1、1第6课时 椭圆（二）1已知椭圆E： 1(ab0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点为M(1，1x2a2 y2b2)，则E的方程为( )A. 1 B. 1x245 y236 x236 y227C. 1 D. 1x227 y218 x218 y29答案 D解析 kAB ，k OM1，由k ABkOM ，得 ，a 22b 2.c3，a 218，b 29，椭圆E的方程为0 13 1 12 b2a2 b2a2 12 1.x218 y292(2018南昌二模)已知椭圆： x 21，过点P( ， )的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分y29 12 12，则直线A
2、B的方程为( )A9xy40 B9xy50C2xy20 Dxy50答案 B解析 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，因为A，B在椭圆 x 21上，所以 两式相减得 x 12x 22y29 y129 x12 1，y229 x22 1， ) y12 y2290，得 (x 1x 2)(x1x 2)0，又弦AB被点P( ， )平分，所以x 1x 21，y 1y 21（ y1 y2） （ y1 y2）9 12 12，将其代入上式得 x 1x 20，得 9，即直线AB的斜率为9，所以直线AB的方程为y y1 y29 y1 y2x1 x2 129(x )，即9xy50.123椭圆 1上的点到直线x
3、2y 0的最大距离是( )x216 y24 2A3 B. 11C2 D.2 10答案 D解析 设椭圆 1上的点P(4cos，2sin)，则点P到直线x2y 0的距离为dx216 y24 2 ，d max .|4cos 4sin 2|5 |4 2sin（ 4） 2|5 | 4 2 2|5 1024(2018广东梅州阶段测评)已知椭圆E： 1的一个顶点C(0，2)，直线l与椭圆E交于A，B两点，x25 y24若E的左焦点F 1为ABC的重心，则直线l的方程为( )A6x5y140 B6x5y140C6x5y140 D6x5y140答案 B解析 由题意知F 1(1，0)，设A(x 1，y 1)，B(
4、x 2，y 2)，则 x1 x2 0 3，y1 y2 2 0， ) x1 x2 3，y1 y2 2. )设M为AB的中点，则M( ，1)32由 作差得 0，x125 y124 1，x225 y224 1， ) （ x1 x2） （ x1 x2）5 （ y1 y2） （ y1 y2）4将代入上式得 .y1 y2x1 x2 65即k ，由点斜式得，直线方程为y1 (x )，即6x5y140.65 65 325(2018广西南宁、梧州摸底联考)已知椭圆 1(ab0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且与x轴垂x2a2 y2b2直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF 2与椭圆的另一个交点为C，若
5、S ABC 3SBCF 2，则椭圆的离心率为( )A. B.55 33C. D.105 3 310答案 A解析 设椭圆的左、右焦点分别为F 1(c，0)，F 2(c，0)，将xc代入椭圆方程得y .设A(c， )，C(x，b2a b2ay)，由S ABC 3SBCF 2，可得 2 ，即有(2c， )2(xc，y)，即2c2x2c， 2y，可得xAF2 F2C b2a b2a2c，y ，代入椭圆方程可得 1.由e ，b 2a 2c 2，得4e 2 e21，解得e ，故b22a 4c2a2 b24a2 ca 14 14 55选A.6已知椭圆C： 1(ab0)的离心率为 ，过右焦点F且斜率为k(k0
6、)的直线与C相交于A，B两点若x2a2 y2b2 32向量 3 ，则k( )AF FB A1 B. 2C. D233答案 B解析 设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)因为 3 ，故y 13y 2.因为e ，设a2t，c t，bt，故x 24y 2AF FB 32 34t 20，直线AB的方程为xsy t.代入消去x，所以(s 24)y 22 styt 20，所以y 1y 23 3，y 1y2 ，2y 2 ，3y 22 ，解得s 2 ，又k ，则k .故选B.2 3sts2 4 t2s2 4 2 3sts2 4 t2s2 4 12 1s 27已知直线l：yk(x2 )与椭圆x 29y
