1、1第7课时 双曲线（一）1双曲线 1(00)的离心率为2，则a( )x2a2 y23A2 B.62C. D152答案 D解析 因为双曲线的方程为 1，所以e 21 4，因此a 21，a1.选D.x2a2 y23 3a24(2017北京西城期末)mn0和m0，n0时，方程 1表示焦点在y轴上的双曲线；当m0，n0，n0，b0)上一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦x2a2 y2b2点，已知PF 1PF 2，且|PF 1|2|PF 2|，则双曲线的一条渐近线方程是( )Ay x By x2 3Cy2x Dy4x答案 C解析 由双曲线的定义可得|PF 1|PF 2|2a，又|PF 1|2|PF
2、 2|，得|PF 2|2a，|PF 1|4a.在RtPF 1F2中，|F 1F2|2|PF 1|2|PF 2|2，4c 216a 24a 2，即c 25a 2，则b 24a 2，即b2a，则双曲线 1的一条渐近线方x2a2 y2b2程为y2x.故选C.7(2018安徽屯溪一中模拟)已知双曲线的离心率为 ，且其顶点到其渐近线的距离为 ，则双曲线的72 2 217方程为( )A. 1 B. 1x23 y24 x24 y23C. 1或 1 D. 1或 1x23 y24 y23 x24 x24 y23 y24 x23答案 D解析 当焦点在x轴上时，设双曲线方程为 1(a0，b0)双曲线的离心率为e x
3、2a2 y2b2 ca a2 b2a2 ，1 b2a2 72 ，渐近线方程为y x x.ba 32 ba 32由题意，顶点到渐近线的距离为 ，解得a2，| 32a|34 1 2 217b ，双曲线的方程为 1.3x24 y23当焦点在y轴上时，设双曲线方程为 1(a0，b0)双曲线的离心率为e ，y2a2 x2b2 ca 1 b2a2 72 ，渐近线方程为y x x，由题意可知：顶点到渐近线的距离为 ，解得a2ba 32 ab 2 33 |a|43 1 2 217，b ，33双曲线的方程为 1.y24 x23综上可知，双曲线的方程为 1或 1.故选D.x24 y23 y24 x238已知点F
4、1，F 2分别是双曲线 1(a0，b0)的左、右焦点，过点F 1且垂直于x轴的直线与双曲线交于Ax2a2 y2b2，B两点，若ABF 2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是( )A(1， ) B( ，2 )3 3 2C(1 ，) D(1，1 )2 2答案 D解析 依题意，00，n0)的离心率为2，则椭圆mx 2ny 21的离心率为( )A. B.12 63C. D.33 2 33答案 B解析 由已知双曲线的离心率为2，得 2.1m 1n1m解得m3n.又m0，n0，mn，即 .1n1m故由椭圆mx 2ny 21，得 1.y21nx21m所求椭圆的离心率为e .1n 1m1n1n 13n1
5、n 6310已知双曲线的方程为 1(a0，b0)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为 c(c为双曲线的x2a2 y2b2 53半焦距长)，则双曲线的离心率为( )A. B.52 32C. D.3 55 234答案 B解析 双曲线 1的渐近线为 0，焦点A(c，0)到直线bxay0的距离为 c，则c 2a 2x2a2 y2b2 xa yb bca2 b2 53 59c2，得e 2 ，e ，故选B.94 3211(2018成都市高三二诊)设双曲线C： 1(a0，b0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F2为直径的x2a2 y2b2圆与双曲线左支的一个交点为P.若以OF 1(O为坐标原点)
6、为直径的圆与PF 2相切，则双曲线C的离心率为( )A. B.2 3 6 24C. D.33 6 27答案 D解析 如图，在圆O中，F 1F2为直径，P是圆O上一点，所以PF 1PF 2，设以OF 1为直径的圆的圆心为M，且圆M与直线PF 2相切于点Q，则M( ，0)，MQPF 2，所以PF 1MQ，所以 c2 |MQ|PF1|，即 ，可得|PF 1| ，所以|PF 2| 2a，又|PF 1|2|PF 2|2|F 1F2|2，所以 ( 2a|MF2|F1F2| c2|PF1| 3c22c 2c3 2c3 4c29 2c3)24c 2，即7e 26e90，解得e ，e (舍去)故选D.3 6 2
7、7 3 6 2712(2018贵阳市高三检测)双曲线 1(a0，b0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四x2a2 y2b2个区域(不含边界)，若点(2，1)在“右”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是( )A(1， ) B( ，)52 52C(1， ) D( ，)54 54答案 B解析 依题意，注意到题中的双曲线 1的渐近线方程为y x，且“右”区域是不等式组x2a2 y2b2 ba所确定，又点(2，1)在“右”区域内，于是有1 ，因此题中的双曲线的离心率ey bax) 2ba ba12( ，)，选B.1 （ ba） 2 5213已知曲线方程 1，若方程表示双曲线，则的取值范围是_x
