又圆N的圆心N(1，1)，且半径为1，根据10.8因此x 1 ，x 2 ，（ 8 2a） 56 16a 4a24 （ 8 2a） 56 16a 4a24从而x 1x 24a，x 1x2 .
9、a2 2a 12由于OAOB，可得x 1x2y 1y20，又y 1x 1a，y 2x 2a，所以2x 1x2a(x 1x 2)a 20.由，得a1，满足0，故a1.8(2015课标全国)已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x2) 2(y3) 21交于M，N两点(1)求k的取值范围；(2)若 12，其中O为坐标原点，求|MN|.OM ON 答案 (1)( ， ) (2)24 73 4 73解析 (1)由题设，可知直线l的方程为ykx1.因为直线l与圆C交于两点，所以 1.|2k 3 1|1 k2解得 k .4 73 4 73所以k的取值范围为( ， )4 73 4 73(2)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)将ykx1代入圆C的方程(x2) 2(y3) 21，整理得(1k 2)x24(1k)x70.所以x 1x 2 ，x 1x2 .4（ 1 k）1 k2 71 k2 x 1x2y 1y2OM ON (1k 2)x1x2k(x 1x 2)1 8.4k（ 1 k）1 k2由题设可得 812，解得k1，所以l的方程为yx1.4k（ 1 k）1 k2故圆C的圆心(2，3)在l上，所以|MN|2.