7、29交于A，B两点，若|AB|2，则k_2答案 33解析 椭圆x 29y 29即椭圆 y 21，所以椭圆的焦点坐标为(2 ，0)因为直线yk(x2 )，所以直线x29 2 2过椭圆的左焦点F(2 ，0)，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，将直线yk(x2 )代入椭圆x 29y 29，可得(12 29k 2)x236 k2x72k 290，所以x 1x 2 ，x 1x2 ，所以|AB| 236 2k21 9k2 72k2 91 9k2 1 k2 ，因为|AB|2，所以 2，所以k .（ x1 x2） 2 4x1x26（ 1 k2）1 9k2 6（ 1 k2）1 9k2 338直线m与
8、椭圆 y 21交于P 1，P 2两点，线段P 1P2的中点为P，设直线m的斜率为k 1(k10)，直线OP的斜率x22为k 2，则k 1k2的值为_答案 12解析 由点差法可求出k 1 ，12 x中y中k 1 ，即k 1k2 .y中x中 12 129(2018河北唐山期末)设F 1，F 2为椭圆C： 1(ab0)的左、右焦点，经过F 1的直线交椭圆C于A，Bx2a2 y2b2两点，若F 2AB是面积为4 的等边三角形，则椭圆C的方程为_3答案 1x29 y26解析 由F 2AB是面积为4 的等边三角形知AB垂直x轴，得 2c， 2c 4 ，a 2b 2c 2，解得a 23b2a 33 12 2
9、b2a 39，b 26，c 23.所以的椭圆方程为 1.x29 y2610椭圆： 1(ab0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c.若直线y (xc)与椭圆的一个x2a2 y2b2 3交点M满足MF 1F22MF 2F1，则该椭圆的离心率等于_答案 134解析 由直线y (xc)知其倾斜角为60，3由题意知MF 1F260，则MF 2F130，F 1MF290.故|MF 1|c，|MF 2| c.3又|MF 1|MF 2|2a，( 1)c2a.3即e 1.23 1 311已知椭圆 1(00.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB的中点为N(x 0，y 0)，则x 1x 2
10、，y 1y 24k22k2 1 ，AB的垂直平分线NG的方程为yy 0 (xx 0)令y0，得x Gx 0ky 0 2k2k2 1 1k 2k22k2 1 k22k2 1 .k0， b0)相交于A，B两点，且OAOB(O为x2a2 y2b2坐标原点)，若椭圆的离心率e ， ，则a的最大值为_12 32答案 102解析 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由 得(a 2b 2)x22a 2xa 2a 2b20，y x 1，x2a2 y2b2 1， )4a 44(a 2b 2)(a2a 2b2)0，可得a 2b 21且 x1 x2 2a2a2 b2，x1x2 a2 a2b2a2 b2，
11、)5OAOB， x 1x2y 1y20，即2x 1x2(x 1x 2)10，OA OB 10，整理得a 2b 22a 2b2，a 2a 2c 22a 2(a2c 2)，2（ a2 a2b2）a2 b2 2a2a2 b22a2a 2e22a 2(a2a 2e2)，2a 2 1 ，2 e21 e2 11 e2e ， ，2a 2 ，5，即a max .12 32 73 52 10214已知椭圆C： 1，过椭圆C上一点P(1， )作倾斜角互补的两条直线PA，PB，分别交椭圆C于A，Bx22 y24 2两点，求直线AB的斜率答案 2解析 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，同时设PA的方程为y