8、2 2 y2 1答案 15解析 方程 1表示双曲线，(2)(1)0，解得1.x2 2 y2 114(2016北京)已知双曲线 1(a0，b0)的一条渐近线为2xy0，一个焦点为( ，0)，则a_x2a2 y2b2 5_；b_答案 1 2解析 由题意知，渐近线方程为y2x，由双曲线的标准方程以及性质可知 2，由c ，c 2a 2b 2，可得bba 52，a1.15(2015课标全国，文)已知双曲线过点(4， )，且渐近线方程为y x，则该双曲线的标准方程为312_答案 y 21x24解析 方法一：因为双曲线过点(4， )，且渐近线方程为y x，故点(4， )在直线y x的下方设该双曲312 3
9、12线的标准方程为 1(a0，b0)，所以 解得 故双曲线方程为 y 21.x2a2 y2b2 42a2 （ 3） 2b2 1，ba 12， ) a 2，b 1， ) x24方法二：因为双曲线的渐近线方程为y x，故可设双曲线为 y 2(0)，又双曲线过点(4， )，12 x24 3所以 ( )2，所以1，故双曲线方程为 y 21.424 3 x2416(2018湖南长沙模拟)P是双曲线C： y 21右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线，P在l上的射x22影为Q，F 1是双曲线C的左焦点，则|PF 1|PQ|的最小值为_答案 2 12解析 设右焦点为F 2，|PF 1|PF 2|2 ，2|
10、PF 1|PF 2|2 ，|PF 1|PQ|PF 2|2 |PQ|.当且仅当Q，P，F 2三点共线，且P在F 2，Q之间时2 2，|PF 2|PQ|最小，且最小值为F 2到l的距离由题意得l的方程为y x，F 2( ，0)，F 2到l的距离d1，|PQ|PF 1|的最小值为2 1.12 3 217.如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，F 1，F 2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P，F 1PF2 ，且PF 1F2的面积为2 ，又双曲线的离心率为2，求该双曲线3 3的方程答案 13x22 y226解析 设双曲线的方程为 1，x2a2 y2b2F 1(c，0)，F 2(c，0)，
11、P(x 0，y 0)在PF 1F2中，由余弦定理，得|F 1F2|2|PF 1|2|PF 2|22|PF 1|PF2|cos3(|PF 1|PF 2|)2|PF 1|PF2|.即4c 24a 2|PF 1|PF2|.又SPF 1F22 ，3 |PF1|PF2|sin 2 .12 3 3|PF 1|PF2|8.4c 24a 28，即b 22.又e 2，a 2 .ca 23所求双曲线方程为 1.3x22 y2218(2018上海崇明一模)已知点F 1，F 2为双曲线C：x 2 1的左、右焦点，过F 2作垂直于x轴的直线，在xy2b2轴上方交双曲线C于点M，MF 1F230.(1)求双曲线C的方程；
12、(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P 1，P 2，求 的值PP1 PP2 答案 (1)x 2 1 (2)y22 29解析 (1)设F 2，M的坐标分别为( ，0)，( ，y 0)(y00)，1 b2 1 b2因为点M在双曲线C上，所以1b 2 1，则y 0b 2，y02b2所以|MF 2|b 2.在RtMF 2F1中，MF 1F230，|MF 2|b 2，所以|MF 1|2b 2.由双曲线的定义可知：|MF 1|MF 2|b 22，故双曲线C的方程为x 2 1.y22(2)由条件可知：两条渐近线分别为l 1： xy0，l 2： xy0.2 2设双曲线C上的点P(
13、x 0，y 0)两条渐近线的夹角为，由题意知cos .则点P到两条渐近线的距离分别为|PP 113| ，|PP 2| .| 2x0 y0|3 | 2x0 y0|3因为P(x 0，y 0)在双曲线C：x 2 1上，所以2x 02y 022.y22所以 cos .PP1 PP2 | 2x0 y0|3 | 2x0 y0|3 |2x02 y02|3 13 2971(2015广东，理)已知双曲线C： 1的离心率e ，且其右焦点为F 2(5，0)，则双曲线C的方程为( x2a2 y2b2 54)A. 1 B. 1x24 y23 x29 y216C. 1 D. 1x216 y29 x23 y24答案 C解析
14、 因为双曲线C的右焦点为F 2(5，0)，所以c5.因为离心率e ，所以a4.ca 54又a 2b 2c 2，所以b 29.故双曲线C的方程为 1.x216 y292若双曲线 1的离心率为 ，则其渐近线方程为( )x2a2 y2b2 3Ay2x By x2Cy x Dy x12 22答案 B解析 由离心率为 ，可知c a，b a.渐近线方程为y x x，故选B.3 3 2ba 23(2015天津，文)已知双曲线 1(a0，b0)的一个焦点为F(2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x2)x2a2 y2b22y 23相切，则双曲线的方程为( )A. 1 B. 1x29 y213 x213 y29C.
