1、1第5课时 椭圆（一）1若椭圆 1过点(2， )，则其焦距为( )x216 y2b2 3A2 B25 3C4 D45 3答案 D解析 椭圆过(2， )，则有 1，b 24，c 216412，c2 ，2c4 .故选D.3416 3b2 3 32已知椭圆 1(ab0)的焦点分别为F 1，F 2，b4，离心率为 .过F 1的直线交椭圆于A，B两点，则Ax2a2 y2b2 35BF2的周长为( )A10 B12C16 D20答案 D解析 如图，由椭圆的定义知ABF 2的周长为4a，又e ，即c a，ca 35 35a 2c 2 a2b 216.1625a5，ABF 2的周长为20.3已知椭圆的中心在坐
2、标原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为 ，则该椭圆方程为( )13A. 1 B. 1x2144 y2128 x236 y220C. 1 D. 1x232 y236 x236 y232答案 D解析 2a12， ，a6，c2，b 232.椭圆的方程为 1.ca 13 x236 y2324若椭圆 1的离心率为 ，则k的值为( )x29 y24 k 45A21 B21C 或21 D. 或211925 1925答案 C解析 若a 29，b 24k，则c .5 k由 ，即 ，得k ；ca 45 5 k3 45 1925若a 24k，b 29，则c .k 52由 ，即 ，解得k21.ca 45 k
3、54 k 455若椭圆x 2my 21的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的两倍则m的值为( )A. B.14 12C2 D4答案 A解析 将原方程变形为x 2 1.y21m由题意知a 2 ，b 21，a ，b1.1m 1m 2，m .1m 146如图，已知椭圆C： 1(ab0)，其中左焦点为F(2 ，0)，P为C上一点，满足|OP|OF|，且|x2a2 y2b2 5PF|4，则椭圆C的方程为( )A. 1 B. 1x225 y25 x236 y216C. 1 D. 1x236 y210 x245 y225答案 B解析 设椭圆的焦距为2c，右焦点为F 1，连接PF 1，如图所示由F(2 ，0)，得
4、c2 .5 5由|OP|OF|OF 1|，知PF 1PF.在RtPFF 1中，由勾股定理，得|PF1| 8.|F1F|2 |PF|2 （ 4 5） 2 42由椭圆定义，得|PF 1|PF|2a4812，从而a6，得a 236，于是b 2a 2c 236(2 )216，所5以椭圆C的方程为 1.x236 y2167若焦点在x轴上的椭圆 1的离心率为 ，则m等于( )x22 y2m 12A. B.332C. D.83 233答案 B解析 a 22，b 2m，c 22m.e 2 .m .c2a2 2 m2 14 328(2018郑州市高三预测)已知椭圆 1(ab0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，
5、过F 2的直线与椭圆交于Ax2a2 y2b2，B两点，若F 1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( )A. B222 3C. 2 D. 5 6 3答案 D解析 设|F 1F2|2c，|AF 1|m，若ABF 1是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|AF 1|m，|BF 1|m.由椭圆的定义可得ABF 1的周长为4a，即有4a2m m，即m(42 )a，则|AF 2|2am(22 2 2 22)a，在RtAF 1F2中，|F 1F2|2|AF 1|2|AF 2|2，即4c 24(2 )2a24( 1) 2a2，即有c 2(96 )a2 2 22，即c( )a，即e ，故
6、选D.6 3ca 6 39(2018贵州兴义第八中学第四次月考)设斜率为 的直线l与椭圆 1(ab0)交于不同的两点，且22 x2a2 y2b2这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为( )A. B.33 12C. D.22 13答案 C解析 由题意知，直线l与椭圆 1(ab0)两个交点的横坐标是c，c，所以两个交点分别为(c，x2a2 y2b2c)，(c， c)，代入椭圆得 1，两边同乘2a 2b2，则c 2(2b2a 2)2a 2b2.因为b 2a 2c 2，所以c 222 22 c2a2 c22b2(3a22c 2)2a 42a 2c2，所以 2或 .又因为0b0
7、)的离心率为 ，四个顶点构成的四边形的x2a2 y2b2 32面积为4，过原点的直线l(斜率不为零)与椭圆C交于A，B两点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，则四边形AF 1BF2的周长为( )A4 B4 3C8 D8 3答案 C解析 由 解得 周长为4a8.ca 32，2ab 4，c2 a2 b2， ) a 2，b 1.)411(2018黑龙江大庆一模)已知直线l：ykx与椭圆C： 1(ab0)交于A，B两点，其中右焦点F的x2a2 y2b2坐标为(c，0) ，且AF与BF垂直，则椭圆C的离心率的取值范围为( )A ，1) B(0， 22 22C( ，1) D(0， )22 22答案 C