12、 k(x1)，代入椭圆方程化简得(k 22)x 22k(k )x2 2k 22 k20，显然1和x 1是这个方程的两解因此x 1 ，y 1 ，由k2k2 2 2k 2k2 2 2k2 4k 2 2k2 2代替x 1，y 1中的k，得x 2 ，y 2 ，所以 .k2 2 2k 2k2 2 2k2 4k 2 2k2 2 y2 y1x2 x1 215设F 1，F 2分别是椭圆E：x 2 1(0b1)的左、右焦点，过F 1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF 2|，y2b2|AB|，|BF 2|成等差数列(1)求|AB|；(2)若直线l的斜率为1，求实数b的值答案 (1) (2)43 22解析 (1
13、)由椭圆定义知|AF 2|AB|BF 2|4，又2|AB|AF 2|BF 2|，得|AB| .43(2)l的方程为yxc，其中c .1 b2设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则A，B两点坐标满足方程组 y x c，x2 y2b2 1.)化简，得(1b 2)x22cx12b 20.则x 1x 2 ，x 1x2 . 2c1 b2 1 2b21 b2因为直线AB的斜率为1，所以|AB| |x2x 1|.2即 |x2x 1|.43 2则 (x 1x 2)24x 1x2 ，解得b .89 4（ 1 b2）（ 1 b2） 2 4（ 1 2b2）1 b2 8b4（ 1 b2） 2 2216(20
14、18广东六校联盟二联)已知椭圆 1(ab0)的左、右焦点分别为F 1(3，0)，F 2(3，0)，直x2a2 y2b26线ykx与椭圆交于A，B两点(1)若AF 1F2的周长为4 6，求椭圆的标准方程；3(2)若|k| ，且以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，求椭圆离心率e的取值范围24答案 (1) 1 (2) ，所以120，即 b0)的顶点B(0，b)引一条弦BP，当a b时，|BP|的最大值为( )2A. B.b2a2 b2 a2a2 b2C. D.a2a2 b2 b2a2 b2答案 B解析 设P(x，y)，因为x 2a 2 y2(bb0)，则椭圆在其上一点A(x 0，y 0)处的切线方程x2
15、a2 y2b2为 1.试运用该性质解决以下问题，椭圆C 1： 1(ab0)，其焦距为2，且过点(1， )，点x0xa2 y0yb2 x2a2 y2b2 22B为C 1在第一象限中的任意一点，过B作C 1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，则OCD面积的最小值为( )A. B.22 2C. D23答案 B解析 由题意可得2c2，即c1，a 2b 21，将点(1， )代入椭圆方程，可得 1，解得a ，b122 1a2 12b2 2，即椭圆的方程为 y 21，设B(x 2，y 2)，则椭圆C 1在点B处的切线方程为 xy 2y1，令x0，得y Dx22 x22 1y2，令y0，可得x
16、 C ，所以S OCD ，又点B为椭圆在第一象限上的点，所以x 20，y 20，2x2 12 1y2 2x2 1x2y2y 221，即有 2 ，即S OCD ，当且仅当 y 22 ，即x222 1x2y2 x222 y22x2y2 x22y2 y2x2 x22y2y2x2 2 2 x222 12点B的坐标为(1， )时，OCD面积取得最小值 ，故选B.22 24已知椭圆C： 1(ab0)的一个顶点A(2，0)，离心率为 ，直线yk(x1)与椭圆C交于不同的两x2a2 y2b2 22点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当AMN的面积为 时，求实数k的值1039答案 (1) 1 (2)k1x24
17、 y22解析 (1)a2，e ，c ，b .ca 22 2 2椭圆C： 1.x24 y22(2)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则由 消y，得(12k 2)x24k 2x2k 240.y k（ x 1） ，x24 y22 1， )直线yk(x1)恒过椭圆内一点(1，0)，0恒成立由根与系数的关系，得x 1x 2 ，x 1x2 .4k21 2k2 2k2 41 2k2SAMN 1|y1y 2| |kx1kx 2|12 12 .|k|2 （ x1 x2） 2 4x1x2 |k|2 16 24k21 2k2 103即7k 42k 250，解得k1.5(2018河北保定期末)已知椭圆C：