15、y 21 Dx 2 1x23 y23答案 D解析 双曲线的一条渐近线方程为y x，即bxay0.ba由题意，得 解得a 21，b 23，c2 a2 b2，c 2，2bb2 a2 3， )从而双曲线的方程为x 2 1.y234设F 1，F 2分别为双曲线 1(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF 1|PF 2|3bx2a2 y2b28，|PF 1|PF2| ab，则该双曲线的离心率为( )94A. B.43 53C. D394答案 B解析 由双曲线的定义，得|PF 1|PF 2|2a.又|PF 1|PF 2|3b，所以(|PF 1|PF 2|)2(|PF 1|PF 2|)29b
16、 24a 2，即4|PF 1|PF2|9b 24a 2.又4|PF 1|PF2|9ab，因此9b 24a 29ab，即9 40，则(ba)2 9ba0，解得 ，则双曲线的离心率e .(3ba 1)(3ba 4) ba 43(ba 13舍 去 ) 1 (ba)2 535(2015广东改编)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3，0)，离心率等于 ，则C的方程是( )32A. 1 B. 1x24 y25 x24 y25C. 1 D. 1x22 y25 x22 y25答案 B解析 由曲线C的右焦点为F(3，0)，知c3.由离心率e ，知 ，则a2.32 ca 32故b 2c 2a 2945.所以双
17、曲线C的方程为 1.x24 y256(2016天津)已知双曲线 1(b0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两x24 y2b2条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为( )A. 1 B. 1x24 3y24 x24 4y23C. 1 D. 1x24 y24 x24 y212答案 D解析 根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD为矩形双曲线的渐近线方程为y x，圆的方程为x 2y 24b2，不妨设交点A在第一象限，由y x，x 2y 24得x A ，y A ，故四边形ABCD的面积为4x AyAb2 44 b2 2b4 b2 2b，解得
18、b 212，故所求的双曲线方程为 1，选D.32b4 b2 x24 y21297(2017邯郸调研)已知F为双曲线 1(a0，b0)的左焦点，c为双曲线的半焦距，定点G(0，c)，若x2a2 y2b2双曲线上存在一点P满足|PF|PG|，则双曲线的离心率的取值范围是( )A( ，) B(1， )2 2C ，) D(1， )3 3答案 A解析 若双曲线上存在点P满足|PF|PG|，则必须满足FG的中垂线与双曲线有交点，则P是线段FG中垂线与双曲线的交点，因为直线FG的方程为yxc，所以线段FG中垂线的方程为yx，又双曲线的渐近线方程为ybax，则 1，所以e ，所以双曲线的离心率的取值范围为(
19、，)ba ba 1 b2a2 2 28(2018辽宁抚顺重点高中协作校一模)当双曲线M： 1(2m0，b0)的左、右x2a2 y2b2两个焦点若直线yx与双曲线C交于P，Q两点，且四边形PF 1QF2为矩形，则双曲线的离心率为( )A2 B22 6C. D.2 2 2 6答案 C解析 将yx代入 1，可得x .由矩形的对角线长相等，得 c，2a 2b2(b 2ax2a2 y2b2 a2b2b2 a2 2 a2b2b2 a22)c2，2a 2(c2a 2)(c 22a 2)c2，2(e 21)e 42e 2，e 44e 220，又e1，e 22 ，e2.故选C.2 210(2018河南八市重点高
20、中模拟)已知F 1，F 2分别是双曲线 1(b0)的左、右焦点，P为双曲线上的x24 y2b2一点，若F 1PF2120，且F 1PF2的三边长成等差数列，则双曲线的渐近线的斜率是( )10A B5 34 3 54C D5 32 3 52答案 D解析 不妨设P点在第一象限，|PF 1|m，|PF 2|n，则由已知得 所以c 29c140，解m n 4m2 n2 mn （ 2c） 2，n 2c 2m )得c7或c2(舍去)，由b 2c 2a 2得b3 ，则双曲线的渐近线的斜率是 ，故选D.53 5211(2018天津一中模拟)已知双曲线 1(a0，b0)的一条渐近线平行于直线l：x2y50，且双