8、解析 由AF与BF垂直，运用直角三角形斜边的中线即为斜边的一半，可得|OA|OF|c，由|OA|b，即cb，可得c2b2a 2c 2，即c 2 a2，可得 b0)x2a2 y2b2e ， .根据ABF 2的周长为16得4a16，因此a4，b2 ，所以椭圆方程为 1.22 ca 22 2 x216 y2813(2018上海市十三校联考)若椭圆的方程为 1，且此椭圆的焦距为4，则实数a_x210 a y2a 2答案 4或8解析 当焦点在x轴上时，10a(a2)2 2，解得a4.当焦点在y轴上时，a2(10a)2 2，解得a8.14(2018山西协作体联考)若椭圆C： 1(ab0)的左、右焦点与短轴
9、的两个顶点组成一个面积为1x2a2 y2b2的正方形，则椭圆C的内接正方形的面积为_答案 43解析 由已知得，a1，bc ，所以椭圆C的方程为x 2 1，设A(x 0，y 0)是椭圆C的内接正方形位于第一象22 y212限内的顶点，则x 0y 0，所以1x 022y 023x 02，解得x 02 ，所以椭圆C的内接正方形的面积S(2x 0)24x 0132 .43515已知F 1、F 2为椭圆 1(ab0)的左、右焦点，M为椭圆上一点，MF 1垂直于x轴，且F 1MF260，x2a2 y2b2则椭圆的离心率为_答案 33解析 方法一：|F 1F2|2c，MF 1x轴，|MF 1| c，|MF
10、2| c.2 33 4 332a|MF 1|MF 2|2 c.e .32c2a 33方法二：由F 1(c，0)，将xc代入 1，x2a2 y2b2得y ， ， .b2a |F1F2|MF1| 3 2cb2a 3b 2a 2c 2， ，即 .2aca2 c2 3 2e1 e2 3解得e (舍)，e .33316(2018上海虹口一模)一个底面半径为2的圆柱被与底面所成角是60的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于_答案 4 3解析 底面半径为2的圆柱被与底面成60的平面所截，其截面是一个椭圆，这个椭圆的短半轴长为2，长半轴长为 4.a 2b 2c 2，c 2 ，椭圆的焦距为4 .2cos
11、60 42 22 3 317(2017浙江金丽衢十二校联考)已知F 1，F 2分别是椭圆C： 1(ab0)的左、右焦点，若椭圆C上x2a2 y2b2存在点P，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C的离心率的取值范围是_答案 ，1)13解析 设P(x，y)，则|PF 2|aex，若椭圆C上存在点P，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则|PF 2|F 1F2|，aex2c，x .axa， a， ， eb0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的x2a2 y2b2上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B.(1)若F 1AB90，求椭圆的离心率；6(2)若椭圆的焦距为2
12、，且 2 ，求椭圆的方程AF2 F2B 答案 (1) (2) 122 x23 y22解析 (1)若F 1AB90，则AOF 2为等腰直角三角形所以有|OA|OF 2|，即bc.所以a c，e .2ca 22(2)由题知A(0，b)，F 2(1，0)，设B(x，y)，由 2 ，解得x ，y .AF2 F2B 32 b2代入 1，得 1.x2a2 y2b2 94a2 b24b2即 1，解得a 23.94a2 14所以椭圆方程为 1.x23 y2219(2014课标全国)设F 1，F 2分别是椭圆C： 1(ab0)的左、右焦点，M是C上一点且MF 2与x轴垂x2a2 y2b2直，直线MF 1与C的另
13、一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为 ，求C的离心率；34(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|5|F 1N|，求a，b.答案 (1) (2)a7，b212 7解析 (1)根据c 及题设知M ， ，2b 23ac.a2 b2 (c，b2a) b2a2c 34将b 2a 2c 2代入2b 23ac，解得 ， 2(舍去)故C的离心率为 .ca 12 ca 12(2)由题意，原点O为F 1F2的中点，MF 2y轴，所以直线MF 1与y轴的交点D(0，2)是线段MF 1的中点故 4，b2a即b 24a.由|MN|5|F 1N|，得|DF 1|2|F 1N|.设N(x 1，y 1)，由题意知y