18、 1(ab0)的右焦点为(1，0)，离心率为 .x2a2 y2b2 12(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点P(0，3)的直线m与C交于A，B两点，若A是PB的中点，求直线m的方程答案 (1) 1 (2)y x3或y x3x24 y23 32 32解析 (1)椭圆C： 1(ab0)的焦点在x轴上，右焦点为(1，0)，则c1，x2a2 y2b2由椭圆的离心率e ，得b 2a 2c 23，ca 12椭圆C的标准方程为 1.x24 y23(2)若直线m的斜率不存在，可得点A的坐标为(0， )，点B的坐标为(0， )，显然不满足条件，故此时3 3方程不存在若直线m的斜率存在，设其方程为ykx3，A(x
19、 1，y 1)，B(x 2，y 2)，A是PB的中点，x 1 ，x22y1 ，y2 32 1，x124 y123 1，x224 y22310联立，解得 或 即x2 2，y2 0) x2 2，y2 0， )点B的坐标为(2，0)或(2，0)，直线m的斜率为 或 ，则32 32直线m的方程为y x3或y x3.32 326已知椭圆的中心在坐标原点，一个焦点是F 1(0，1)，离心率为 .33(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 1作直线交椭圆于A，B两点，F 2是椭圆的另一个焦点，求SABF 2的取值范围答案 (1) 1 (2)(0， x22 y23 4 33解析 (1)由条件可设椭圆方程为 1(a
20、b0)，则有c1，e ，b ，x2b2 y2a2 33 a2 c2 2所求椭圆的方程是 1.x22 y23(2)由条件设直线AB的方程为y1kx.将ykx1代入椭圆方程，得(2k 23)x 24kx40.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，16k 216(2k 23)48(k 21)0，x1x 2 ，x 1x2 .4k2k2 3 42k2 3SABF 2 |F1F2|x1x 2|x 1x 2|.12(x1x 2)2(x 1x 2)24x 1x2 .16k2（ 2k2 3） 2 162k2 3 48（ k2 1）（ 2k2 3） 2令tk 21，则t1，设g(t) 4t 4.（ 2t
21、1） 2t 1tg(t)4 ，1t2 4t2 1t2当t1时，g(t)0，g(t)在1，)上单调递增，g(t)g(1)9，0b0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，x2a2 y2b2且离心率是 ，过坐标原点O的任一直线交椭圆C于M，N两点，且|NF 2|MF 2|4.12(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：ykxm与椭圆C交于不同的两点A，B，且与圆x 2y 21相切11()求证：m 2k 21；()求 的最小值OA OB 答案 (1) 1 (2)()略 ()x24 y23 53解析 (1)设M(x，y)是椭圆上任一点，则N(x，y)，|NF 2|MF 2|4， （ x c） 2 y24
22、，即 4，（ x c） 2 （ y） 2 （ x c） 2 y2 （ x c） 2 y2M(x，y)到点(c，0)，(c，0)的距离和为4，2a4，a2.又椭圆C的离心率是 ，c1，b ，12 3椭圆C的标准方程是 1.x24 y23(2)()证明：直线l：ykxm与圆x 2y 21相切，圆心(0，0)到直线l的距离等于半径1，即|m|1 k21m 2k 21.()设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由 得y kx m，3x2 4y2 12 0， )(34k 2)x28kmx4m 2120，x1x 2 ，x 1x2 ，y 1y2(kx 1m)(kx 2m)k 2x1x2km(x 1x 2)m 2 . 8km3 4k2 4m2 123 4k2 3m2 12k23 4k2 x 1x2y 1y2 .OA OB 4m2 123 4k2 3m2 12k23 4k2 7m2 12（ k2 1）3 4k2m 2k 21， x 1x2y 1y2 ( )OA OB 5（ k2 1）3 4k254（ 4k2 3） 544k2 3 54544k2 3当k 20时， 有最小值 .OA OB 53