21、x2a2 y2b2曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为( )A. 1 B. 1x220 y25 x25 y220C. 1 D. 13x225 3y2100 3x2100 3y225答案 A解析 因为双曲线 1(a0，b0)的一条渐近线平行于直线l：x2y50，且双曲线的一个焦点在直线l上x2a2 y2b2，所以 得 所以双曲线的方程为 1. ba 12，c 5，a2 b2 c2， ) a 2 5，b 5， ) x220 y2512(2018兰州市高考诊断)已知F 1，F 2为双曲线C： 1(a0，b0)的左、右焦点，点P为双曲线C右x2a2 y2b2支上一点，直线PF 1与圆x 2y 2
22、a 2相切，且|PF 2|F 1F2|，则双曲线C的离心率为( )A. B.103 43C. D253答案 C解析 设直线PF 1与圆相切于点M，|PF 2|F 1F2|，PF 1F2为等腰三角形，|F 1M| |PF1|，在RtF 1MO(O为14坐标原点)中，|F 1M|2|F 1O|2a 2c 2a 2，|F 1M|b |PF1|，又|PF 1|PF 2|2a2c2a，c 2a 214b 2，故由得，e .故选C.ca 5313(2018福建漳州一中期中)已知双曲线 1(a0，b0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若双曲线右支x2a2 y2b211上存在一点P，使得F 2关于直线PF
23、1的对称点恰在y轴上，则该双曲线的离心率e的取值范围为( )A12 33 2 33Ce D10，即有3b 23c 23a 2a2，即c a，则有e .故选B.2 33 ca2 3314(2016课标全国)已知方程 1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取x2m2 n y23m2 n值范围是( )A(1，3) B(1， )3C(0，3) D(0， )3答案 A解析 由题意得(m 2n)(3m 2n)0，解得m 20，b0)的离心率为 ，则C的渐近线方程为( )x2a2 y2b2 52Ay x By x14 13Cy x Dyx12答案 C12解析 e ，e 2 .ca 52 c2a2
24、 a2 b2a2 54a 24b 2， .渐近线方程为y x.ba 12 1217(2018山东滕州月考)已知双曲线 1的左、右焦点分别为F 1，F 2，若双曲线的左支上有一点M到x225 y29右焦点F 2的距离为18，N是MF 2的中点，O为坐标原点，则|NO|等于( )A. B123C2 D4答案 D解析 由双曲线 1，知a5，由双曲线定义|MF 2|MF 1|2a10，得|MF 1|8，|NO| |MF1|4.x225 y29 1218(2018湖南六校联考)已知双曲线 1(a0，b0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，以F 1F2为直径的圆x2a2 y2b2与双曲线渐近线的一个交点为
25、(3，4)，则此双曲线的方程为( )A. 1 B. 1x216 y29 x23 y24C. 1 D. 1x29 y216 x24 y23答案 C解析 由已知可得交点(3，4)到原点O的距离为圆的半径，则半径r 5，故c5，a 2b 225，又双曲线32 42的一条渐近线y x过点(3，4)，故3b4a，可解得b4，a3，故选C.ba19(2018杭州学军中学模拟)过双曲线C 1： 1(a0，b0)的左焦点F作圆C 2：x 2y 2a 2的切线，设x2a2 y2b2切点为M，延长FM交双曲线C 1于点N.若点M为线段FN的中点，则双曲线C 1的离心率为( )A. B.552C. 1 D.55 1
26、2答案 A解析 设双曲线C 1的右焦点为F 1.根据题意，得|FN|2b，|F 1N|2a.根据双曲线的定义得|FN|F 1N|2ab2a，则e .520(2018辽宁五校协作体月考)已知F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为8a，则双曲线的离心率e的取值范围是( )|PF1|2|PF2|13A(1，) B(1，2C(1， D(1，33答案 D解析 设|PF 2|m(mca)，则根据双曲线的定义，得|PF 1|2am.所以 4am8a，当且仅当m2a时等号成立所以ca2a，解得e3，所以10，b0)的两条渐近线所截得线a2a2 b2 x2a2 y2b2段的长度恰好等于其一个焦点到渐近线的距离，则此双曲线的离心率为_答案 2解析 由已知可得 ，c2a，e 2.2aba2 b2 bca2 b2 ca24(2015山东，文)过双曲线C： 1(a0，b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.x2a2 y2b214若点P的横坐标为2a，则C的离心率为_答案 2 3解析 设直线方程为y (xc)，由 得x ，由 2a，e ，解得e2 (e2ba x2a2 y2b2 1，y ba（ x c） ， ) a2 c22c a2 c22c ca 3舍去)3