14、 12，故0b0)，且c ，离心率e ，a 2b 2c 2，得a2，b1y2a2 x2b2 3 32 ca，椭圆的标准方程为 x 21.设|PF 1|m，|PF 2|n，则mn4， ，mncosF 1PF2y24 PF1 PF2 23 23，又(2c) 2(2 )2m 2n 22mncosF 1PF2，124 22mn2 ，解得mn . cosF 1PF2 ，cos323 43 43 23F 1PF2 ，F 1PF2 ，故选D.12 33已知A(3，0)，B(2，1)是椭圆 1内的点，M是椭圆上的一动点，则|MA|MB|的最大值与最小值x225 y216之和为( )A20 B12C22 D24
15、答案 A解析 易知A为椭圆的右焦点，设左焦点为F 1，由题知|MF 1|MA|10，因此，|MA|MB|10|MB|MF 1|.|MA|MB|10|BF 1|，|MA|MB|10|BF 1|.|MA|MB|的最大值与最小值之和为20.选A.4(2018人大附中模拟)椭圆 1(ab0)的两焦点为F 1、F 2，以F 1F2为边作正三角形若椭圆恰好平x2a2 y2b2分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为( )8A. B.12 32C42 D. 13 3答案 D5已知中心在原点，长轴在x轴上，一焦点与短轴两端点连线互相垂直，焦点与长轴上较近顶点的距离为4(1)，则此椭圆方程是_2答案 1x232
16、y216解析 由题意，得 解得a c 4（ 2 1） ，b c，a2 b2 c2， ) a 4 2，b 4， )所以椭圆方程为 1.x232 y2166若点O和点F分别为椭圆 y 21的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则|OP| 2|PF| 2的最小值为_x22_答案 2解析 由题意可知，O(0，0)，F(1，0)，设P( cos，sin)，则|OP| 2|PF| 22cos 2sin 2( cos2 21)2sin 22cos 22 cos32(cos )22，所以当cos 时，|OP| 2|PF| 2取得最小值222 222.7设F 1，F 2分别是椭圆 1的左、右焦点，P为椭圆上一
17、点，M是F 1P的中点，|OM|3，则P点到椭圆左x225 y216焦点的距离为_答案 4解析 连接PF 2，则OM为PF 1F2的中位线，|OM|3，|PF 2|6.|PF 1|2a|PF 2|1064.8设点P为椭圆C： 1(a2)上一点，F 1，F 2分别为C的左、右焦点，且F 1PF260，则PF 1F2的面x2a2 y24积为_答案 4 33解析 由题意知，c .又F 1PF260，|F 1P|PF 2|2a，|F 1F2|2 ，|F 1F2|2(|F 1P|PF 2|a2 4 a2 4)22|F 1P|PF2|2|F 1P|PF2|cos604a 23|F 1P|PF2|4a 21
18、6，|F 1P|PF2| ，SPF 1F2163 |F1P|PF2|sin60 .12 12 163 32 4 33另解：S b 2tan 4 .2 33 4 3399已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为 ，且它的长轴长等于圆C：x 2y 22x150的半径，则椭圆的标准12方程是( )A. 1 B. 1x24 y23 x216 y212C. y 21 D. 1x24 x216 y24答案 A解析 圆C的方程可化为(x1) 2y 216.知其半径r4，长轴长2a4，a2.又e ，c1，b 2a 2c 2413.ca 12椭圆的标准方程为 1.x24 y2310(2013辽宁)已知椭圆C： 1(ab
19、0)的左焦点F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BFx2a2 y2b2.若|AB|10，|AF|6，cosABF ，则C的离心率e_45答案 57解析 如图所示根据余弦定理|AF| 2|BF| 2|AB| 22|AB|BF|cosABF，即|BF| 216|BF|640，得|BF|8.又|OF| 2|BF| 2|OB| 22|OB|BF|cosABF，得|OF|5.根据椭圆的对称性|AF|BF|2a14，得a7.又|OF|c5，故离心率e .5711已知P是椭圆 1上的一点，求点P到点M(m，0)(m0)的距离的最小值x24 y22答案 0m1时，|PM| min m1时，|PM| min|m2|2 m2解析 设P(x，y)，则x，y满足 1，x24 y22y 22 ，2x2，x22|PM| （ x m） 2 y2（ x m） 2 2 x22 .x22 2mx m2 2 12（ x 2m） 2 2 m210若02m2，即0m1时，x2m时，函数 (x2m) 22m 2取最小值2m 2，此时|PM|的最小值为12 2 m2.若2m2，即m1时，二次函数 (x2m) 2m 22在2，2上单调递减，12当x2时，函数 (x2m) 22m 2取最小值(m2) 2.12此时|PM|的最小值为|m2|.
